微分幾何中向量的Levi-Civita平行移動

栗嘉慧, 何 勇, 鄧香香, 肖 維

(新疆師范大學 數學科學學院, 新疆 烏魯木齊 830017)

0 引言

微分幾何的核心是關于流形上黎曼度量的研究，即黎曼幾何[1].Levi-Civita意義下的平行性是研究黎曼幾何性質的重要概念，最早由Levi-Civita于1917年在討論三維歐氏空間中的曲面時提出.1918年，Weyl[2]受其中所蘊含幾何思想的啟發，引入了不依賴于任何一個黎曼度量的一般聯絡的概念，并用它闡釋了Levi-Civita平行移動，給出了Levi-Civita聯絡一個恰當的表示形式.近年來，許多學者對Levi-Civita平行移動進行了相關研究，Ruta[3]和Iurato[4]討論了分析力學的虛功原理在推導Levi-Civita平行移動概念中所起的關鍵性作用.2016年，Casey[5]構造了一種特殊標架，即Levi-Civita標架，并給出了可展曲面上的相關結論.聯絡是對流形上向量場進行“微分”的一種手段，而Levi-Civita平行性正是切叢上的聯絡[6]，因此，理解Levi-Civita平行移動這一概念尤為重要.本文旨在通過三個方面闡釋Levi-Civita平行移動的內涵，從而幫助初學者更好地學習和理解這一概念，即采用直觀的向量投影的方法分析向量的Levi-Civita平行移動；利用平移同構探析Levi-Civita平行移動與聯絡的內在關系；對比Levi-Civita平行移動與歐氏平移基本性質的異同.

1 Levi-Civita平行移動的概念

1.1 二維曲面上向量Levi-Civita平行移動的概念

平面上向量沿直線平移具有兩個重要特征,其一是該向量的微分為0;其二是該向量與直線所成夾角在平移過程中不發生改變.在古典微分幾何中,對于二維曲面,若將其上向量v從點Q沿曲面上一曲線按上述平移移動至鄰近點Q′,則v一般不再是曲面上的向量,曲面上的向量是指曲面上給定點處切于此曲面的向量[8].因此,一個較關鍵的問題是,如何將平面上向量平行移動的概念推廣到曲面上.

在探討曲面上向量沿曲線平移之前,首先將這條曲線無限分割,從而問題轉化為向量沿無窮小弧段的平移,又因“無窮小”這一概念與“微分”聯系緊密[9],所以勢必要考慮在曲面上如何對一個向量進行微分.為此,介紹一種新的“微分”,它滿足以下兩個性質:對上述向量v微分為0;v經過平移后仍是曲面上的向量.

v設在曲面上沿曲線C有一向量場v,則對C上任意一點Q都有一確定向量v.將v沿C向鄰近點Q′平移得到v,再將v分別向切平面和法方向做投影,點Q與Q′的切平面間的微小角度忽略不計,則n沿切平面的分量可以表示為v-(n·v)n,即v+dv-(n·dv)n,稱其與原向量v的差dv-(n·dv)n為v沿曲線C的絕對微分,記為Dv[8].事實上,表達式dv-(n·dv)n表明絕對微分就是增量dv在切平面上的投影,所以絕對微分仍是曲面上的向量.

接下來,基于平直空間中向量經過平移其微分為0這一性質,思考絕對微分為0,即Dv=0的兩層含義.其一是通過絕對微分的表達式得到dv=(n·dv)n,該等式表明由平移產生的增量dv沿法方向;其二是利用n沿切平面的分量表達式v+dv-(n·dv)n,得到n沿切平面的分量就是原向量v.這兩種含義都直接表明:在不考慮法方向分量的情況下,向量v經過平移未發生改變.由此可以看出絕對微分保證了平面上向量平移的兩點性質,因此,為得到曲面上向量平行移動的概念可以用絕對微分替代普通微分.若DV=0,則稱V沿曲線C是Levi-Civita意義下的平行向量場,或稱向量場V是由初始向量v(t0)經Levi-Civita平行移動所得[7].特別地,在二維平面上,由于DV=dV,所以Levi-Civita平行移動歸結為一般意義上的平移[8].

1.2 微分流形上向量的Levi-Civita平行移動的概念

在得到二維曲面上向量平行移動的概念后,考慮能否將其推廣至高維歐氏空間.由n維拓撲流形定義可知,其上任意一點都有一鄰域同胚于n維歐氏空間中的一個開集.因此,本節研究n維微分流形上向量的平行移動,微分流形就是附加了微分結構的拓撲流形[10].

根據Whitney定理,任意n維微分流形都可以看作充分高維歐氏空間的嵌入子流形[11],由于二維曲面是二維流形在三維歐氏空間的嵌入,所以在微分流形上同樣可以采用向量投影的方法研究向量的平行移動.與上節類似,首先介紹一種新的微分法則,即協變導數.

設Y是微分流形M上沿曲線段γ: [a,b]→M的向量場,則Y沿γ的分布可表示為Y(t)=Yγ(t),而導向量場dY/dt一般不再與M相切,所以將其向切空間TpM做投影π,稱π(dY/dt)為向量場Y沿曲線γ的協變導數,記為DY/dt.根據二維曲面上向量的Levi-Civita平行移動滿足絕對微分為0的性質,同樣令這里的協變導數DY/dt=0,得到微分流形上向量的Levi-Civita平行移動,稱向量場Y沿曲線γ是平行向量場[12].

2 Levi-Civita聯絡

通過Levi-Civita平行移動,可以在微分流形上任意兩點的切空間之間建立一個同構關系,即平移同構,而平移同構決定了微分流形上一個十分重要的幾何概念,即聯絡[1].因此,可以通過聯絡從另一角度認識和理解Levi-Civita平行移動.

首先,對于上節所討論的向量場Y沿曲線γ的協變導數DY/dt,若僅令微分流形M上任意一曲線γ滿足γ(t0)=p,γ′(t0)=Xp,則稱(DY/dt)p=DXpY為向量場Y在Q點沿Xp的方向導數,且滿足以下性質:

(i) DfX+hYZ=fDXZ+hDYZ;

(ii) DX(fY+hZ)=(Xf)Y+fDXY+(Xh)Z+hDXZ.

其中X,Y,Z為M上任意可微向量場且f,h∈C1(M)[10].

上述定義仍是將微分流形作為歐氏空間的嵌入子流形考慮所得,接下來僅從微分流形本身出發,考慮其上向量場的微分.通過以上兩個性質可以給出一個類似的結構定義,即線性聯絡.

定義1[10]設M是m維光滑流形,將其上全體光滑向量場所成之集記為X(M),并記M上光滑函數的集合為C∞(M).M上的線性聯絡是一個映射

且對于任意的X,Y,Z∈X(M)和任意的f,h∈C∞(M),滿足:

由定義1知，聯絡的本質就是微分流形上向量場的一種與坐標選擇無關的方向導數[11]，則前文中關于平行向量場的定義轉化為：設X是沿曲線γ:[a,b]→M定義的向量場，若γ′(X)=0，則稱X沿γ是平行的.下面探究聯絡的幾何意義.對任意向量v∈Tγ(a)M，若存在沿γ的平行向量場X使得X(a)=v，X(b)=v則稱向量v∈Tγ(a)M是向量v沿曲線γ作Levi-Civita平行移動得到的結果.由常微分方程組解的存在唯一性定理知，這樣的向量場是唯一存在的[1].因此，有如下命題：

命題1[1]給定曲線γ:[a,b]→M,對任意的向量v∈Tγ(a)M,存在唯一沿γ的平行向量場X使得X(a)=v,從而唯一存在v∈Tγ(b)M作為v沿γ的平行移動的結果.

對于命題1中的曲線γ,若γ為浸入曲線則對其做微小分割即可[1].

由此,得到聯絡的幾何意義就是兩個相鄰的切空間借助沿兩點連線的平行移動建立的同構關系[11],這里的同構關系也闡釋了“聯絡”這一概念的含義.

一個微分流形上存在較多聯絡[1],為得到更好的性質,主要研究黎曼流形上一種特殊的聯絡,它僅依賴于黎曼度量g.由于方向導數作為聯絡是無撓的,且二維曲面的絕對微分D滿足D(X·Y)=DX·Y+X·DY[10],即D與度量相容.將上述兩個性質推廣到黎曼流形上,得到黎曼流形M上Levi-Civita聯絡的定義.

定義2[10]設是光滑黎曼流形(M,g)上的一個線性聯絡,若對任意的X,Y,Z∈X(M),滿足:

(ii)X〈Y,Z〉=〈XY,Z〉+〈Y,XZ〉,

3 Levi-Civita平行移動的性質

微分流形上向量場的Levi-Civita平行移動是歐氏幾何中平面上向量平行移動的推廣，兩者在形式上截然不同，但在本質上有著相通之處.

首先,歐氏平面上的普通平移具有以下3個重要性質:

(i) 在歐氏平面上對任意向量v進行平移,其微分dv=0;

(ii) 向量在平移過程中保持長度和兩向量夾角不變;

(iii) 歐氏平面上直線的切向量沿直線相互平行.

接下來,通過以上歐氏平移的基本性質,類比可以得到微分流形上的Levi-Civita平行移動也有相仿的性質:

引理1 微分流形上向量場的Levi-Civita平行移動具有如下性質:

(a) 若微分流形上向量場X沿曲線γ是平行向量場,則有γ′X=0;

(b) 在沿曲線的Levi-Civita平行移動下,向量長度與兩向量夾角不發生改變;

(c) 微分流形中測地線的切向量場沿測地線本身是一個平行向量場[2].

證明首先,根據Levi-Civita平行移動的定義易得(a).

其次考慮(b).顯然一般的聯絡不都具有這一性質，但是(b)在Levi-Civita聯絡上是成立的.設是黎曼流形M上的Levi-Civita聯絡,X和Y是沿曲線γ平行的向量場,即γ′X=γ′Y=0.由Levi-Civita聯絡的與度量相容性可知

因此,對任意兩個沿曲線γ平行的向量,在Levi-Civita平行移動下其黎曼內積保持不變,所以向量長度與兩向量夾角不發生改變.

下證(c).由于微分流形上的測地線是歐氏空間中“直線”概念的推廣[13],所以考慮微分流形中測地線的切向量場沿測地線本身是否是一個平行向量場.

設γ:[a,b]→M是微分流形M上的測地線,則有

由Levi-Civita平行移動定義,證得(c).事實上,這一性質也給出了微分流形上測地線的另一定義:如果微分流形上一曲線的切向量場關于曲線本身是平行的,則該曲線為測地線[2].

4 總結

通過對文獻的考證與研究,本文對于如何自然地引出向量Levi-Civita平行移動的概念及其性質作出了完善,循序漸進地將所討論的空間由平直空間推廣至二維曲面進而推廣至微分流形,借助聯絡表明了研究Levi-Civita平行移動的重要意義,并通過與歐氏平移的基本性質類比,得到了Levi-Civita平行移動的基本性質.