考慮土體強度非線性的地震主動土壓力分析

彭曉鋼 王寰宇 李有志

1. 深圳市天?。瘓F）股份有限公司 廣東 深圳 518034；2. 中南大學土木工程學院 湖南 長沙 410075

巖土體主要由土骨架、孔隙水和空氣組成，由于自身組成復雜，導致其在試驗中表現出來的強度特征相對復雜。在常規的三軸試驗中，可以發現巖土體所處的應力狀態也直接影響抗剪強度指標。其中，隨著圍壓的增大，內摩擦角減小而黏聚力增大。

因此，在不同的應力條件下，巖土體的抗剪強度指標表現出較大的差距。另一個角度，巖土體材料因固有特性，其所處的應力狀態對強度具有較大的影響，非線性特征較為明顯。

對于巖土體所表現出來的非線性特征，解決方案通常為采用非線性強度準則來描述強度特性。而非線性強度準則主要有以下2類：

1）以Mohr-Coulomb強度準則為代表的采用法向應力和剪切應力形式描述的強度準則。

2）以Hoek-Brown強度準則為代表的采用主應力形式描述的強度準則。

盡管在參數的含義上，以上2類強度準則存在一定的差別，但是其數學表達式通常為冪指數形式。本節將著重介紹Mohr-Coulomb強度準則及其參數選取的方法。

在實際抗震設計中，PGA（峰值加速度）常用來描述地震動，即以靜力計算為基礎，將地震的作用簡化為一個慣性力系附加在研究對象上，這就是最常見的擬靜力法。擬靜力法憑借簡單、易實現的特點被廣泛應用在巖土工程穩定性分析中[1-4]，不足的是該方法忽略了地震波的空間變化和時變特性。因此，擬靜力法給出的解往往相對保守。

目前，加速度時程分析是比較可靠的方法之一[5-6]。但是該方法過于復雜，在數值模擬中應用較多，難以在理論分析中進行拓展[7-9]。

地震波是由多種波疊加而成的復雜波，無法用函數進行準確刻畫。在此背景下，通過考慮振幅和相位等其他參數隨著地震波在傳播過程中變化的特征，提出了擬動力法。在現有研究中，該方法主要用于基于極限平衡法的側向土壓力計算[10]。

該方法中所采用的加速度分布形式可以是符合實際情況的任何形式。但為簡化起見，在大多數研究中，都采用正弦加速度且沒有考慮初始相位差[11]。關于擋土墻主動土壓力，已經有很多學者開展過研究[12-13]，本文主要基于極限分析上限定理，建立對數螺旋線破壞機構，并計算內外力功率，建立功能平衡方程，求解最優上限解。研究結果可為工程設計與施工提供參考。

1 基本原理

1.1 廣義切線技術

非線性強度準則有多種形式，但對土體材料而言，非線性強度準則通常表示成如下冪指數形式：

式中：c0——土體初始黏聚力；

σt——土體的抗拉強度；

σn、τ——極限破壞面上的正應力和剪應力；

m——非線性系數。

為便于計算，針對非線性Mohr-Coulomb強度準則，提出了一種切線技術，用以分析巖土工程中的穩定性問題。Yang[14]表示，該切線的上限解為真實極限荷載的一個嚴格上限值，拓展了廣義切線技術在極限分析方法中的應用。對于強度包絡線上的任意一點，切線方程為：

式中：ct、φt——等效的黏聚力和內摩擦角。

根據幾何關系和公式（1），可將土體等效內摩擦角正切值和等效黏聚力寫成如下等式：

在實際計算時，需要通過窮舉算法優化φt得到最不利的切線，使目標函數取得最優上限解。

1.2 擬動力法

在考慮地震作用時，橫波和縱波的速度可以分別表示為VP＝[2G（1-v）/ρ（1-2v）]0.5和Vs＝（G/ρ）0.5，其中G是剪切模量，v是泊松比，ρ為土體密度。對于大多數土體而言，其泊松比v＝0.3，此時VP/Vs＝1.87。

本文忽略橫波和縱波之間的周期差異，認為橫波和縱波周期相同。加速度采用正弦波進行輸入，作用在回填的同一高度位置上時，水平加速度和垂直加速度之間通常存在相位差。

同時，需要指出的是，在地震期間，隨著地震波接近回填土表面，地震動將被放大。因此，引入加速度幅值放大系數加以考慮。

水平加速度和垂直加速度分別為正弦波，kh、kv分別為水平地震系數和垂直地震系數。因此，時間為t時，yi處的地震加速度根據擬動力法可以寫成如下表達式：

式中：Vs、Vp——橫波和縱波的波速；

f ——土體放大系數；

t0——回填土底部水平加速度與垂直加速度之間的初始時間差。

2 主動土壓力能耗分析

2.1 重力功率計算

根據極限分析上限法的要求，通常根據速度相容場去描述破壞機構，在軟土中，常采用旋轉模式的破壞機構。同時，為滿足相關聯流動法則的要求，速度間斷面上任意一點的切線方向與其速度方向的夾角為材料的內摩擦角φ。據此，破壞面方程在極坐標中可以表示成以下函數：

式中：r0、θ0——初始半徑和初始角度。

如圖1所示，初始參數：墻高為H，墻背與水平面夾角為β，墻后填土重度為γ，摩擦角為φ，黏聚力為c。圖1中L為A、B兩點的距離，通常有如下關系式：

圖1 擋土墻破壞模型示意

本文考慮的外荷載包括土體自重、地震慣性力、坡頂附加均布荷載以及擋墻的主動土壓力。在計算重力功率時，采用疊加法計算，先分別求出塊體OBC、塊體OAC、塊體OAB的重力功率值W1、W2、W3，再通過簡單的代數加減，可得ABC的重力功率為：W1－W2－W3。塊體OBC的重力功率可以通過以下公式進行積分：

同理，塊體OAC和OAB的功率也可算出，通過疊加可得到總的重力做功功率：

f1，f2，f3為無量綱函數，具體如下：

2.2 地震力功率計算

由于擬動力法考慮了加速度隨時間和空間變化的特性，故上述積分方法不再適用于計算地震力功率，需要采用水平分層的方法進行計算。在此，提出了一個無限小的梯形單元QiQi+1Pi+1Pi來適應這種變化。以圖2所示的微元為例來說明獲得慣性力功率的方法。

圖2 梯形單元慣性力計算示意

首先，在高度為hi和hi＋d h處分別有2條虛擬水平線，分別求出其與對數螺旋面、墻面的交點，分別為Pi（xi, yi）、Qi（x′i, y′i）、Pi+1（xi+1, yi+1）、Qi（x′i+1, y′i+1），通過幾何關系可以推導出其坐標值，其中滑移面上Pi點的橫坐標需滿足以下方程：

為計算各微元的慣性力引起的功率，必須確定該微元的面積及其重心。根據梯形元素的幾何特性，給出重心坐標Ci（xci, yci）和該微元的面積Si，因此，可以推算出該微元慣性力的功率并且可以通過對每個微元求和來計算整個破壞機構的慣性力功率：

其中，θci是相對于旋轉中心點的旋轉角度。

當地震波速趨近于無窮大時，擬動力法則退化為擬靜力法，由于加速度系數kv、kh在任意空間位置、任意時間下均為一常數，可以采用與重力功率同樣的計算方法進行求解。

2.3 附加荷載功率計算

本文墻后填土作用有均勻分布荷載，如圖2所示，破壞機構范圍之外的荷載不予考慮。為考慮附加載荷在地震影響下的慣性效應，水平和垂直慣性力都作用在回填土表面上。在這種情況下，可以獲得附加荷載引起的功率為：

無量綱函數 f4、f5如下：

2.4 主動土壓力功率計算

在計算主動土壓力引起的功率時，應事先確定合力的作用點和方向?，F有的大量研究表明土壓力合力的作用點位于墻高的1/3處，并且采用墻-土的摩擦角來描述力的方向。對土壓力合力分別進行正交分解得到其水平分量和垂直分量：

其中，δ是墻-土的摩擦角，進而可以求出主動土壓力的功率如下：

無量綱函數 f6如下：

其次，墻-土接觸面的附著力也是外力功率的一部分，單位長度的附著力為cttanδ/tanφt，其功率由下式計算可得：

無量綱函數f7如下：

2.5 內能耗散率計算

破壞機構為剛性塊，內部能量將僅沿著破壞面發生耗散?；谀芰亢纳⒙适羌羟辛退俣鹊狞c積的定義，可對速度間斷面進行徑向微分，每個徑向微分長度為rdθ/cosφt，黏聚力為ct，速度間斷面在該處的切向速度為ωrcosφt?？偟膬炔磕芰亢纳⒙士梢匝刂俣乳g斷面進行積分求得：

無量綱函數f8如下：

2.6 目標函數求解

地震主動土壓力的上限解可以通過將由外力完成的功率等于總內部能量耗散率來得出。其功率平衡方程為：

因此，地震主動土壓力的表達式可以寫為：

基于不同的破壞機構產生不同土壓力結果的事實，且破壞機構取決于旋轉中心的位置，初始相位差和切線法中優化變量φt均會對結果造成影響。因此，主動土壓力系數可以表示為上述4個獨立變量的函數Pa＝f（θ0, θh, t , φt）。最終結果將通過優化獲得。

為確保破壞機構有效，優化過程必須滿足下面的約束條件：

3 研究結果與分析

3.1 初始黏聚力對主動土壓力的影響

初始黏聚力作為非線性強度準則中重要的強度參數，其力學含義是指破壞面在無任何正應力下材料的抗剪強度。為研究其對主動土壓力的影響，通過計算，得到當非線性系數m＝1.2～2.0時，主動土壓力Pa隨初始黏聚力c0變化的規律，如圖3所示。

圖3 初始黏聚力對主動土壓力的影響

從圖3可以看出，初始黏聚力對主動土壓力有較大的影響。隨著初始黏聚力的增加，主動土壓力逐漸降低，且其變化趨勢近似為線性。這與我們現有的認知是一致的，即黏聚力的增加有利于墻后填土的穩定。從圖3中還可以看出，隨著非線性系數m從1.2變化到2.0，主動土壓力逐漸增大，但其增大的速度隨著m的增大而逐漸變緩。

3.2 單軸抗拉強度對主動土壓力的影響

為研究單軸抗拉強度對主動土壓力的影響，通過計算得到當非線性系數m＝1.2～2.0時，主動土壓力Pa隨單軸抗拉強度σt變化規律如圖4所示。

圖4 單軸抗拉強度對主動土壓力的影響

從圖4可以看出，單軸抗拉強度對主動土壓力影響顯著。當非線性系數發生變化時，主動土壓力隨單軸抗拉強度的變化趨勢略有不同。但總體來說，隨著單軸抗拉強度的增加，主動土壓力是逐漸增大的。所以實際上，土體的單軸抗拉強度不利于墻后填土的穩定。這一點也能從計算邊坡安全系數來研究其穩定性看出來，更高單軸抗拉強度會得到更低的安全系數。

3.3 水平地震系數對主動土壓力的影響

水平地震系數作為考慮地震效應最重要的參數之一，在研究其他擬動力法參數的影響之前首先需要明確其對主動土壓力的影響。通過計算得到當附加荷載時，主動土壓力隨水平地震系數變化的規律，如圖5所示。

圖5 水平地震系數對主動土壓力的影響

從圖5中可以看出，當水平地震系數從0變化到0.2時，主動土壓力增大約1.8倍。隨著水平地震系數的增大，主動土壓力逐漸變大，且其增大速率略微增大。隨著附加荷載的增大，主動土壓力也呈現出線性增大的特征。上述2個特征可以為活躍地震帶區域的高路堤支護提供一定的參考。

3.4 地震周期對主動土壓力的影響

對于擬動力法中的眾多參數，地震波周期是其中較為重要的參數。為研究其對主動土壓力的影響，通過計算得到當水平地震系數kh＝0.05～0.25時，主動土壓力Pa隨地震周期T變化的規律，如圖6所示。

圖6 地震波周期對主動土壓力的影響

從圖6可以看出，當地震波周期T＜0.20 s時，隨著其數值的增大，主動土壓力逐漸增大；而當T＞0.20 s后，隨著地震波周期的增大，主動土壓力趨于穩定。這是因為墻后填土的幾何尺寸有限，當地震波周期增大到某一數值之后，地震波的波長遠大于墻后填土的高度，因此在墻后填土范圍可以視為地震加速度不再隨所處高度而變化，若此時不考慮土體放大系數的影響，則擬動力法退回為擬靜力法。這也可以看出擬動力法是能夠包含擬靜力法的，因此其適用性更廣。

3.5 波速對主動土壓力的影響

壓縮波和剪切波的動態特性對主動土壓力產生較大影響。如前所述，對于大多數土壤材料，當泊松比為0.3時，剪切波波速與壓縮波波速之比為常數1.87。因此，在本文中只討論了壓縮波波速的影響。為研究其對主動土壓力的影響，通過計算得到當水平地震系數kh＝0.05～0.25時，主動土壓力Pa隨壓縮波波速Vs變化的規律，如圖7所示。

圖7 壓縮波波速對主動土壓力的影響

從圖7可以看出，剛開始隨著壓縮波波速的增大，主動土壓力逐漸增大，之后便穩定為一數值基本保持不變。同樣的，作為波長的另一個決定因素，當波速增大到某一數值之后，地震波的波長將遠大于墻后填土的高度，因此在墻后填土范圍可以視為地震加速度不再隨所處高度而變化，其結果逐漸趨近于擬靜力法得到的結果。

3.6 初始相位差對主動土壓力的影響

當同時考慮壓縮波與剪切波時，兩者傳遞到墻后填土底部具備一定的時間差，在本文中稱其為初始相位差。為研究其對主動土壓力的影響，通過計算，得到當水平地震系數kh＝0.05～0.25時，主動土壓力Pa隨初始相位差t0變化的規律，如圖8所示。

圖8 初始相位差對主動土壓力的影響

從圖8可以看出，剛開始隨著初始相位差的增大，主動土壓力逐漸減小，之后便隨著初始相位差的增大而增大。同時，當初始相位差t0＝0和t0＝T時，二者計算得到的主動土壓力數值相同，也就表現出明顯的周期性，這與我們采用的正弦分布形式的地震波相吻合。

3.7 土體放大系數對主動土壓力的影響

對于隨著地震波接近回填土表面，振動將被放大這一現象，引入了土體放大系數這一參數。為研究其對主動土壓力的影響，通過計算得到當水平地震系數kh＝0.05～0.25時，主動土壓力Pa隨土體放大系數 f 變化的規律，如圖9所示。

圖9 土體放大系數對主動土壓力的影響

從圖9可以看出，隨著土體放大系數的增大，主動土壓力逐漸增大。對于kh＝0.05，當 f 從1.0增大到2.0，主動土壓力的數值增大約1.08倍；而對于kh＝0.25，當 f 從1.0增大到2.0，主動土壓力的數值增大約1.53倍。因此，在高水平地震加速度系數情況下，土體放大系數的影響更為顯著，在實際工程中應該予以重視。

3.8 垂直地震系數對主動土壓力的影響

在已有的一些研究中，均發現垂直地震系數對土工構筑物穩定性影響較小這一結論。本文也對其進行了研究。通過計算得到當水平地震系kh＝0.05～0.25時，主動土壓力Pa隨垂直地震系數kv與水平地震系數kh的比值μν變化的規律，如圖10所示。

圖10 垂直地震系數對主動土壓力的影響

從圖10可以看出，隨著垂直地震系數的增大，主動土壓力略微增大。在不同的水平地震系數條件下，μν＝1.0與μν＝0得到的主動土壓力相差均不超過10%。因此與其他學者得到的結論一致，即垂直地震系數對土工構筑物的穩定性影響較小，在實際工程中，可以不考慮垂直地震系數的影響。

4 結語

本文研究的主要目的是基于塑性理論，建立一種用于計算在非線性條件下主動土壓力的新方法。在對于考慮地震的效應中，以正弦形式的地震系數來計算慣性力，也就是擬動力法。在基于極限分析的上限定理，利用一種水平計算單元分別計算外力功率和內能耗散率并推導出了主動土壓力的解析解。通過對計算結果進行分析，得出了以下結論：

1）線性條件下，即m＝1.0時，本文的計算結果與Chen等[15]的研究吻合良好，從而證明了所提出方法的正確性。

2）土體本身具備較強的非線性特征，采用非線性強度準則來描述其強度特性將得到更為精確的解析解。而對于非線性Mohr-Coulomb強度準則中的3個參數，其中初始黏聚力的增大有利于墻后填土的穩定，較大值將得到較小的主動土壓力值。而非線性系數和單軸抗拉強度的增大均不利于墻后填土的穩定，較大值將得到較大的主動土壓力值。

3）對于擬動力法相關參數，水平地震系數、地震波周期、壓縮波波速、土體放大系數、垂直地震系數的增大均導致主動土壓力的增大，而對于初始相位差則表現出明顯的周期特征。