基于振動頻率與自適應模糊神經網絡的索力計算研究

王 振 閆 偉 張 剛 陳躍華(寧波大學海運學院 浙江 寧波 315211)

0 引 言

斜拉索是斜拉橋的主要受力構件，索力的準確測量不僅關系到橋梁工程能否安全實施，更影響到建橋后主梁、主塔的線形是否符合工程要求。因此，準確測量拉索索力是研究學者及橋梁建設者共同關注的問題。目前，對于拉索索力的測量方法包括振動頻率法、傳感器測量法、垂度測量法、拉索靜態線形測量法等。振動頻率法實測拉索的固有頻率，利用索的張力和固有頻率的關系計算拉索索力；傳感器測量法通常采用壓力傳感器測量索力，需要在每根拉索上安裝壓力傳感器，經濟成本過高；而垂度法是依據拉索測量段的傾斜角、索長和最大垂度推導出的索力公式計算拉索的平均索力值，考慮索力差值和索段位置來確定整個拉索的索力。因此，頻率法測量索力仍然是最為經濟實用且測量較為準確的方法[1-5]。

基于頻率法來測量索力，主要是利用數據采集儀器測量斜拉索的振動頻率，再建立拉索頻率與索力之間的函數式，從而由頻率計算出拉索索力[6-9]。Ren等[10]基于能量法以及數據曲線擬合方法，考慮抗彎剛度和垂度對斜拉索振動特性的影響，推導出可以計算斜拉索的索力公式，并主要考慮一階頻率進行研究，采用基頻來計算其索力。Fang等[11]基于拉索的橫向振動理論知識，采用曲線擬合技術，避免了采用迭代法求解非線性方程，得到了求解索力的實用公式，但該索力公式只考慮了抗彎剛度影響，忽略了拉索垂度作用的影響。Sun等[12]建立了靈活約束條件下拉索索力實用計算模型，提高了彈性約束條件和抗彎剛度下的拉索索力求解精度。Ma[13]提出了一種精確確定邊界條件未知的斜拉索張力的方法，該方法可以同時識別彈性邊界條件下的多個參數。但在實際應用中影響拉力的因素過多，在較為準確計算、檢測頻率的基礎上，需要對基頻-索力函數關系進行修正。甘泉等[14]基于斜拉索橫向振動方程的通解，通過在弦振動理論公式的基礎上，引入剛度修正系數，并且提出了可用于兩端固支條件下的拉索索力計算的統一公式。Sun等[15]針對求解過程中忽略邊界條件及抗彎剛度對拉索的索力精度的影響，提出計算修正公式。Dan等[16]基于數值模擬方法對張力誤差進行研究，并給出了經驗誤差修正公式用來擬合索力誤差之間的關系。

綜上，基頻的準確計算與測量、頻率-索力求解方程的正確修正是索力測量的關鍵問題。本文考慮彈性邊界條件并基于弦振動原理與切比雪夫級數方法建立頻率與索力之間的函數關系，并利用自適應神經模糊網絡與實驗數據結合的方式，修正頻率-索力關系式以保證索力的準確計算及測量。

1 彈性邊界下拉索的頻率特性及索力切比雪夫級數求解

1.1 彈性邊界下拉索的頻率特性求解

本文將任意邊界條件等效為拉索的左右兩端分別連接拉伸約束彈簧K1和K3、扭轉約束彈簧K2與K4，建立的彈性邊界條件拉索振動模型如圖1所示,其中L為拉索的長度。

圖1 彈性邊界條件下拉索振動模型

通常，拉索的振動微分方程可表述為[17]:

(1)

式中：EI為拉索抗彎剛度；T為拉索索力；ρΑ為拉索線密度；u(x,t)為拉索振動位移函數。則拉索的彈性邊界約束表述為：

(2)

式中：k1=K1/EI,k2=K2/EI,k3=K3/EI,k4=K4/EI。

基于分離變量法，將拉索振動函數分解為時間序列函數與振型函數Y(x)的乘積：

u(x,t)=Y(x)sin(ωt+φ)

(3)

式中：ω為拉索固有頻率；φ為相位角。將式(3)代入式(1)可得：

EIY(4)(x)-TY″(x)-ρAω2Y(x)=0

(4)

式(4)為振型函數的微分方程，將振型函數采用切比雪夫級數[18]進行展開，設：

(5)

式中：ai為待定常數。式(5)中切比雪夫級數為：

將上式代入振動函數式(3)，為使振動函數滿足邊界條件，構造輔助函數h(x)和g(x)分別為：

(6)

式中：

若令：

Φi(x)=h(x)Ti(x)+g(x)

(7)

則滿足邊界條件式(2)的振型函數為：

(8)

由式(8)給出的振型函數不是式(4)的真實解，因此代入式(4)時，式(4)并不等于零。但根據虛位移原理，可以使其在虛位移上所做的功為零，即：

(9)

展開可得：

(10)

由于δaj是任意的，整理可得頻率方程為：

(11)

式中：

寫成矩陣的形式:

|D-ω2Ms|=0

(12)

顯然，求解矩陣形式的頻率方程式(12)，得到對應的特征值與特征向量，即可得到振動系統前n階的固有頻率。

1.2 彈性邊界條件下拉索的索力計算及分析

考慮圖1所示拉伸約束與扭轉約束共同作用彈性邊界條件下，推導拉索索力-頻率計算公式。根據所得計算公式，簡化邊界條件，進一步推導固支和鉸支條件下索力計算公式。

為求解彈性邊界條件下的索力計算公式，設振動函數解如下：

u(x,t)=Y(x)ψ(t)

(13)

ψ(t)=A1sinωt+A2cosωt

(14)

Y(x)=a1sinαx+a2cosαx+a3sinhβx+a4coshβx

(15)

式中：ψ(t)為時間序列函數；Y(x)為振型函數；a1、a2、a3、a4為待定系數；ω為索自振頻率。α和β計算為：

(16)

將式(15)振型函數代入式(2)可得一般邊界條件下拉索的頻率-索力表達式：

(17)

欲使式(17)有非零解，則其方程組系數行列式應為零，即可得：

(18)

將式(18)簡化計算處理得到：

(19)

式(19)為一般邊界條件下索力-頻率的關系式。顯然，若將拉索邊界條件簡化為簡支-固支，則式(19)會大大簡化，可得出彈性邊界條件下簡化的索力表達式。

若拉索為簡支約束條件，此時K1=K3=0,K2=K4=∞，則式(19)變為：

(EI)2(α2+β2)2sinαLsinhβL=0

(20)

顯然，(EI)2(α2+β2)2和sinhβL不為零，因此有sinαL=0，即:

αL=nπn=1,2,…,n

(21)

將式(21)代入式(19)且忽略抗彎剛度影響，可得兩端簡支邊界條件下拉索的頻率與索力之間的關系式：

(22)

式中：L為拉索的長度；fn為第n階自振頻率。

若拉索為固支約束條件，此時K1=K3=K2=K4=∞，若省略式(19)中邊界條件的低次項，整理式(19)可得：

2αβ[1-cos(αL)cosh(βL)+(α2-β2)sin(αL)·

sinh(βL)]=0

(23)

由于式(23)是一個超越方程，不能直接得到索力-頻率的關系式。根據文獻[19]中的超越方程求解方法并且忽略抗彎剛度對拉索的影響，可得索力-頻率的關系表達式：

(1) 當使用第一階振型的固有頻率時：

(24)

(2) 當使用第二階振型的固有頻率時：

(25)

(3) 當使用第高階(三階及以上)振型的固有頻率時：

(26)

顯然，簡單邊界條件下索力計算公式是彈性邊界下索力計算公式的簡化。而且彈性邊界下索力公式計算復雜，彈性邊界參數往往不可得，因此在計算拉索頻率與索力之間的表達式時存在很大難度。一般國內外學者對斜拉索的索力計算公式均將彈性邊界約束條件下的索力表達式寫成對簡支公式乘以修正系數，即：

(27)

式中：Δ為修正系數。在理論計算中，彈性邊界條件下的索力計算公式的修正系數很難求解得到，需要依靠實驗數據來確定Δ的大小。因此，本文采用自適應模糊神經網絡擬合實驗室數據方式對式(27)進行修改。

2 實 驗

2.1 數頻率特性實驗驗證

基于前面的理論部分的公式和結論，在實驗室搭建拉索振動實驗平臺來驗證，左右兩端采用2個基座用地腳螺栓連接固定在地面上，拉索兩端采用螺紋卡扣進行固定。利用激勵力錘作用于拉索某一位置獲得其振動數據信號，通過在L/4索長處安裝壓電式加速度傳感器(YBY-10KN型)測量振動信號。拉索的張緊力采用拉壓傳感器測量，拉索張緊力采用數據采集器(東華測試技術有限公司DH3820型)進行數據采集，拉索振動模態測試采用采集器(DH5922型)進行數據采集。將采集儀采集到的振動信號傳輸到連接好的電腦上，通過軟件進行分析，測試儀器及分析軟件如圖2所示。

(a)

(b)圖2 DH3820型采集器及分析軟件界面

實驗對象選擇型號304不銹鋼拉索，拉索的基本參數如下:拉索單位長度質量m=0.081 kg·m-1，拉索直徑d=4 mm，拉索彈性模量E=1.93×108Pa，拉索截面慣性矩I=1.257×10-11m4,T=3 960 N，拉索長度L=6.8 m。分別在兩端固支和兩端固支-簡支兩種邊界條件下進行實驗。

表1給出了兩端固支邊界條件下實驗結果與本文頻率特性求解方法得到的計算結果前十階固有頻率進行對比分析的結果?？梢钥闯?，其最大相對誤差為3.388%，最小相對誤差為-0.989%。

表1 固支-固支邊界條件下拉索固有頻率

表2給出了固支-簡支邊界條件下實驗結果與本文頻率特性求解方法計算結果前十階固有頻率進行對比分析的結果?？梢钥闯?，最大相對誤差為3.284%，最小相對誤差為0.709%。通過對比分析再次驗證本文邊界模擬方式與理論模型的正確性。在兩種邊界條件下估算出的Tmin均為3 780 N,Tmax均為4 210 N，索力相對誤差均為-4.545%-6.313%，由此可見本文方法可用于有效估算拉索索力。

通過搭建拉索振動實驗平臺，在兩端固支和兩端固支-簡支這兩種邊界條件下對拉索進行模態實驗，與計算結果進行對比，其相對誤差小于3.388%，表明本文方法在計算彈性邊界條件下拉索振動模態是有效的，為后續擬合基頻-力的關系提供較為準確的理論依據。

2.2 索力自適應神經模糊網絡修正及實驗驗證

理論上可以利用基頻求解拉索索力，但是存在如下問題：(1) 拉索的索力計算公式沒有具體統一的形式，應用條件限制較多。(2) 為簡化索力計算公式，通常忽略抗彎剛度及垂度的影響，造成理論上很難保證計算的索力精確度。(3) 為提高索力計算精度，通常會在索力計算公式中添加補償項，計算形式較為復雜，很難進行工程應用。從上文推導頻率-索力計算公式中也可以看出，計算公式比較復雜，在計算過程中忽略較多因素(如抗彎剛度、索力增量等)，因此降低了索力的求解精度。彈性邊界一般在實際應用中難以確定，導致索力求解難度增大。因此，對于基頻法求解拉索的索力時計算公式存在的問題，可以利用自適應神經模糊網絡結合實驗數據的方式，在較為準確計算和測量基頻情況下，采用實驗方法(在一定條件下)來擬合基頻-力關系。

通過對自適應神經模糊網絡方法的學習和實踐，學習到自適應神經模糊網絡(ANFIS)最大的優點是基于I/O數據驅動的建模而不需要建立實際的理論模型，通過數據學習逼近，最后更加逼近于實際數據輸出。該方法不是通過經驗得來的，因此對于那些認識還存在模糊不清晰或者是非常復雜的系統，應用自適應神經模糊網絡的方法，通過獲取實際數據，再進行數據學習逼近輸出，該方法具有的優勢顯得尤為突出。本文采用五層結構ANFIS，其示意圖如圖3所示。

第一層為輸入層，設有三個輸入：拉索長度L、拉索基頻w、拉索單位質量m。

第二層為輸入變量隸屬度函數層，對于第j組訓練數據對(Lj，wj，mj)，數據訓練前采用高斯函數進行輸入函數的模糊化，即：

(28)

式中：i表示模糊子集數；cij、σij分別表示隸屬度函數的中心和寬度。

第三層為規則層，進行模糊運算，輸出各神經元輸入取積后的歸一化值，即各條規則的激勵強度歸一化，各節點輸出為：

(29)

第四層為自適應運算層，該層結合27條控制規則完成自適應運算計算出每條規則的輸出，節點結果輸出為：

(30)

式中：pi、qi、ri(i=1,2,…,27)是該節點的結論參數。

第五層為輸出層，其結果為自適應運算層中各節點之和：

T=C1+C2+…+C27

(31)

在第四層與第五層中，使用最小二乘法單獨辨識結論參數可省掉求導的過程，相比梯度法效率更高。因此ANFIS將最速下降法與最小二乘法結合用來調整網絡參數。

2.3 實驗設置及結果

搭建拉索振動實驗平臺，搭建方式與2.1節中彈性邊界條件下頻率特性實驗相一致。利用激勵力錘作用于拉索獲得其振動信號，通過在1/4索長處安裝壓電式加速度傳感器測量該位置處的振動數據信號，再將采集儀采集到的振動信號傳輸到電腦中，通過軟件對測量的數據進行分析，拉索的索力測試系統如圖4所示。實驗對象選擇型號304不銹鋼拉索，其基本參數與拉索頻率特性求解中的參數一致。

(a)

(b)圖4 拉索的索力測試系統

本文中的數據為實驗實測數據，其中用于仿真研究的訓練數據及測試數據如表3所示。分別測得不同長度和不同索力下的拉索的頻率，從而利用自適應神經模糊網絡來進行仿真研究頻率和索力的關系。

表3 拉索的索力訓練數據及測試數據表

利用MATLAB中提供的自適應神經模糊推理系統的圖形用戶界面編輯器(Anfis Editor)，將實驗測得的數據分別加載到編輯器中的訓練數據和測試數據中，通過網格分割法自動生成自適應神經模糊推理系統。在索力計算中，神經網絡的輸入參數為3個，即：拉索長度，拉索基頻，拉索單位質量。為實現自適應神經模糊系統的推理功能，輸入的3個參數對應的模糊隸屬度函數數目設定為3，模糊隸屬度函數類型設定為鐘型。生成初始的模糊推理系統后本文選擇優化方法為混合算法，訓練次數為40次。

搭建的實驗平臺可靠性及準確性在上一部分中已得到驗證。為驗證本文方法的正確性與有效性，保證本次實驗測得數據的可靠性及準確性。分別在兩端固支和固支-簡支兩種邊界條件下進行仿真實驗，圖5為兩種邊界條件下拉索基頻與索力關系圖。

實驗數據經過40次對自適應神經模糊系統的訓練及測試后，可得訓練模糊推理系統及測試模糊推理系統的誤差，圖6為自適應神經模糊推理系統的訓練結果及訓練誤差，訓練平均誤差達到0.138 92 N，相對誤差為0.003 47%。

圖7為自適應神經模糊推理系統的測試結果，平均測試誤差達到0.291 1 N，相對誤差為0.007 27%，結果理想。

圖7 自適應神經模糊推理系統的測試結果和測試誤差

通過上述分析可以得出，本文設計的自適應神經模糊推理系統可以保證推理系統的準確性。實測實驗數據與自適應神經模糊推理系統相結合，提高了拉索基頻與索力關系的精確度，減小了因理論模型誤差、計算公式誤差等帶來的索力計算精度無法滿足工程需要的不良影響。

3 結 語

(1) 基于弦振動原理，分析了更加符合實際工程要求的拉索邊界，建立頻率與索力之間的關系函數，利用實測實驗數據與拉索基頻相結合的方法，求解拉索基頻與索力的關系，提出的索力計算方法及研究結果可以為工程應用中的索力估計提供有效的解決途徑。

(2) 以實測實驗數據為基礎，自適應神經模糊系統結合基頻-索力求解公式推理出拉索基頻與索力的關系，簡化了拉索理論數學模型建立的復雜度及繁瑣的索力計算公式。

(3) 經過自適應模糊推理系統得到的訓練平均誤差在0.138 92 N，測試誤差達到在0.291 1 N，相對誤差分別為為0.003 47%和0.007 27%。表明拉索基頻與索力關系的準確度較為理想，也表明本文方法能達到工程應用中計算索力的要求。