復合型遞推關系研究數列通項公式的解題策略

陳青

摘 要：數列不僅是高考和競賽的考察重點，也是高中數學的難點之一。細探最近幾年數列的高考真題，考察的側重點由單一知識型轉向復合綜合型，所以掌握復合型遞推關系求通項公式是解決數列這道大題的關鍵。本文給出了解決復合型遞推關系求通項公式的兩類解題方法：“待定系數法”和“構造法”，以指數型遞推數列求通項公式為例，供同學們參考。

關鍵詞：待定系數法;構造法;通項公式;解題策略

一、通項公式的地位

對于數列這道難題而言，解決的關鍵之處就是求出通項公式。因為只有在通項公式已知的基礎上，才可以解決數列中的很多綜合性問題，例如：數列作為一類特殊的函數，可以考察單調性、最值、不等式等;也可以求和，研究其前n項和的一些性質，所以求出通項公式是解決數列題至關重要的一步。

二、復合型遞推關系的兩類解題策略：“待定系數法”和“構造法”

在數列的學習過程中，我們已經掌握了很多求數列通項的方法，比如：公式法、疊加法、疊乘法、倒數法等，這些方法非常適用于求解常見的簡單題型，但是很多時候無法求解復雜的復合型遞推關系。本文給出兩種解決復合型遞推關系研究數列通項公式的方法：“待定系數法”和“構造法”。

（一）待定系數法

數列作為特殊的函數，通項公式就相當于函數的解析式，待定系數法是求函數的解析式一類特別重要的方法，而這種方法同樣也特別適用于數列求通項公式。當遞推關系的前后兩項滿足an+1=pan+f（n）型時，我們就可以利用待定系數法解決，處理方式是假設an+1+g（n+1）=p*（an+g（n））構造新的等比數列，其中g（n）的形式與f（n）相同，利用與題干中的遞推關系系數對應相等求出g（n）中的系數，進而求出原數列的通項公式。

（二）構造法

其實求解特殊的數列類型：等差和等比數列的通項公式時，公式法是最直接的方法，但是往往我們遇到的遞推關系并不能直接判斷是否為這兩種特殊的數列類型，但是我們可以利用“構造法”構造出新的等差數列或者等比數列。比如：數列前后兩項系數相同即形如an+1=an+f（n）型，可構造“等差型數列”，同時再利用常見的“疊加法”“錯位相減法”即可。再比如：an+1=f（n）*an型，則可構造：“等比型數列”結合“疊乘法”解決。

這兩種方法對于解決復合型遞推關系求通項公式非常有效，并且對于有些題型，這兩種方法同時適用。而有的題型可以通過構造法的兩種方式解決，既可以構造“等差型數列”，也可以構造“等比型數列”解決，下面用兩種方法來解決具體例題。

三、典例精析

例1已知數列{an}中，，求an。

分析：因數列前后兩項系數相同，可構造“等差型數列”利用“疊加法”與“錯位相減法”。

解由，利用“疊加法”得：

①

②

①和②錯位相減得：

③

上式除了前后兩項是一個等差乘以等比數列求和，利用錯位相減法易求，即，所以。

例2已知數列，a1=1，求an。

分析：該類型不僅可以利用待定系數法構造新的“等比型數列”直接求通項公式;也可以除以后一項系數的指數構造“等差型數列”利用“疊加法”搭配“錯位相減法”解決。

解：方法1（待定系數法）令

整理后與原遞推關系比較可得，則數列是以39為首項，3為公比的等比數列，可得。

方法2（構等差用疊加）遞推數列同除3n+1得：，滿足類型1中的“疊加法”可得：該等式右端的求和方法和例1的求法一樣，用兩次錯位相減法即可求出（此處略），可得，當n=1時也滿足上式。

例3已知數列{an}滿足an+1=2n·an，a1=1，求an。

分析：通過構造新的“等比型數列”利用“疊乘法”解決;或者兩邊取對數構造新的“等差型數列”利用“疊加法”解決。

解：方法1（構等比用疊乘）由題得，利用“疊乘法”可得：，即。

方法2（構等差用疊加）由an+1=2n·an兩邊取對數得：，該形式滿足例1的形式，利用“疊加法”可得：，所以。

2019年版《中國高考評價體系》在“四層”的關鍵能力中提出思維認知能力，要求通過素質教育的培養，思維認知能力強的學生能夠多角度觀察、思考同一個問題;能夠靈活地、創造性地運用不同方法解決問題。而通過這兩種方法的學習，不僅可以解決數列求通項公式的難點，亦可鍛煉學生的思維認知能力。

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