平面圖形面積公理及其單元教學內容的邏輯結構

劉加霞

北京教育學院初等教育學院院長，教育心理學博士，教授，教育部國培專家庫成員;提出“把握數學本質是一切教學法的根”“實證研究學生是有效教學的根本”“培訓實質是改變與創新”等觀點，以及“CARE伙伴式”校本研修模式;在《課程·教材·教法》《中國教育學刊》《中小學管理》《人民教育》《小學數學教師》《小學教學》等期刊發表論文百余篇，著作有《小學數學有效教學》《小學數學有效學習評價》《小學數學課堂教學設計》等。

求平面圖形面積的過程貫穿整個數學發展史，從古代數學到17世紀的微積分、現代的測度論，乃至今天的分形理論都與面積問題息息相關。解決面積問題源于田畝丈量、賦稅分配、天文觀測等現實需要，其中蘊含著重要的數學思想方法，是培養學生數學思維能力的重要載體。

平面圖形的面積是小學數學中的基礎內容，其教材內容選擇和編排順序與數學發展史存在不同。教材編排依據數學發展邏輯，還是小學生的認知基礎與思維水平？抑或融合二者？本文將分析面積的本質及公理、面積公式之間的邏輯發展脈絡以及學生的認知基礎和不同思維水平，依此進一步解釋教材的編寫邏輯。

一、基于平面圖形面積公理劃分學生的認知水平

人對物體或圖形的面積有與生俱來的直覺，早在嬰兒階段就已經能辨別兩塊餅的大小。比較面積大小與求出面積值是人的本能性活動。因此，學生無需花時間去理解面積的“描述性定義”，只要知道它是衡量區域大小的非負數值，即任何一個平面區域都與一個非負數建立“一一對應”關系，這個非負數就是面積單位的個數。因此，哪個圖形的大小作為面積單位？是否讓學生像學習長度一樣經歷“自創單位”到“標準單位”的過程？下述面積公理可以回答。

平面圖形面積的存在是因為滿足下述特性，可稱之為面積公理（長度、體積、角度等都滿足類似特性，這是測度論的基本性質）。

（1）正則性：規定邊長為1的正方形，其面積為1。

（2）運動不變性：一個圖形經過平移、旋轉、反射等剛體變換后，其面積不變。

（3）合同性：完全重疊的兩個圖形其面積相等。

（4）有限可加性：整個圖形的面積等于分割開的各部分圖形面積之和。

小學生關于面積守恒性的不同理解水平是其理解面積概念、解決面積問題的前提，也是教材內容選擇與編排的主要依據。根據面積公理及大量學生調研，筆者劃分出以下四種水平。

無論是面積公理，還是學生的認知水平，都基于平面圖形面積的本質，即覆蓋住該圖形的“小正方形（方格）”的個數。用“方格”作為面積單位是規定，如張奠宙所說“畫方格、數方格是一切面積和體積問題的本質”，這是直覺水平的內容。如果再選其他“圖形”，例如三角形、長方形甚至圓形等作為面積單位，反而顯得“不自然”。教師設計用這些圖形作為單位來度量不是有效、有價值的學習活動。我們學習長度單位經歷“自創”（例如庹、拃、步等）到“國際標準”的過程，符合人的生活經驗和歷史發展，而面積單位的產生沒有這個過程。

理解曲邊圖形面積的近似值需要學生的思維達到第三、第四種水平。小學生很難真正理解圓（曲邊圖形）的面積公式：“無限細分”使小方格的面積“趨于0”，全部小方格面積之和的極限是該圖形的面積（用積分求面積時，面積微元不是“小正方形”，而是“小長方形”）。大多數小學高年級學生能夠想象“由無限分割實現‘曲化直”，即只是認可圓面積公式，但不能真正理解極限概念。

現實中，解決圖形面積問題很少用“數方格”的方法，因為不夠簡便，一般用面積公式計算，即計算兩個“長度”的乘積。研究圖形面積公式是中外數學中的重要內容。

二、數學史視角下各平面圖形面積公式的推導與邏輯關系

古代各民族數學都研究面積問題，所用方法不盡相同：中國利用“以盈補虛法（出入相補）”，印度使用“面積拼補法”，希臘采用“面積貼合法”。前兩者重在解決實際問題，認為“出入相補”“面積拼補”是不證自明的，后者重在推理證明?？傮w上看，中國古代幾何一般不討論圖形離開數量關系的性質，重視計算出長度、面積、體積等，以解決現實問題，沒有發展出基于公理的幾何演繹體系。但也有數學家重視并給出平面圖形面積公式的證明。

我國最早研究面積問題的著作《算數書》和《九章算術》，都以長方形（方田）面積公式為邏輯起點。例如《九章算術》“方田章”中的“方田術（以“步”為長度單位）、里田術（以“里”為長度單位）”、大廣田術（長、寬是假分數）中給出長方形面積公式“廣從（‘廣指長方形的‘寬或‘東西方向線段長度，‘從指長方形的‘長或‘南北方向線段長度）步數相乘得積步、廣從里數相乘得積里”，但都沒有對此進行證明?！吧購V章”則給出該公式的實際運用：已知面積數、一邊的長度（假分數），求另一邊長?！毒耪滤阈g》重視算法，給出了各種“術”，但沒有證明過程，缺少演繹體系的構建。

劉徽在注述《九章算術》時也未證明長方形面積公式，只給出面積定義“凡廣從相乘謂之冪”。唐初李淳風注述《九章算術》時有進一步證明，其推導過程與圖1所示原理相同。這與當下教材中第一行擺“4個小正方形”，擺“這樣的3行”不完全相同（圖略）。

劉徽以長方形面積公式為邏輯起點證明其他平面圖形面積公式。如運用“以盈補虛法”證明了圭田（等腰三角形）的“半廣以乘正從”、邪田（直角梯形）與箕田（一般梯形）的“舌、踵和的一半乘正從”等面積公式。這與當下小學數學教材中的證明過程不同。

《九章算術》提出了圓面積的四種算法，第一種是“半周半徑相乘得積步”。劉徽運用著名的“割圓術”——從圓內接正六邊形出發，開始“割圓”，得到正[6·2n]邊形序列，通過“割之彌細，所失彌少”的極限思想證明了圓面積公式。這個思想與古希臘阿基米德的方法異曲同工，只不過阿基米德研究的是圓的周長。郭書春教授認為，“割圓術”不僅僅是求圓周率的方法，更“證明”了圓面積公式的成立，蘊含著極限思想。祖沖之在“割圓術”基礎上，得益于中國籌算的“位值制”（因為有“0”的地方就有“空格”，計算不會混淆），而使圓周率精確到小數點后第7位數字。這在世界上領先千年左右，但其思想性遜于“割圓術”。

三、教材內容選擇和編排與數學發展史的異同

當下各版本教材內容選擇和編排順序與人們認識平面圖形面積的發展過程基本一致，主要包括四個進程：用重疊法比較兩個圖形面積的大小;用“方格（單位）”測量某個圖形，單位個數就是其面積;用公式計算平面圖形面積;用微積分方法求曲邊圖形及曲面的面積。小學階段主要學習前三個內容，第四階段屬于高等數學范疇，在小學只是略有滲透。

教材中各個平面圖形面積公式的呈現順序、推導方法與數學發展史存在不同，主要表現在以下幾個方面。

1.長方形面積公式的推導過程與方法不盡相同

數學發展史上要么把長方形面積公式作為“公理”不加證明地使用，要么用“從而疏之，又橫而截之”的分割方法說明;教材則采用“拼擺方格”的度量方法得出面積公式。

2.平行四邊形面積公式的處理方式不同

中國古代數學中，長方形是所有圖形面積公式推導的起點，然后是三角形、梯形、圓形及扇形等面積公式，沒有明確提出平行四邊形面積公式。1952年，由俞子夷主編、人民教育出版社出版的高級小學教材《算術課本》基本按照數學史的發展進程編排，沒有編入平行四邊形面積公式。20世紀60年代以來的小學數學教材都將平行四邊形通過“割補”轉化為長方形計算面積，然后再研究三角形、梯形的面積。

從數學學科發展角度看，不需要平行四邊形公式。因為長方形與三角形面積公式是根本，其他所有平面圖形都可以轉化為這兩個圖形求面積、得出公式。從小學生知識基礎、思維水平看，學生難以理解用出入相補法推導三角形、梯形面積公式，所以必須先學習平行四邊形面積公式，再用“倍積法”將兩個全等三角形、梯形轉化為平行四邊形得出面積公式。因為推導平行四邊形面積公式所涉及的數學知識、“等積變形（面積守恒）”原理等，學生憑借直覺就可以接受，不需要補充其他數學概念、判定定理。

3.三角形、梯形面積公式的推導方法不同

當下教材中三角形、梯形面積公式的推導方法與劉徽的“出入相補法”不同。教材用“倍積法”（如圖2）將三角形轉化為平行四邊形。有的教師教學時也補充轉化為長方形的方法，如圖3所示。

“倍積法”涉及的數學知識以及思維水平相對簡單，而“出入相補法”是將一個三角形沿其高與中位線做“割補”，此方法需要做“輔助線”，要用到中位線、平行線的性質以及三角形全等的判定等知識，推理過程較復雜，不適合所有五年級學生。但對部分學生而言，出入相補法處于他們的最近發展區，更有挑戰性和探究性。對五年級學生而言，“倍積法”沒有知識難點但有思維難點。如果教師不提供兩個全等三角形學具，學生能獨立創造出“倍積法”嗎？如果教師提供了學具，讓學生通過操作、推導得出三角形面積公式，又容易淪為“為操作而操作”，使學生缺少數學思維的深度卷入。小學階段用“倍積法”還是用出入相補法推導三角形、梯形面積公式，需要我們深入研究。

此外，南宋時期的秦九韶給出求三角形面積的方法——三斜求積術，即已知三角形三邊求其面積的方法，用現代數學符號表示就是：

[S=14a2b2-（a2+b2-c22）2]

根號下多項式因式分解后所得到的三角形面積公式與古希臘海倫公式是等價的，小學階段不學習該公式。

4.圓面積公式推導方法不同

各版本教材都沒選用劉徽的“割圓術”推導圓面積公式。因為用內接正多邊形面積與外切正多邊形面積“夾逼”出圓的面積的方法，超出了小學生的知識基礎和思維水平。教材采用將圓平均分成小扇形，再拼擺轉化為平行四邊形或長方形的方法。這是因為小學生難以理解極限思想，只能借助“想象”感受“無限分割”過程，認可“拼擺而成的平行四邊形面積就是圓的面積”。

因此，小學數學教材內容的選擇與編排，在遵循學科發展邏輯基礎上，以學生的生活經驗、知識基礎以及思維水平為主要依據。這與數學史發展脈絡不完全一致。

責任編輯? 劉佳