兩類具有激波層性態的奇攝動邊值問題

馬晴晴，張志明

(阜陽師范大學 數學與統計學院，安徽 阜陽 236037)

攝動方法隨著內層問題的深入研究而不斷發展，內層與邊界層不同之處在于，有許多實際問題其中急劇的變化發生在感興趣區域的內部。例如從流體力學、固體力學和氣體動力學等物理問題中建立的模型壓縮流以及從混合燃燒、催化反應和穩態濃度等化學問題中導出的化學反應流，往往會出現激波層等性態，這里考慮兩種具有激波層性態的邊值問題，對論文[1]的結果進行了推廣。

考慮一般的二階奇攝動Dirichlit 問題

其中：ε是任意小的正數,A、B是任意給定的常數。

假設uL(t)和uR(t)分別為退化問題

在[a,b]的解，把解uL(t)和uR(t)分別稱為退化問題的左解和右解。若問題(1)和(2)的解在t0∈(a,b)具有內層性質或者說呈內層性態，則根據左、右解及其左、右導數在t0的取值情形分類如下

銜接法主要用于uL(t0)≠uR(t0)的情形。相應的內層分別稱為激波層和非單調過渡層，本文主要考慮第一種性態即激波層性態，給出如下定義。

定義1[1]若問題(1)，(2)在[a,b]上的一個解x=x(t,ε)滿足

其中：uL(t0)≠uR(t0)，且s介于uL(t0)與uR(t0)之間，則稱解x(t,ε)在t=t0處呈激波層性態。

uL(0)≠uR(0)，且s介于uL(0)與uR(0)之間。

2 一類擬線性邊值問題

Cole[1]較早研究如下擬線性的邊值問題

其中：B,C是已知常數。當邊界值B和C產生變化時，此邊值問題除了在端點t=0(或t=1)處出現邊界層之外，當其滿足以下條件：

時，激波層性態在內點t0=(1-B-C)∈(0,1)處就會出現。當然，這個有趣的問題引起大部分學者的[2-6]的興趣，莫嘉琪等[7-12]做了如下羅賓問題

詳細討論了可能的激波位置，給出了激波解[13-18]的漸近表達式。

考慮一類更加一般的擬線性邊值問題

其中：g(t,x) 在[0,1] ×R上連續，且存在函數uL(t),uR(t)∈C2[0,1],分別滿足退化問題

使得uL(t)+uR(t) 為[0,1] 上的單調函數，uL(t)≠uR(t)。

由于uL(t)≠uR(t)，由于問題的解(如果存在)存在邊界層或內層現象，這里分析了該問題的解在t0∈(0,1)處如果呈現激波層狀態，那么它的條件是什么,最后通過匹配漸近展開法[19-20]在表面構造出在[0,1]上具有一直有效性的激波層漸近解。

將外展開式x0=代入(3)和x(0,ε)=-B或x(1,ε)=C,令ε0的系數相等即可得

可知它們對應的是退化問題(5)和退化問題(6)，由假設可知，其解x0=uL(t)和x0=uR(t)表示為

現假設激波層在內點t0∈(0,1)出現，那么對t0處引入伸展變換

將(7)代入(3)得到

由此可知特異極限會在λ=1 時出現,該方程寫為

設內展開式形式為

將它代入(8)，并令ε0的系數相等可得

從(9)解出

另外，我們也可以通過劉姥姥與賈雨村形成對比，我們知道他們都相當于打秋風的人，但是兩個人對恩人的表現卻十分不同，賈雨村盡管有時會在利益的誘惑下幫助恩人，但大多是助紂為虐，而最終在沒有利益的時候，在要付出巨大的代價的時候，賈雨村選擇了背叛恩人，還落井下石，讓我們看到了人性丑惡的一面，而劉姥姥卻不一樣，她用自己的一切選擇了幫助恩人，盡管恩人當時已經不能再給她任何好處了，而且劉姥姥還要付出巨大的代價，所以人性的善惡通過這兩個人我們就可以清晰地看到，此外，這兩個人的安排也十分巧妙，都是從頭到尾的線索人物，讓我們看到了曹雪芹寫作技巧的高超。

k,c為積分常數并且k≠0，不失一般性，取k＞0，根據匹配原則，應有

由此定出

可發現假設在t=t0(即ξ=0)處有激波層，得出X0(0)=0。因此從(12)給出c=1，有

綜合上面的討論，得到復合展開式

其中k和t0的值由(14)，(15)確定。

3 一類兩次邊值問題

考慮如下形式的二次問題

其 中0 ＜ε＜＜1,a,b(a＜0 ＜b) 。討論 了 當t=0 是f(t)的高階轉向點的問題(17),(18)并分析了它們在t=0 處存在激波解的條件，利用合成展開法把這個問題的形式漸近解構造出來，再應用微分不等式理論來證明當ε→0 時解的漸近性質和激波解的存在性，假設

H1：存在函數uL(t),uR(t)∈C2[a,b]分別滿足退化問題

H2：f(t)∈Cn[a,b](n≥3) 使f(0)=f′(0)=…=f(n-1)(0)=0 且f(n)(0)≠0，即t=0 為f(t)的n階轉向點。

H3：g(t,x)∈C1([ ]a,b×R)，且存在常數l＞0，使gx(0,x)≥l。

使用合成展開法來簡單地構造問題(17)和(18)的零次形式近似，這里先將外部解

代入(17)和u(a,ε)=A或(u(b,ε)=B)。因此可知道外部解的零次近似u0=uL(t)和uo=uR(t)，它們分別是退化問題(19)和(20)在[a,b]上的解。

因為uL(0)≠uR(0)，需要在t=0 附近構造激波層校正項

其中ε=為伸展變量，將U(t,ε)+V(ξ,ε)代人(3)得到

其中：g(ξε,U)和g(ξε,U+V)分別表示為

其中：0 ＜θi＜1(i=1,2)；η介于u0(0)與U之間；ξ介于u0(0)+v0與U+V之間；u0(0)=uL(0)或uR(0)。在(21)中令ε0的系數相等可得

當取u0(0)=uL(0)時，相應的v0(ξ)記作vL(ξ)，考慮到vL(ξ)作為激波層在(]-∞,0 上的主要校正項，應滿足vL(-∞)=0，v˙L(-∞)=0，故從(22)推出

類似地，當取u0(0)=uR(0)時，vR(ξ)(ξ∈[0,+∞))應滿足vR(+∞)=0,v˙R(+∞)=0,

從而有

其中

下面討論uR(0)＞uL(0)的情況(類似地可以討論uR(0)＜uL(0)的情況)，仍可由激波層校正項的性質得到v˙0(ξ)＞0(v0=vL或vR)，故從(23)和(24)推出

且vL(ξ)和vR(ξ)可分別表示為

用銜接法，若令

就有

而(25)可改寫為

于是得到問題(17)，(18)的解

再利用微分不等式的理論，從而去證明當ε→0 時解的漸近性質及激波解的存在性。

定理1在H1～H3下，并假設

H4：uR(0)＞uL(0)，且條件(29)和不等式(29)，(30)成立，那么存在充分小的正數ε0，使對于每個0 ＜ε≤ε0，在問題(17)，(18 的區間[a,b]中，在t=0時有激波層性態的一個解x(t,ε)，并且在[a,b]上一致有x(t,ε)=x0(t,ε)+O(ε)。

證明先說明由(26)所確定的vL(ξ)當ξ→-∞時為指數型小項(記為EST），事實上，由假設H3知對任意z∈(0,vL(0))，g(0,uL(0)+z)-g(0,uL(0))≥lz,

隨之有

因此vL≤vL(0)exp(kξ)。

所以

當ξ＞0 時，vR(ξ)∈(vR(0),0)，類似討論得到

其中τ介于u0(0)+v0與u0+v0-rε之間，于是可取r≥，這里K＞0 使|O(ε) |≤Kε，

由假設H3推出

類似可得

又顯然在[a,b] 上a(t,ε)≤β(t,ε)，且由(31)，(32)可知，只要保證ε充分小，就可得α(a,ε)≤A≤β(a,ε)和α(b,ε)≤B≤β(b,ε)。

應用微分不等式理論，推出問題(17)、(18)在區間[a,b] 上存在一個解x(t,ε)，并且滿足

故當ε→0 時在區間[a,b] 上一致地有

且uL(0)≠uR(0),s=[uL(0)+uR(0)] 是在uL與uR(0)之間的，所以解x(t,ε)在t=0 處呈現激波層性態。定理證畢。

3 小結

在研究奇攝動的內層問題時，提出了一種構造方法，稱為銜接法:即通過分別構造內層兩邊解的近似，然后平滑地連接相應的曲線，形成整個區間上解的近似表達式。本文用它研究了兩種奇攝動邊值問題中的激波層性態，進一步可考慮非單調過渡層的奇攝動邊值問題。