基于最小塑性區半徑準則的巖石裂紋起裂規律

高 瑋，崔 爽，肖 婷，陳 新，周 聰，胡承杰

(1.河海大學 土木與交通學院，江蘇 南京 210098; 2.河海大學 巖土力學與堤壩工程教育部重點實驗室，江蘇 南京 210098)

巖石是一種典型的地質體，其中含有大量裂隙、節理及微裂紋。國內外大量工程實踐和研究表明，巖石工程的失穩破壞大多與自身的裂紋起裂擴展有關，巖石的變形破壞過程實質是內部裂紋不斷產生、演化和擴展的過程[1]。巖石中多裂紋的起裂及其貫通破壞機制研究是巖石斷裂力學研究的重點課題之一，同時也對裂隙巖體工程穩定性、邊坡滑坡預防及構造地震產生機制及預測預報等研究具有重要的理論和實際意義[2]。因此，研究巖石中多裂紋的起裂規律對巖體工程的穩定性具有重要的理論意義和工程價值。

目前，研究者對巖石中多裂紋的起裂規律已進行了大量研究，主要研究方法有理論計算、室內試驗和數值模擬。

在理論計算方面，許多學者從能量、應力和應變等角度分別建立了不同的斷裂準則。席婧儀[3]采用最大周向拉應力準則和應變能密度因子準則分別計算了受拉和受壓多裂紋的起裂角。劉紅巖[4]將T應力引入到傳統斷裂力學的最大周向拉應力準則，提出了考慮T應力的修正最大周向應力準則，研究了巖石壓剪裂紋的起裂機理。劉洋等[5]用最大周向拉應力準則計算了單一裂紋在單軸壓縮荷載作用下的應力強度因子及其擴展趨勢，認為斷裂角只與裂紋和載荷有關。李宏福等[6]以受單向壓縮的中心斜裂紋為研究對象，基于修正的最大周向拉應力準則分析了裂紋間的摩擦因數、閉合度對主裂紋尖端應力強度因子及裂紋起裂角的影響。盡管目前裂紋起裂理論計算方面已經有了較多研究成果，但大部分研究均為彈性斷裂的研究，考慮裂尖塑性區影響的研究尚不多。

研究多裂紋起裂常用的試驗方法有CT掃描、壓縮斷裂試驗、光彈性試驗、數字圖像相關方法和聲發射等。郭奇峰等[7]采用聲發射與表面應變監測等手段，采用最大畸變能理論對單軸壓縮條件下裂隙花崗巖的裂紋起裂荷載、起裂角以及裂紋擴展路徑進行試驗與計算。CAO等[8]基于含三條預置裂紋的類巖石材料單軸壓縮試驗，研究了多裂紋的起裂、壓密、擴展和貫通機制。徐麗海[9]以巖石裂紋系統為研究對象，利用類巖石材料物理試驗和數字圖像相關方法相結合的手段研究了類巖石材料中不同尺寸及布置形式的單裂紋、雙裂紋的起裂及擴展規律。李存寶等[10]為研究頁巖在破壞過程中的起裂機制，對具有不同層理傾角的頁巖巖樣進行了不同圍壓下的常規三軸壓縮實驗，研究了層理傾角對起裂荷載和裂紋損傷應力的影響。盡管目前裂紋起裂試驗研究方面已經有了較多成果，但大部分研究均為裂紋彈性擴展的研究，關于裂紋尖端塑性區影響的研究尚不多。

數值模擬研究方面，楊慶和劉元俊[11]采用顆粒流軟件PFC2D實現了含不同巖橋傾角的預制雙裂紋石膏材料在單軸壓縮作用下裂紋擴展貫通的過程。李錚等[12]采用近場動力學方法模擬了單軸壓縮狀態下，含預制裂紋的類巖石材料裂紋起裂和連接問題。孫翔等[13]基于有限元與離散元混合方法分別對初始裂紋傾角為45°的單裂紋以及巖橋為90°的雙裂紋巖石試樣在單軸壓縮作用下，裂紋的擴展過程進行了模擬。周小平等[14]基于擴展有限元法，建立了單軸壓縮作用下類巖石材料多裂紋擴展過程和擴展路徑的數值模擬方法。但數值模擬方法的輸入參數難以獲取，且輸入參數如何與巖石的宏觀力學性質更好對應還需要進一步研究。同時，考慮裂尖塑性區影響的研究也不多。

盡管目前多裂紋起裂領域已有了較多研究成果，但大部分研究沒有考慮裂尖塑性區對裂紋起裂的影響，僅僅通過物理試驗和數值模擬再現多裂紋起裂擴展及斷裂過程。實際上，裂紋尖端塑性區的存在是材料抵抗斷裂的重要因素，與裂紋的斷裂擴展角有密切關系，裂紋起裂角取決于裂紋面處的應力，遵循塑性核區域的局部最小值或全局最小值[15]。因此，裂尖塑性區對裂紋的起裂影響很大。為了考慮裂尖塑性區的影響，基于摩爾-庫倫強度準則推導了裂尖塑性區半徑公式，并考慮硬化對其進行了修正，然后基于最小塑性區半徑準則得到了裂紋的起裂角和起裂荷載。最后，計算了共線三裂紋試樣中心裂紋長度與外裂紋長度比值、裂紋傾角和裂紋間距對起裂荷載的影響，進而分析了巖石中多裂紋的起裂規律。

1 裂紋尖端塑性區半徑計算

裂紋尖端及其坐標表示如圖1所示。

圖1 裂紋尖端及其坐標表示Fig.1 Crack tip and its coordinate representation

由斷裂力學[16]可知，裂紋尖端處的主應力為

(1)

其中，Y,Z分別為

(2)

式中，σ1,σ2和σ3分別為大主應力、中主應力和小主應力；r為圖1中A點到坐標原點的距離；θ為圖1中OA與x軸的夾角；μ為泊松比;λ=KⅡ/KⅠ，KⅠ,KⅡ分別為Ⅰ型,Ⅱ型裂紋的應力強度因子。

1.1 基于摩爾-庫倫強度準則的塑性區半徑

摩爾-庫倫強度準則是巖土工程領域使用最普遍的巖土力學準則，可以比較準確地反映應力水平較低的巖土強度特征。該準則假設，巖石內一點的破壞主要決定于大主應力和小主應力，與中間主應力無關。摩爾-庫倫強度準則[17]可以表示為

σ1-ασ3=σt

(3)

其中，σt為材料抗拉強度；α=σt/σc為材料抗拉強度與抗壓強度的比值,即硬化系數。將式(1)代入式(3)，可以得到塑性區半徑公式為

(4)

平面應變狀態下κ=1-2αμ;平面應力狀態下κ=1。

實際巖石工程中巖石常處于受壓狀態，其內部裂紋在壓縮作用下可能閉合，而受壓閉合裂紋由于閉合裂紋面的物質相互不可侵入，使得裂紋面之間只能產生滑動[18]。因此，通常情況下可以認為裂紋的Ⅰ型奇異消失。為了簡化計算，假設KⅠ=0，從而式(4)化簡為

(5)

1.2 考慮材料硬化的塑性區半徑修正

前述推導的裂紋尖端塑性區半徑是基于K場可一直延續到彈塑性邊界(無過渡區)的假設，簡單地將K場中小于R處的應力由K場解換為σ3。因此，1.1節給出的塑性區尺寸解無法滿足總體靜力平衡條件。

圖2 考慮硬化的塑性區修正模型 Fig 2 Plastic zone correction model considering hardening

圖2中，曲線A′B′代表材料硬化時的應力分布σy，可表達為

(6)

曲線ABC代表彈性區的應力場分布，可表達為

(7)

(8)

(9)

(10)

同理，當θ≠0，考慮材料硬化的塑性區半徑是未考慮材料硬化的塑性區半徑的2/(1+n)倍，考慮材料硬化的塑性區半徑rp公式為

(11)

2 單軸壓縮條件下基于最小塑性區半徑準則的裂紋起裂角和起裂荷載

從物理概念來說，裂紋尖端塑性區是一個高度緊張的區域，裂紋尖端必須通過這個高應變區域傳播，才能到達核外的彈性加載區。最小塑性區半徑準則[22]認為裂紋沿著裂紋尖端到塑性區邊界的最小半徑方向起裂，在此方向上，產生新裂紋面所需的塑性功最小，也就是所需的斷裂能最小。為了考慮裂紋尖端塑性區的影響，這里基于最小塑性區半徑準則求解裂紋的起裂角及起裂荷載。

以對稱布置三共線裂紋為例來計算起裂角和起裂荷載，設一無限大平板，中心有3條對稱布置的共線裂紋，板受與裂紋線成β角的單向均布壓力σ作用，如圖3所示，a′，b′，c′為裂紋尖端a,b,c的對稱點。目前的大部分研究是以排列形式較簡單的單裂紋或雙裂紋為研究對象，分析這些裂紋形式下的擴展規律，而對于不等長多裂紋擴展規律的研究還較少。本文以對稱布置的三共線裂紋為研究對象，可以簡化模型的計算量，所需研究的裂紋尖端數由6個簡化為3個。

圖3 含對稱布置的三共線裂紋受單軸壓縮作用Fig.3 Model of three collinear cracks with symmetrical arrangement under uniaxial compression

2.1 裂紋起裂角

裂紋沿塑性區半徑rp最小的方向起裂[22]，有:

(12)

其中，θc為起裂角。在單向應力狀態下，將式(11)代入式(12)，可得

(13)

(14)

對于受壓裂紋，三共線裂紋起裂角θc判據均為式(13)和式(14)。其中，平面應力狀態下κ=1;平面應變狀態下κ=1-2αμ。

2.2 裂紋起裂荷載

根據最小塑性區半徑準則，起裂方向上塑性區半徑rp達到臨界值rc時開裂，即

rp>rc

(15)

對于純Ⅱ型裂紋(KⅠ=0)，本文采用文獻[23]的方法來計算臨界值rc，為

rc=rⅡc

(16)

基于文獻[23]，斷裂準則可寫為

(17)

其中

c22=1+ζ(1-cosθc)+3cos2θc

(18)

式中，平面應力狀態下μ*=0;平面應變狀態下μ*=μ;KΙc為Ⅰ型斷裂韌度;KⅡc為Ⅱ型斷裂韌度。

目前對于平面多裂紋應力強度因子計算問題，主要有3種解析解法:權函數法、邊界配置法和復變函數法。相對而言，復變函數法更靈活，適用范圍更廣，該法可求解任意分布的多裂紋應力強度因子。因此，本文采用文獻[24]中的復變函數法計算裂紋尖端的應力強度因子，其中，中心裂紋尖端的應力強度因子為

(19)

外裂紋內尖端的應力強度因子為

(20)

外裂紋外尖端的應力強度因子為

(21)

將式(19)代入式(17)可得中心裂紋起裂荷載為

(22)

將式(20)代入式(17)可得外裂紋內尖端起裂荷載為

(23)

將式(21)代入式(17)可得外裂紋外尖端起裂荷載為

(24)

3 單軸壓縮條件下裂紋起裂角

通過裂紋起裂角可以反映裂紋將沿哪個方向擴展，研究裂紋起裂角對裂紋擴展路徑的預測具有重要意義。知道了裂紋擴展路徑就可以采取有效的止裂措施防止裂紋破壞，同時對地震、滑坡、巖爆、塌方等自然災害的預測預報具有重要意義[26]。而且，計算裂紋起裂角是計算起裂荷載的理論前提。因此，研究巖石裂紋起裂角具有重要的理論和工程意義。

以對稱布置的三共線受壓裂紋為例，如圖3所示。裂紋起裂角判據為式(13)和式(14)。將式(13)化簡為

3sin2θc-2κ2cosθc+2κ2-4=0

(25)

平面應力狀態下κ=1，求解式(25)和(14)得θc=70.43°。平面應變狀態下κ=1-2αμ，式(25)可表示為

3sin2θc-2(1-2αμ)2cosθc+

2(1-2αμ)2-4=0

(26)

由以上分析可以發現，平面應力狀態下，受壓裂紋的起裂角為定值，而平面應變狀態下受壓裂紋的起裂角與硬化系數α和泊松比μ有關。為研究平面應變狀態下受壓裂紋的起裂角與硬化系數的之間關系，令泊松比μ=0.3，硬化系數α分別取0,0.1,0.2,0.3和0.4，代入式(26)和式(14)分別計算不同硬化系數α對應的起裂角，其結果如圖4所示。同理，令硬化系數α=0.3，泊松比μ分別取0,0.1,0.2,0.3和0.4，代入式(26)分別計算不同泊松比μ對應的起裂角，其結果與上相同。起裂角與泊松比的關系圖和起裂角與硬化系數的關系圖一致，所以用一個圖表示，如圖4所示。

圖4 平面應變狀態下受壓裂紋的起裂角與泊松比或 硬化系數的關系Fig.4 Relationship between crack initiation angle and Poisson’s ratio and hardening coefficient under plane strain

由圖4可知，平面應變狀態下受壓裂紋的起裂角隨硬化系數和泊松比的增大而增大。

4 單軸壓縮條件下裂紋起裂荷載

巖石裂紋起裂荷載會對裂紋擴展造成嚴重影響，從而誘發一系列工程災害。開展巖石多裂紋起裂機理研究，獲取復雜裂隙狀態下的巖石裂紋起裂荷載對研究地下工程圍巖的潛在破壞模式、止裂控制理論，分析巖體孕災機理，實現地下工程的安全、穩定建設和運行具有重要的理論價值和工程意義[27]。

以對稱布置的三共線受壓裂紋為例，如圖3所示。裂紋在不同壓應力下，裂紋閉合度η不同。因此，這里對2種特殊受壓裂紋進行分析:張開型裂紋(η=0)及完全閉合裂紋(η=1)。

4.1 中心裂紋長度與外裂紋長度比值的影響

如圖3所示，設壓應力σ=10 MPa，裂紋面摩擦因數f=0.5，裂紋面與軸向力的夾角(裂紋傾角)β=π/4，外裂紋長度取定值10 mm，即c-b=10;裂紋間距取定值10 mm，即b-a=10。令中心裂紋長度為2a=t(c-b)，t分別為0.5,1.0,1.5,2.0,2.5和3.0。設材料硬化指數n=0，硬化系數α=0.2，泊松比μ=0.3。Ⅰ型斷裂韌度KIC=0.52 MN/m3/2，Ⅱ型斷裂韌度KⅡc=0.52 MN/m3/2。將硬化系數α=0.2，泊松比μ=0.3代入式(25)計算受壓裂紋起裂角，然后將起裂角代入式(22)～(24)，分別計算不同中心裂紋長度與外裂紋長度比值t的張開型裂紋(η=0)和完全閉合型裂紋(η=1)的起裂荷載，其結果如圖5,6所示。

圖5 單軸壓縮下裂紋起裂荷載隨t值的變化曲線圖(η=0)Fig.5 Curves of crack initiation load with value t under uniaxial compression(η=0)

由圖5和圖6可知，各裂紋起裂荷載均隨t增加而逐漸減小。當t>1時，相同t值下中心裂紋的起裂荷載始終小于外裂紋尖端的起裂荷載，且外裂紋外尖端的起裂荷載最大，說明中心裂紋最易起裂，外裂紋外尖端最難起裂。

圖6 單軸壓縮下裂紋起裂荷載隨t值的變化曲線(η=1)Fig.6 Curve of crack initiation load with value t under uniaxial compression(η=1)

相同條件下，平面應力狀態下的起裂荷載大于平面應變狀態下的起裂荷載，這是因為平面應力狀態下塑性區較大，使裂紋擴展阻力增加，提高了巖石的斷裂韌性。裂紋面完全閉合時，所需的起裂荷載比裂紋面張開的起裂荷載大，這是因為隨著裂紋閉合度的增加，裂紋面接觸面積增大，裂紋面克服摩擦力做功越大，裂紋發生相對滑動越困難，因此所需的起裂荷載越大。

中心裂紋與外裂紋內、外尖端的起裂荷載對裂紋長度比t的靈敏度不同，當t從0.5增加到3.0時，中心裂紋的起裂荷載減小57.6%，外裂紋內尖端減小15.2%，外裂紋外尖端減小10.7%?？梢?，中心裂紋對裂紋長度比t最敏感，外裂紋內尖端次之，外裂紋外尖端最不敏感。

4.2 裂紋傾角的影響

設a=5，b=15，c=25，其他條件與4.1節相同，裂紋傾角β分別取10°,20°,30°,40°,45°,50°,60°,70°和80°。計算不同裂紋傾角β下張開型受壓裂紋(η=0)和閉合型受壓裂紋(η=1)的起裂荷載，計算結果如圖7,8所示。

圖7 單軸壓縮下裂紋起裂荷載隨裂紋傾角β的 變化曲線圖(η=0)Fig.7 Curves of crack initiation load with crack inclination β under uniaxial compression(η=0)

圖8 單軸壓縮下裂紋起裂荷載隨裂紋傾角β的變化 曲線圖(η=1)Fig.8 Curves of crack initiation load with crack inclination β under uniaxial compression(η=1)

從圖7，8可知，受壓狀態下，裂紋起裂荷載先隨著裂紋傾角增加而減小，后隨裂紋傾角增加而增加。受壓狀態下，裂紋面閉合度不同，裂紋起裂荷載也不同，完全閉合裂紋的起裂荷載遠大于張開型裂紋。

從力學角度解釋，單軸受壓狀態下，裂紋的起裂受Ⅱ型應力強度因子控制，Ⅱ型應力強度因子隨裂紋傾角先增大后減小。對于張開型受壓裂紋，由圖7可知，裂紋起裂荷載在裂紋傾角為45°時取最小值。對于完全閉合裂紋，裂紋起裂荷載最小值對應的裂紋傾角與裂紋面上的摩擦因數有關。對于本文選取的摩擦因數f=0.5，在裂紋傾角31.7°時，所需起裂荷載最小。

4.3 裂紋間距的影響

設中心裂紋與外裂紋的裂紋間距s′分別取2,4,6,8,10,14和20 mm，其他條件與4.1節相同。計算不同裂紋間距下張開型裂紋(η=0)和完全閉合型裂紋(η=1)的起裂荷載，計算結果如圖9,10所示。

圖9 單軸壓縮下裂紋起裂荷載隨裂紋間距s′的變化 曲線(η=0)Fig.9 Curves of crack initiation load with crack spacing s′ under uniaxial compression(η=0)

對比圖9和10可知，受壓狀態下張開型裂紋(η=0)和完全閉合型裂紋(η=1)的起裂荷載隨裂紋間距變化規律相同:隨著裂紋間距的增加，裂紋起裂荷載逐漸增加。這說明，裂紋間距越大，裂紋越難起裂。

中心裂紋與外裂紋內、外尖端的起裂荷載對裂紋間距s′的靈敏度不同，當s′從2 mm增加到20 mm時，中心裂紋的起裂荷載增加34.7%，外裂紋內尖端增加31.9%，外裂紋外尖端增加10.7%?？梢?，中心裂紋對裂紋間距s′最敏感，外裂紋內尖端次之，外裂紋外尖端最不敏感。

5 單軸壓縮條件下起裂荷載的試驗驗證

為了驗證理論計算的合理性，選擇文獻[3]中試件7和試件10的開裂試驗數據作為算例，來計算分析裂紋的起裂荷載。

該試驗采用相似材料模型實驗，試件由水、泥、砂混合人工制備而成，在制作試件過程中采用厚度0.5 mm的薄不銹鋼片預制裂紋，試驗在3 000 kN超高剛性伺服試驗機設備上完成，單軸壓縮試驗過程中采用位移控制方式，加載速率為0.2 mm/min。試驗過程中，采用FASRCAM SA1.1高速攝影機對試件的整個加載過程進行圖像信息采集得到裂紋起裂情況。

含三共線預制裂紋的試件7和試件10的試驗模型如圖11所示。

圖11中裂紋面與受力方向的夾角β=π/4，裂紋角α=π/4，主裂紋半長a1=18 mm，次裂紋半長a2=12 mm。試件7:d1=d2=18 mm。試件10:d1=d2=12 mm，其中，d1為裂紋尖端B到C之間的距離;d2為裂紋尖端D到E之間的距離。通過高速攝影機拍得的最終破壞形態如圖12,13所示，通過伺服試驗機直接測得的起裂荷載和峰值強度見表1。

圖12 試件7最終破壞形態 Fig 12 Final failure form of specimen 7

圖13 試件10最終破壞形態 Fig 13 Final failure form of specimen 10

表1 起裂荷載和峰值強度Table 1 Crack initiation load and peak strength

從試件7和試件10的破壞形態可發現B端、C端、D端和E端發育的次生剪切裂紋貫通了巖橋，2個巖橋均發生剪切破壞。A端和F端發育的翼裂紋在應力作用下沿加載方向朝試件端部擴展。巖橋的貫通剪切破壞和翼裂紋擴展造成試件7和試件10的破壞。

要計算裂紋起裂荷載還需知道裂紋的斷裂韌度、裂紋面摩擦因數和裂紋面閉合度等相關參數，由于該文獻中沒有測量數據，本文以常見的參數取值范圍為標準，參考文獻[28]假設斷裂韌度KⅠc=KⅡc=2 MN/m3/2，裂紋面摩擦因數f=0.5，裂紋面閉合度η=1，裂紋斷裂選擇最小塑性區半徑準則。

由于裂紋受壓閉合，Ⅰ型應力分量的奇異性不復存在，預置裂紋尖端應力強度因子KⅠ=0，按平面應力狀態求解裂紋起裂角θc=70.43°。對于試件10，計算得到各裂紋尖端起裂荷載為:A端PA=26.24 MPa，B端PB=25.56 MPa，C端PC=26.97 MPa，D端PD=28.56 MPa，E端PE=29.03 MPa，F端PF=29.57 MPa。由于B端所需起裂荷載最小，B端最先起裂，所以將PB作為起裂荷載。同理可以計算試件7的起裂荷載，詳見表2。由表2可知，理論計算得到的起裂荷載與試驗中測得的起裂荷載相對偏差都在10%以下，兩者比較吻合，從而可以證明理論計算的合理性。同時試件7的裂紋間距大于試件10的裂紋間距，試件7的裂紋起裂荷載大于試件10的裂紋起裂荷載，從而，間接證明了4.3節中隨著裂紋間距的增加，裂紋起裂荷載逐漸增加的結論。

表2 起裂荷載試驗值和理論計算值Table 2 Test and theoretical values of crack initiation load

雖然理論計算得到的裂紋起裂荷載和試驗的結果較為相符，但仍有一定的差別，這是因為參考文獻[3]中無斷裂韌度、摩擦因數、閉合度實測值，本文根據參考文獻[28]取值，與實際參數可能有一定偏差。

6 結 論

(1)平面應力狀態下受壓裂紋的起裂角為定值70.43°，平面應變狀態下受壓裂紋的起裂角隨硬化系數和泊松比的增大而增大。

(2)受壓裂紋起裂荷載與中心裂紋長度與外裂紋長度的比值t成反比，與裂紋間距s′成正比，隨裂紋傾角β的增加，先減小后增大，且受壓裂紋的極值點與裂紋面的摩擦效應有關。

(3)中心裂紋對裂紋長度比t和裂紋間距s′最敏感，外裂紋內尖端次之，外裂紋外尖端對裂紋長度比t和裂紋間距s′最不敏感。

(4)受壓裂紋的起裂荷載與裂紋面的摩擦因數和閉合度有關，相同條件下，張開型受壓裂紋起裂荷載小于完全閉合型受壓裂紋的起裂荷載。平面應力狀態下的起裂荷載大于平面應變狀態下的起裂荷載。

本文工作僅僅是初步理論研究，其應用于復雜的實際工程尚需進行更多工作，這也是以后要進行的研究方向。另外，本文研究主要針對裂紋的二維應力狀態進行，更加復雜的三維應力狀態分析也將是以后的研究工作。