“三招”破解一類數列求和問題

林世錦 馮帆

數列求和問題常以壓軸題的形式出現在各類試卷中，此類問題一般較為復雜，且難度系數較大.當遇到遞推式中含有（-1）n的數列求和問題時，很多同學在解題時常常找不到正確的解題思路.本文結合實例來探討一下解答此類數列求和問題的方法.

例題：數列{an}滿足an+1+（-1）nan=2n-1，則{an}的前60項和為________.

題目只給出了數列的遞推公式，卻沒有給出數列的首項，只能根據遞推公式得到兩項之間的關系式，解題的難度較大.通過研究，筆者得到如下三種求解方法.

一、直接法

直接法是解答數學問題的常用方法，是指根據題意，直接運用相關的定理、公式、定義來進行推理、運算，進而得到問題答案的方法.對于本題，我們可以由數列的遞推公式得到數列的前幾項，再由其和猜想數列的前60項和的規律.

解：由an+1+（-1）nan=2n-1，可得a3+a2=3，a5+a4=7，a7+a6=11，a61+a60=119.

由an+1+（-1）nan=2n-1①，

得an+2+（-1）n+1an+1=2n+1②，

由①②兩式可得an+2+an=2n+1+（-1）n（2n-1），

則an+4+an+2=2（n+2）+1+（-1）n+2（2n+3）③，

聯立②③式可得an+4-an=4+4（-1）n，

因此當n為奇數時，an+4=an，則a61=a1，

當n為偶數時，an+4-an=8.

所以a3+a2+a5+a4+a7+a6+…+a61+a60=a1+a2+a3+…+a60=1830.

我們從已知遞推公式出發，通過消元得到②③式，進而發現數列各項之間的規律：當n為奇數時an+4=an;當n為偶數時an+4-an=8，求得數列前幾項的和，便可求得數列的前60項的和.

二、轉化法

轉化法是指通過等價轉化將復雜、難度較大的問題轉化為簡單、易于求解的問題的方法.在解答復雜的數學求和問題時，我們可以通過發現規律或借助數列的性質將問題轉化為簡單的，易于求解的問題.

解：由an+1+（-1）nan=2n-1，可得a2=1+a1，a3=2-a1，a4=7-a1，a5=a1，a6=9+a1，a7=2-a1，a8=15-a1，…，

所以a1+a2+a3+a4=10，a5+a6+a7+a8=26，

所以該數列從第一項開始，每四項的和排列起來就是一個以10為首項，16為公差的等差數列，

因此a1+a2+…+a60=10+26+…+234=1830.

我們從已知遞推公式出發，分別用a1表示數列的前幾項，發現從第一項開始，每四項相加可以消掉未知的a1，且其和構成一個等差數列，運用等差數列的前n項求和公式便可求得數列的前60項和.

三、特殊值法

特殊值法是解答選擇、填空題的一種常用方法.有些問題較為復雜，且運算量較大，此時我們可以根據題意選擇幾個滿足題意的特殊值，將其代入題設中進行求解，便可快速求得問題的答案.

解：由an+1+（-1）nan=2n-1可得an+1=2n-1-（-1）nan，發現該數列無法確定，即a1不確定，要求數列的前60項之和，需先確定a1的值.不妨令a1=1，則a2=2，a3=1，a4=6，a5=1，a6=10，…，所以奇數項均為1，偶數項是以2為首項，4為公差的等差數列，所以??? .

我們通過研究可以發現問題的本質：前60項之和與a1的取值有關，于是給a1=1賦予特殊值，使無法確定的數列變成熟悉的數列，從而快速且準確地獲得問題的答案.

相比較而言，運用第一種方法，推導過程較為繁瑣，對同學們的邏輯推理、數學運算能力有很高的要求;第二方法較為靈活，對同學們的計算能力和數學思維都有所要求;而第三種方法最為簡單、有效，運用該方法能快速、準確地解題.因此，對于遞推式中含有（-1）n的數列求和問題，我們要充分挖掘題目的本質，找出問題中變量與不變量，認清變量之間的關系，從而找到數列的規律，快速求得問題的答案.

（作者單位：閩南師范大學數學與統計學院）