具有控制結構的集值強向量均衡問題解集的本質連通區

賴遵遠，陳劍塵

（南昌航空大學，數學與信息科學學院，南昌 330063）

引 言

在研究非線性問題的穩定性中，解集的本質連通區的存在性是值得探討的問題。而強向量均衡問題求出的強解是一種理想的解，相比向量均衡問題中的有效解、弱有效解和真有效解等均更好[1-6]。因此，研究強向量均衡問題解集的本質連通區是十分有意義的，同時也取得了一些相關研究成果。例如：龔循華和袁淑敏[7]在約束集值映射滿足一定連續性、目標映射是錐-真擬凸的條件下，證明了對稱強向量擬均衡問題構成的空間M中其解集的本質連通區的存在性定理；孟旭東和張傳美[8]在目標映射為錐-真擬凸、約束集值映射滿足一定連續性的條件下，得到了廣義強向量擬均衡問題構成的空間M中對每個廣義強向量擬均衡問題解集至少存在一個本質連通區；熊昀暄和陳劍塵[9]在序錐C的拓撲內部為空、C非空的條件下，給出了強向量均衡問題解集的本質連通區也是存在的結論。

一些數學家研究解集的本質連通區都是在序錐不變動的情況下進行的，而事實上當序錐變動時，解集的本質連通區也是值得研究的。本文在文獻[10]的基礎上，利用具有控制結構的集值強向量均衡問題解映射為usco映射的引理，當序錐是變動的以及映射滿足一定的條件下，證明了具有控制結構的集值強向量均衡問題解集的本質連通區的存在性定理。

1 預備知識

除特別說明外，本文始終假設X和Y均為實Hausdorff拓撲線性空間，K是X中的非空緊凸子集，C:K→2Y是一個集值映射，使得對?x∈K，C(x)均為Y中的閉凸點錐。族{C(x):x∈K}被稱為Y上的控制結構[11]，記K(Y)表示為Y上全體的非空緊子集。再設F:K×K→2Y為集值映射，我們考慮以下具有控制結構的集值強向量均衡問題(簡稱SSVEPD)：求x∈K，使得

接下來，我們來介紹一些集值映射的基本概念和結論。

定義1.1[12]設X和Y均為拓撲線性空間，F:X→2Y為集值向量，則

（1）稱F在x′∈X處是上半連續的，若對包含F(x)的任一開集V，存在包含x′的開集U，使得F(x)?V，?x∈U. 稱F在X上是上半連續的，若F在X上的任一點均為上半連續的。

（2）稱F在x′∈X處是下半連續的，若對包含F(x)任一開集V，F(x′)∩V≠?，存在包含x′的開集U，使得F(x)∩V≠?，?x∈U。稱F在X上是下半連續的，若F在X上的任一點均為下半連續的。

（3）稱F在X上是連續的，若F在X上既是上半連續的，又是下半連續的。

（4）稱F是usco映射，若對任意的x′∈X，F(x′)是緊值的，且F在X上是上半連續的。

引理1.1[13]設E1和E2均為賦范線性空間，A?E1，B?E2均為非空緊凸集，T1:A→2B，T2:A→2B均為A上有非空緊凸值且上（下）半連續的映射，λ(x)和μ(x)均為A上的連續函數，且λ(x)≥0，μ(x)≥0，λ(x)+μ(x)=1，?x∈A，則

是A上 具有非空緊凸值且上（下）半連續的映射。

引理1.2[14]設D是一個半序集，如果D的每一個全序子集都有上（下）界，則D必有極大（?。┰?。

定義1.2[10]設X和Y均為拓撲線性空間，C:K→2Y是一個集值映射，使得對?x∈K，C(x)均為Y中的閉凸點錐。G:X→2Y為集值映射，稱G為C(x)?似擬凸的，若對?x1,x2∈X，?λ∈(0,1)，有

或者

文獻[10]給出了具有控制結構的集值強向量均衡問題解的存在性定理。

引理1.3[10]設X和Y均為實Hausdorff拓撲線性空間，K?X為非空緊凸子集，C:K→2Y為閉集值映射，C(x)為Y中的閉凸點錐，F:K×K→2Y為集值映射。如果下列條件同時成立：

（1）對?x∈K，F(x,x)?C(x)；

（2 ）對?y∈K，F(x,y)在K上關于x是下半連續的；

（3）對?x∈K，F(x,y)在K上關于y是C(x)?似擬凸的。則

（i ）SSVEPD在K中是可解的，即存在x∈K，使得

（ii）SSVEPD解集是K中的緊子集。

2 SSVEPD解集的本質連通區

在本節中，將證明對任一u=F∈M，Φ(u)中都至少存在一個本質連通區。設X和Y均為Banach空間，K為X中的非空緊凸子集，F:K×K→2Y為集值映射。令

其中，F(x,y)是緊值，且滿足引理1.3中（i）、（ii）、（iii）。

設B1和B2均為賦范空間中的緊子集，則B1和B2中的Hausdorff度量定義為：

其中，h0(B1,B2)=sup{d(b,B2)|b∈B1}，d(b,B2)=inf{|b?b′||b′∈B2}。

對?F1,F2∈M，定義：

其中，h表示為K(Y)上的Hausdorff度量，K(Y)表示為Y上的所有非空緊子集。

于是對 ?F∈M，Φ定義了一個從M到2K的集值映射且Φ(F)≠?。

引理2.1[10]Φ:M→2K是一個usco映射。

定義2.1[10]對任意的u=F∈M，x∈Φ(u)，則

（1）稱x是Φ(u)的本質解，如果對x在K中的任何開鄰域O，存在u在M中的開鄰域V，使得對?u′∈V，有Φ(u′)∩O≠?。

（2 ）稱u是本質的，如果u的任一解均為本質的。

（3）稱u是弱本質的，如果存在u的 某個解為本質的。

引理2.2[10]存在M中的稠密剩余集Q，使得對?F∈Q均 為本質的。

下面的例子類似于文獻[15]中的例1。

例1令F(x,y)={(x1,y1),(x2,y2)}，?(x,y)∈K×K，其中(x1,y1)≠(x2,y2). 顯然F∈M，Φ(F)={(x1,y1),(x2,y2)}.如果 Φ(F)存在本質解，則本質解只能為x1或x2。

下證x1或x2均不可能為Φ(F)的本質解。

不妨設x2是Φ(F)的本質解，那么由于(x1,y1)≠(x2,y2)，故存在ε0>0，使得

其中，B((xi,yi),ε0)={(x,y)∈K×K|h((x,y),(xi,yi))<ε0}，i=1,2。

于是，對?ε∈(0,ε0)，顯然B((x2,y2),ε)為(x2,y2)的一個開鄰域。但對?δ>0，我們取∈M滿足存在(x0,y0)∈K×K，使得

上述例子表明，引理2.2中的Q≠M，即M中的某些問題甚至不存在本質解，因而有必要研究M中問題的解集的本質連通區。

設u=F=M，x∈Φ(u)，則稱Φ(u)中包含x的所有連通子集的一個并集為x∈Φ(u)的連通分支[16]。因為K為緊的以及連通分支是Φ(u)的連通閉子集，所以連通分支是連通緊集，且Φ(u)有以下的分解：，其中Λ為指標集。

對?α∈Λ，Φα(u)是Φ(u)中的非空連通子集，且對?α∈Λ，?β∈Λ(α≠β)，有Φα(u)∩Φβ(u)≠?

引理2.3[17]設A，B和W均為K中的非空有界集，則

其中h為 Hausdorff度量，λ≥0，μ≥0且λ+μ=1。

定義2.2[13]設u=F∈M，P是Φ(u)中的非空閉子集。

（1）稱P是Φ(u)的本質集，若對包含P的任意一個開鄰域O，存在δ>0，使得對?u′∈M且ρ(u,u′)<δ，有

（2）稱Φ(u)中的連通分支Φα(u)是一個本質連通區，若Φα(u)是本質的。

（3）稱Φ(u)中的本質集P是極小本質集，若P在Φ(u)中的任何本質集的族中按集合包含關系所定的序關系均是極小元。

接下來，我們討論SSVEPD解集的本質連通區的存在性。

定理2.1對每個u=F∈M，Φ(u)中都至少存在一個極小本質集。

證明：由引理2.1知，Φ:M→2K是一個usco映射，即集值映射Φ是上半連續的，則Φ(u)本身為本質集。設Ψ是Φ(u)中所有本質集的集合，則Ψ為非空的。對Ψ任意一個非空全序子集φ，因為 φ的每個成員均為緊的，所以 φ中的所有成員之交是緊集，因而φ是有下界。根據引理1.2知，φ存在極小元，該極小元就為Φ(u)的極小本質集。證畢。

定理2.2對任何的u=F∈M，Φ(u)的每個極小本質集均為連通的。

證明：設m(u)是Φ(u)的一個極小本質集，則m(u)為Φ(u)的閉子集。如果m(u)不是連通的，則有Φ(u)中的兩個非空閉子集w1(u)，w2(u)以及X中的兩個開子集I1，I2，使得

因為m(u)是Φ(u)的極小本質集，所以w1(u)和w2(u)均不是本質的。因此，存在兩個開集S1，S2，并且w1(u)?S1以及w2(u)?S2，使得對任意的δ>0，存在u1,u2∈M以及ρ(u,u1)<δ，ρ(u,u2)<δ，但

令R1=I1∩S1，R2=I2∩S2，則R1和R2均為開集，且w1(u)?R1，w2(u)?R2.因為w1(u)和w2(u)均為緊集，所以存在開集L1和L2，使得

因為m(u)?L1∪L2，m(u)是本質的，所以存在δ′>0，使得對任何滿足ρ(u,u′)<δ′的u′，有

由于L1?S1，L2?S2，則對上述的>0，由（1）式知，存在u1,u2∈M，使得

因為u1,u2∈M，則u1=F1，u2=F2。

現定義F′:K×K→2Y如下：

顯然，λ(x)和μ(x)均為K上的連續函數，對?x∈K，有λ(x)≥0，μ(x)≥0以及λ(x)+μ(x)=1.注意到F1(x,y)和F2(x,y)均為連續的，則由由引理1.1知

由引理2.2知

由（3）式，得

由式（2），得

如果x∈L1，則λ(x)=1，μ(x)=0，F′(x,y)=F1(x,y).

如果x∈Φ(u′)，則F′(x,y)?C(x)，?y∈K.于是，F1(x,y)?C(x)，?y∈K，則x∈Φ(u1)，這與式（3）是矛盾的，故Φ(u′)∩L1=?.

同理可證 Φ(u′)∩L2=?，則

因此，m(u)為連通的。證畢。

定理2.3對?u=F∈M，Φ(u)至少存在一個本質連通區。

證明：對?u=F∈M，由定理2.1和定理2.2知，Φ(u)中至少存在一個連通的極小本質集P. 又因為P必包含于Φ(u)的某個連通區Φα(u)，且P為本質的，所 以由定義2.2知，Φα(u)是Φ(u)的本質連通區。證畢。

3 結 論

本文在Banach空間中，當映射滿足一定的條件以及序錐是擾動的情況下，證明了集值強向量均衡問題所構成的空間M中，SSVEPD解集的本質連通區的存在性定理，并將現有的集值強向量均衡問題的本質連通區，推廣到具有控制結構的集值強向量均衡問題的本質連通區。