由一道課本習題引發的思考和探究

李幽蘭

引例:(人教版七年級數學上冊課本第100 頁例1)某車間有22 名工人,每人每天可以生產1200 個螺柱或2000 個螺母,1 個螺柱需要配2 個螺母,為使每天生產的螺柱和螺母剛好配套,應安排生產螺柱和螺母的工人各多少名?

解:設應安排x名工人生產螺柱,(22-x) 名工人生產螺母.

2×1200x=2000(22-x)

解方程,得

答:應安排10 名工人生產螺柱,12 名工人生產螺母.

問題 (人教版七年級數學上冊課本第106 頁習題3.4 第2題)制作一張桌子要用一個桌面和4 條桌腳,1m3木材可制作20個桌面,或者制作400 條桌腿,現有12m3木材應怎樣計劃用料才能制作盡可能多的桌子?

此題本意應該是考查學生對于題目出現兩個量之間配套關系的實際問題的理解能力和掌握能力。七年級數學上冊《教師教學用書》給出的參考答案如下:

解:設用xm3木材制作桌面。

4×20x=400(12-x)

解得

答:用10m3木材制作桌面,2m3木材制作桌腿。

然而,這道題的問題是“應怎樣計劃用料才能制作盡可能多的桌子?”,這并不能說明制作桌子最多的時候用料一定是剛好用完,或者剛好配套的時候制作的桌子最多,如果用書上的這個問法,那么似乎用不等式來處理更為妥當一點,或者也可以用一次函數最值來說明。

法一:當我們直接設可以制作x張桌子時,即可表示出制作桌面所需要的用料和制作桌腿所需要的用料,那么制作桌面和桌腿的用料之和不能超過12m3.

解:設可以制作x張桌子,則用木材制作桌面,用m3木材制作桌腿。

答:用10m3木材制作桌面,2m3木材制作桌腿.

法二:設用xm3木材制作桌面,可制作20x個桌面,那么12-xm3木材制作桌腿,可制作400(12-x) 個桌腿,設制作y張桌子.我們就需要對制作的桌面和桌腿的數量進行分析和討論。

解:設用xm3木材制作桌面,那么12-xm3木材制作桌腿,設制作y張桌子。

(1)若4×20x≤400(12-x),即0＜x≤10,

則y=20x

∵20＞0

∴y隨x的增大而增大

∴ 當x=10 時,y取最大值,最大值為200.

(2)若4×20x ＞400(12-x),即x ＞10,

則y=100(12-x)=-100x +1200

∵ -100＜0

∴y隨x的增大而減小

∵x ＞10,且x是正整數

∴ 當x=11 時,y取最大值,最大值為100.

綜上所述,當x=10 時,y取最大值,可制作的桌子最多,即用10m3木材制作桌面,2m3木材制作桌腿。

對于這道題目建議把問題“應怎樣計劃用料才能制作盡可能多的桌子?”換成“應怎樣計劃用料才能剛好配套生產桌子?”,這樣更加清晰直接。同樣的,在課本第107 頁第9 題“某糕點廠中秋節前要制作一批盒裝月餅,每盒裝2 塊大月餅和4 塊小月餅.制作一塊大月餅要用0.05 千克面粉,一塊小月餅要用0.02 千克面粉.現共有面粉4500 千克,制作兩種月餅應各用多少面粉,才能生產最多的盒裝月餅?”,這道題的問法存在同樣的問題,如果直接就說恰好配套生產盒裝月餅的時候是生產盒裝月餅最多的時候,那么這種做法說服力不夠,略微有點武斷。

顯然,這兩道題目運用不等式或一次函數來解決這道題目更有說服力,也更為恰當,而且不利于學生在后續的學習中建立不等式和函數最值的數學思維。所以還是建議把這兩道題目的問法修改一下,直接提問效果更好。為了讓學生感受到剛好配套生產的時候就是生產最多的時候,我們可以設計第二問給出另一種生產方案,讓學生比較兩種產方案,看哪種方案生產的最多,從而發現剛好配套的時候達到最值,為后面的學習做好鋪墊。