組間零相關區周期互補序列集的構造

白子祎，劉 凱,*

(1.燕山大學信息科學與工程學院，河北 秦皇島066004；2.燕山大學河北省信息傳輸與信號處理重點實驗室，河北 秦皇島066004)

0 引言

隨著準同步碼分多址(quasi-synchronous code division multiple access，QS-CDMA)在衛星通信中的商用，學者們提出零相關區(zero correlation zone，ZCZ)序列集的概念[1-5]。為了得到更多滿足具有良好系統性能的序列，學者們將ZCZ的概念和互補集兩者結合，提出并構造了ZCZ互補序列集[6-8]。5G技術將蜂窩通信細化為大量的區組通信，因此具有組間良好相關性的序列設計受到了學者們的關注。目前組間互補(inter-group complementary，IGC)序列集的概念是組內具有ZCZ相關特性和組間具有理想的互相關特性?，F有的IGC序列集構造方法并不多，文獻[9]首次基于完備互補碼和正交碼構造了非周期IGC序列集，并應用到CDMA系統，相對于傳統地址碼具有更低的誤碼率，但ZCZ的長度固定于原始完備互補碼的子序列長度，這限制了IGC序列集的數量。文獻[10]利用周期互補序列集(periodic complementary sequence set，PCSS)和移位交織提出了改進的周期IGC序列集的構造方法，利于靈活選擇ZCZ的長度，但是完備互補碼數量的限制阻礙了IGC序列的應用。文獻[11]基于零相關區周期互補序列集(zero correlation zone periodic complementary sequence set，Z-PCSS)和最佳周期互相關(perfect periodic cross-correlation，PPCC)序列集構造了周期IGC序列集，其ZCZ的長度靈活可變，但IGC序列集的組數取決于PPCC序列集中子序列的數量，文獻[12]利用PCSS和正交矩陣也構造了周期IGC序列集，但其組數受限于互補序列集中子序列的數量。文獻[13]基于正交矩陣構造了非周期IGC序列集，通過減少ZCZ的長度，增加IGC序列集的組數。目前文獻中針對組間特性的擴頻碼設計方法并不多，數量也較少，因此研究更多的具有組間特性的序列具有實際意義。

本文提出了組間零相關區互補(intergroup zero correlation zone complementary，IGZC)序列集的定義，該序列集的組內和組間都具有ZCZ的性質，其中組內ZCZ的長度為Z1，組間ZCZ的長度為Z2。當Z1≠Z2且Z2=L時，IGZC就成為IGC，因此，IGC是IGZC的組間ZCZ長為L的情況。文中利用ZCZ序列集和整數集構造了一類Z1=Z2的IGZC，其中ZCZ長度，集合的組數可以靈活選擇。當Z1=Z2=Z=L時，即為組內和組間都具有理想的相關特性的互補序列集合，是周期IGZC序列集的一種特殊情況。對IGZC構造方法的探索可為多小區不同時延信道模型提供更多的地址碼選擇，對消除多小區用戶之間的信息干擾具有一定意義。

1 基本定義

定義1兩個長度為L的復數序列a和b，分別表示為a=(a(t)|0≤t

(1)

其中，b*(t)為b(t)的復共軛。當a=b時，上述定義為周期自相關函數，可寫為Ra(τ)。

定義2設U={uk|0≤k

(2)

引理1[14]對于任意一個參數為ZCZ(L,K,Z)的ZCZ周期序列集，滿足以下理論界

K≤?L/Z」，

(3)

其中，?L/Z」表示小于或等于L/Z的最大的整數。當K=?L/Z」時，稱序列集U為最佳的，當K=?L/Z」-1時，稱序列集U為幾乎最佳的。

M≤N?L/Z」，

(5)

其中，?L/Z」表示小于或等于L/Z的最大整數。當M=N?L/Z」時，稱序列集cg為最佳的，當M=N?L/Z」-1時，稱序列集cg為幾乎最佳的。

GM≤N?L/Z」，

(7)

其中?L/Z」表示小于或等于L/Z的最大的整數。當GM=N?L/Z」時，稱U為最佳IGZC序列集，當GM=N?L/Z」-1時，稱U為幾乎最佳IGZC序列集。

定義5[15]對于任意的長度為L的復值序列a，可以定義以下映射作為a的線性相位變換，即

(8)

引理4[15]對于兩個長度為L的復值序列a和b，如果q|L，其中q為模值，有

2 組間零相關區互補序列集的構造

本文利用以下三個步驟構造IGZC序列集。

步驟1選取基序列集。任意選取一個ZCZ周期序列集，參數為ZCZ(L,K,Z)，即U={uk|0≤k

步驟2將基序列集分為多個子序列集。選取用戶數M，0

(10)

(11)

其中，0≤m

(12)

需分四種情況分析：

由以上分析可得

(13)

推論1當K為大于1的整數，且M=1時，C={cg|0≤g

證明與定理1的證明同理，這里不再贅述。

例1設q=4，M=2，選取一個含有3個整數的集合D={1,2,4}和一個參數為ZCZ(16,4,3)的二元ZCZ周期序列集U={uk,0≤k<3}作為基序列集，其中

u0=(1,1,-1,1,1,1,-1,1,-1,-1,-1,1,-1,-1,-1,1)，

u1=(-1,-1,1,-1,1,1,-1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,1)，

u2=(1,-1,-1,-1,1,-1,-1,-1,-1,1,-1,-1,-1,1,-1,-1)

u3=(-1,1,1,1,1,-1,-1,-1,1,-1,1,1,-1,1,-1,-1)。

令K=4，G=?K/M」=2，可以將U分為U0和U1，存在以下3種分組情況：

每種分組情況可以得到一種IGZC序列集，下面以情況1和情況2為例求序列集C={cg|0≤g<2}：

圖1 c0的周期自相關函數R00和R01Fig.1 Periodic auto-correlation functions R00 and R01of c0

圖2 c1的周期自相關函數R10和R11Fig.2 Periodic auto-correlation functions R10 and R11 of c1

圖3 組內周期互相關函數R0和R1Fig.3 Periodic cross-correlation functions R0and R1 within c0and c1

圖與c1內序列的周期互相關函數H00和H01Fig.4 Periodic cross-correlation function H00 and H01 of and the sequences of c1

3 性能分析

在理論界方面，由于基序列集U的理論界為K≤L/Z，又因為GM≤K，那么GM≤L/Z，可以推導出GM1，因此構造得到的IGZC序列集不滿足理論界。表1比較了現有文獻的IGC和定理1構造的IGZC之間的相關性能和序列集特征。

表1 周期IGC序列集參數對比Tab.1 Parameter comparison of periodic IGC sequences sets

從表1顯示，文獻[10]構造的IGC序列集雖然達到了理論界，但其數量受限于PCSS的數量，因此得到的可用的IGC序列集數量很少，而文獻[11]中的構造方法雖然提高了IGC序列集的數量，但其組數取決于PPCC序列集中子序列的數量，需要通過改變基序列集來得到更多的IGC序列集。文獻[12]構造的IGC序列集需要在一定條件下實現理論界，且其組數受限于互補序列集中子序列的數量。相比上述文獻，定理1的構造方法中應用ZCZ周期序列集作為基序列集，依據已有文獻，這類序列集數量非常豐富，通過選擇不同參數的基序列集，很容易獲得IGZC所需的ZCZ長度。此外，在IGZC的構造中，用戶數M可以根據實際情況進行設定，在不改變基序列集的情況下，根據M的靈活選擇可獲得不同分組，從而得到多個IGZC序列集，如例1所示。移位整數集中參數數量代表著信道載波數，整數集的大小可根據實際需求靈活選擇。盡管定理1構造的IGZC序列集不能達到理論界，但構造結果豐富，且參數選取依據實際通信需求可靈活選擇，具有實用性。

4 結論

本文基于ZCZ序列集和整數集提出了Z1=Z2情況下的周期IGZC序列集的構造方法。構造的周期IGZC序列集在組內和組間的零相關區內都具有理想的相關特性。通過選擇不同參數的基序列集能靈活地選擇ZCZ的長度與集合的組數，通過改變整數集中整數的個數，集合的大小也能靈活選擇，相比于文獻中構造的IGC序列集，可得到數量更多的IGZC序列集。IGZC序列集中Z1≠Z2的情況有待進一步研究，隨著IGZC序列的深入設計將得到更多適合多小區通信的擴頻碼。