量子中繼過程中糾纏態的選擇*

石韜 呂麗花 李有泉

(浙江大學物理系,杭州 310027)

實現量子中繼的關鍵是克服量子儲存器中糾纏態的退相干問題.目前,人們常用半導體量子點中的電子自旋來構建糾纏態從而實現量子中繼過程.在該過程中,兩個半導體量子點之間相距很遠,可以認為它們之間沒有相互作用.因此,量子點內電子自旋與它周圍的核自旋之間的超精細相互作用被認為是導致系統退相干的最重要原因之一.在以前的相關工作中,人們通常將核自旋對電子自旋的超精細相互作用視為一個大小和方向都是隨機的并且滿足高斯分布的等效磁場.本文在考慮核自旋的等效磁場以及外加磁場的情況下,研究了兩個量子點中繼系統的退相干問題.首先利用數值方法分別計算了4 組Bell 基隨時間的演化規律,發現當外加磁場增大到一定值時,4 組Bell 基被分為兩類.體系不可能通過時間演化從一類Bell 基躍遷到另一類Bell 基,而只能在同類的兩個Bell 基之間相互躍遷.這有效提高了系統的保真度,并且抑制了核自旋對體系糾纏態的影響,從而抑制退相干.其次,對于給定的較大外加磁場,采用解析方法研究了核自旋漲落對糾纏態的影響,給出了初態保真度及退相干時間的解析形式.發現對于相同的核自旋漲落,4 組Bell 基的退相干時間相同,但是兩類Bell 基隨時間演化的規律不同,其中一類的保真度在指數衰減的同時伴隨快速周期性振蕩,不便于操控.期望本文的研究能對量子中繼過程中糾纏態的選擇問題提供理論支持和建議.

1 引言

在量子信息傳輸過程中,最重要的是在通信線路的兩個節點上成功發送一對糾纏態.每一對糾纏態可以作為一個量子傳輸通道,進行量子信息的遠程傳輸[1,2].目前光子糾纏態是量子通信中唯一可以遠距離飛行的糾纏態[3-6],然而單個光子在商用光纖中光強和極化都以0.2 dB/km[7,8]的速率衰減,這意味著商用光纖有效傳輸長度僅有80—120 km[7,8].因此,為了增加量子傳輸通道距離,一種方法是將量子傳輸通道分為好多節,每一節長度在120 km內,同時在兩個節點之間放置一個包含兩個量子儲存器[9]的量子中繼器[10],如圖1(a)所示.在量子中繼器中,量子儲存器將光子的糾纏態儲存為電子自旋的糾纏態[11-13].

通常有3 種利用光子干涉和探測將光子糾纏態交換到電子自旋糾纏態的方案,分別為EPR(Einstein-PodolskyRosen)方案[8]、Hybrid 方案[14]和DLCZ (Duan-Lukin-Cirac-Zoller)方案[15].DLCZ方案由段路明等[15]提出,根據探測光子數不同,該方案可以分為單光子探測方案和雙光子探測方案.與其他兩個方案相比,DLCZ 方案最大的優點是不需要制備復雜的糾纏源,只需要制備符合要求的量子儲存器,因而成為量子中繼的主流之一.在每個節點的量子中繼器上,利用糾纏態交換(quantum swapping)技術[14-17],可以逐步建立Alice 與 Bob之間的量子遠程傳輸通道[1,18],如圖1(b)和圖1(c)所示.能夠作為量子存儲器的系統,其儲存的糾纏態要有較長的退相干時間.目前許多系統,例如原子系綜[8,15]、半導體量子點[12,19,20]、超導電路[21,22]等,都可以用來做量子儲存器.以GaAs 或者Si 半導體量子點為例,它們通過兩個量子點中電子自旋的糾纏態來儲存量子信息[19,23].眾所周知,對于兩個電子自旋系統,可以選用4 個最大糾纏態(即4 個Bell 基)為一組正交完備基矢來描述體系的狀態[17].如果體系在初始時刻處于某一個Bell基上,由于核自旋對電子自旋的超精細相互作用,隨著時間的演化,體系會有一定概率從初始時刻所處的Bell 基躍遷到其他Bell 基上,從而導致了糾纏態的退相干[13,19,24-26].為研究核自旋引起的糾纏態的退相干問題,有文獻將核自旋對電子自旋的超精細相互作用等效為一個大小和方向都是隨機的等效磁場.該磁場滿足高斯分布[24,25,27],被命名為Overhauser 場[19,24,25,28].本文同時考慮核自旋及外加磁場對電子自旋的相互作用,研究了系統糾纏態的退相干問題.通過數值和解析方法,分別計算了體系狀態隨時間的演化,發現較大的外加磁場可以抑制電子自旋向上和自旋向下狀態間的反轉,從而抑制了某些Bell 基間的相互躍遷.據此將4 個Bell 基分為兩類,每一類中包含兩個Bell 基.只有在同類的兩個Bell 基之間存在相互躍遷,而不同類Bell 基之間不能相互躍遷,這在一定程度上抑制了系統糾纏態的退相干.對于給定的外加磁場,研究了核自旋漲落對糾纏態的退相干的影響.發現對于相同的核自旋漲落,兩類Bell基的退相干時間相同,但是兩類Bell 基隨時間的演化規律不同,其中一類Bell 基的保真度在指數衰減的同時伴隨快速周期性振蕩,不便于操控,因此在量子中繼過程中不建議選擇.

2 等效磁場與理論模型

2.1 超精細相互作用和等效磁場

在半導體量子點,如GaAs 中,電子自旋與它周圍核自旋的超精細相互作用可以寫成[25]

其中ψ(Rj)是第j個核自旋附近電子的包絡波函數,求和是對晶格中所有核自旋求和;ν0是晶胞的體積;S是電子自旋算符;μ0是玻爾磁子;μj,Ij,Rj分別對應核子磁矩、核自旋和第j個核自旋的位置,uc(Rj)是第j個核自旋附近電子的Bloch 波函數.將哈密頓量(1)關于核子的系綜進行平均,得到等效哈密頓量如下:

以GaAs 量子點為例,實驗所施加外磁場通常0.2 T 左右[19,24,28].核自旋的Zeeman 能量ωn對應的溫度大約在mK 量級[28],核自旋對電子自旋的相互作用對應的溫度在nK 量級[19,28],而系統所處溫度在K 量級[18,28],因此可以認為熱漲落使體系中所有核自旋雜亂無序.這樣等效磁場BN各向同性,在任意一個方向,比如z方向,其磁場大小可以用高斯分布來表示[25]:

同理,可以得到另外兩個方向上等效磁場的高斯分布形式[25]:

2.2 理論模型

在量子中繼中,組成最大糾纏態(4 個Bell 基)的兩個電子自旋分別儲存在相距80 km 的兩個GaAs 量子儲存器中,如圖2所示.由于兩個量子儲存器相距很遠,它們之間的相互作用可以忽略,因此電子自旋只感受到外加磁場及周圍核自旋產生的等效磁場的相互作用,系統的哈密頓量如下:

圖2 兩個相互糾纏的量子中繼器,糾纏態為兩個電子自旋組成的4 個Bell 基.Fig.2.Entanglement of the two separated quantum repeaters.Entangled states are the four Bell states constructed by two electron spins.

兩個電子自旋組成的4 個Bell 基為

B1z和B2z的大小滿足高斯分布且相互獨立,兩個相互獨立的高斯分布相加或者相減也是高斯分布[27].

既然B1和B2在3 個方向上的磁場大小相同,滿足相同的高斯分布,因此可以將H1化簡為

其中B+=B1x(yz)+B2x(yz),B-=B1x(yz)-B2x(yz),B+和B-也滿足高斯分布,即

3 數值結果與分析

圖33 種不同大小的外加磁場下,體系處于4 個不同Bell 基上的幾率隨時間的演化規律 (a),(b),(c),(d)分別對應系統處于|〉,|〉 ,|〉,|〉的平均幾率.體系初態為 〉,外加磁場參數為 B0=0(紅色虛線),B0=3ΔB (黑色點劃線),B0=10ΔB(藍色實線).時間以 t0=1/(μ0ΔB) 為單位Fig.3.Time evolution of mean probability in four Bell states:(a) 〉,(b) 〉,(c) 〉,(d) 〉 for different applied magnetic fields.The initial state is 〉,and the parameters are B0=0(red dash line),B0=3ΔB (black dash dot line),B0=10ΔB(blue solid line).Time is in the unit of t0=1/(μ0ΔB).

圖43 種不同大小的外加磁場下,體系處于4 個不同Bell 基上的幾率隨時間的演化規律 (a),(b),(c),(d)分別對應系統處于〉,〉 ,〉,〉的平均幾率.體系的初態為〉,外加磁場參數為 B0=0(紅色虛線),B0=3ΔB (黑色點劃線)、B0=10ΔB(藍色實線).時間以 t0=1/(μ0ΔB) 為單位Fig.4.Time evolution of mean probability in four Bell states:(a) 〉,(b) 〉,(c) 〉,(d) 〉 for different applied magnetic fields.The initial state is 〉,and the parameters are B0=0(red dash line),B0=3ΔB (black dash dot line),B0=10ΔB(blue solid line).Time is in the unit of t0=1/(μ0ΔB).

4 解析結果與分析

圖5 (a)系統仍然處在〉上的平均幾率隨時間的演化;(b)系統躍遷到〉的平均幾率隨時間的演化.系統初態為〉,時間以 t0=1/(μ0ΔB) 為單位Fig.5.(a) Time evolution of the mean probability in 〉,(b) that in 〉.The initial state is ,and the time is in the unit of t0=1/(μ0ΔB).

圖6 (a)系統仍然處在〉上的平均幾率隨時間的演化;(b)系統躍遷到〉的平均幾率隨時間的演化.系統初態為〉,時間以 t0=1/(μ0ΔB) 為單位Fig.6.(a) Time evolution of the mean probability in〉,(b) that in〉.The initial state is〉,and the time is in the unit of t0=1/(μ0ΔB).

5 結論與討論

本文通過數值和解析兩種方式研究了量子中繼過程中兩個半導體量子點的糾纏態的退相干規律.數值結表明,外磁場為零時,不管體系的初態為4 個Bell 基中的哪一個態,由于核自旋的影響,體系最終仍處于初態的平均幾率即初態保真度約為0.34,而躍遷到另外3 個Bell 基態的平均幾率約為0.22.當有外加磁場存在時,間的躍遷被外磁場壓制,并且當外磁場增大到一定值時,間的躍遷被完全禁止.結果表明,由于外加磁場抑制了間的躍遷,從而可以提高系統初態的保真度.值得一提的是,Merkulov[25]發現在單個量子點中,隨著外加磁場的逐漸增大,自旋取向與外磁場方向一致,因此核自旋僅會導致相位噪聲而不會導致自旋翻轉錯誤,我們的理論研究也再次印證了這一結果.并且與單個自旋不同的是,在雙量子點糾纏態中,研究了外加磁場及核自旋對4 個Bell 基演化的影響.在較大外磁場時,間不能相互躍遷,所以我們將兩個自旋構成的四維量子系統約化為兩個獨立的二維系統,分別采用解析方法研究其量子態隨時間的演化規律.解析計算結果表明,核自旋漲落是影響系統退相干的主要因素,退相干時間及最終保真度不受體系初態的影響,即4 組Bell 基的退相干時間均為t0,最終保真度均為1/2.但是我們也發現,在t0時間以內(t ＜t0),Bell 基表現出很大的差異.如果系統初態為,在含時演化過程中,對z方向磁場不敏感,因而系統仍處于的平均幾率只是隨時間呈指數衰減,沒有周期性振蕩.當系統初態為,在含時演化過程中,系統仍處于的平均幾率在指數衰減的同時還伴隨著頻率為 4μ0B0的周期性振蕩.z方向微小的磁場變化可引起很大的幾率波動,因而在量子中繼過程中,很難對其進行量子操控.從這方面而言,在量子中繼中選更易于操控.

既然研究結果表明,系統的退相干時間主要受核自旋漲落的影響,即t0=1/(μ0ΔB),所以要延長退相干時間必須減小核自旋等效磁場的漲落.這要求將量子點中的電子囚禁在更小的范圍內.當電子在更小的范圍內運動時,電子自旋與更少數目的核自旋相互作用,因此電子自旋和核自旋相互作用常數aj將更小,從而延長t0.有兩種方式可以實現以上目的,第一是降低量子點溫度,低溫條件可以抑制電子熱運動;第二是選擇電子波函數更緊致的硅半導體量子點來替代GaAs 量子點.期望本文的研究結果可以幫助更加深入地了解糾纏態的退相干機制,進而利用半導體量子點的特性延長糾纏態的退相干時間.進一步期望該結果能為實際量子中繼過程中,糾纏態選擇問題提供理論支持和參考,從而提高實驗中的量子中繼效率.