基本費米子質量和代問題*

米立功 謝泉 張利 吳忠組

(貴州大學大數據與信息工程學院,物理學院,貴陽 550025)

研究了基本費米子的質量分布,并找到一組描述基本費米子質量在特定分布模式下的經驗關系式.這啟發我們對基本費米子質量等級和基本費米子具有三代的根源進行深入的思考,提出了一種理論模型,解釋了基本費米子為什么具有三代,并討論了基本費米子質量等級和自旋的起源.

1 引言

在標準模型框架下,共有三代基本費米子,每代基本費米子包含一對夸克和一對輕子.三代夸克和帶電輕子都具有質量.中微子振蕩實驗進一步表明至少有兩種中微子也具有質量[1-3].基本費米子質量是粒子物理標準模型的基本參數.其中,輕子作為物理粒子能夠被觀測到,因此輕子質量能夠直接測量;而夸克被禁閉在強子內部,其質量必須通過它們對強子性質的影響而間接測定.標準模型并沒有預測夸克和輕子的質量大小,夸克和輕子的質量值只能通過實驗測得.對于夸克,能夠根據需要選擇不同的重整化方案對它的質量參數進行定義.為了比較不同的質量測定結果,通常采用微擾理論,將獲得的質量值轉化為在(minimalsubtraction)方案中,固定的重整化尺度下的跑動質量[4].本文采用的輕夸克的質量是在方案中,重整化尺度為2 GeV 下定義的.c 夸克和b 夸克的質量是在MS 方案中定義的跑動質量.t 夸克和帶電輕子的質量采用直接測量的物理質量.本文的主要工作是通過考察基本費米子的質量分布規律,提出了一組描述基本費米子質量在特定分布模式下的經驗關系式,并提出了一種理論模型解釋產生三代基本費米子的原因.

2 基本費米子的質量分布

基于目前對基本費米子質量的測量[5,6],在表1中,將三代夸克與輕子依次排成三列四行,并分別用l和n表示基本費米子的列數和行數.表1中三代基本費米子中較重的夸克和輕子分別排在n=1行和n=2 行,較輕的三代夸克和輕子分別排在n=3行和n=4行.經過排列后,在l=1 列,基本費米子從上到下分別為下夸克、電子、上夸克、電子中微子;在l=2 列,基本費米子從上到下分別為粲夸克、μ 子、奇夸克、μ 子中微子;在l=3 列,基本費米子從上到下分別為頂夸克、τ 子、底夸克、τ子中微子.表1中括號內為對應的夸克或輕子的質量,以MeV 為單位.該質量采用Particle Data Group (2020)的推薦值[7].不難發現,在表1中,從n=1行到n=3 行,基本費米子的質量從左到右依次增大,且呈現一種周期性,這暗示著三代中微子也應該遵循同樣的分布規律.

表1 基本費米子的質量分布Table 1.Mass distribution of elementary fermions.

在表1中,第l列和第n行的基本費米子的質量記為mln,并令

其中,N(n) 表示第n組夸克中,較重的基本費米子的質量與另外兩個較輕的基本費米子的總質量的比值;L(l) 表示第l代基本費米子中,較重的基本費米子的質量與另外三個較輕的基本費米子的總質量的比值.不妨稱N(n) 和L(l) 為基本費米子質量的量子結構函數.我們提出:對于基本費米子,分別存在一個量子結構函數N(n) 和L(l) 將它們的質量聯系在一起.

3 基本費米子質量的經驗關系

采取如下的分析步驟構造量子結構函數N(n) :首先,設想存在一個數值區間[ki,kj],且該區間內的元素記為k,則有ki≤k≤kj,其中,ki和kj不妨稱為區間[ki,kj]的界;其次,假設對于行數n,總能夠找到對應的ki和kj,使得ki=ki(n),kj=kj(n),其中ki(n)和kj(n) 不妨稱為n的界函數;第三,設想存在k的一個函數F(k),使得當k從ki依次取到kj時,有

其中,F(k)不妨稱為N(n)的結構核.F(k) 應該不是唯一的,我們找到了N(n) 的一個好的結構核F(k),即

其中,α為精細結構常數.從而有

同時,我們找到了n的一組界函數,即

特別地,當n=1時,kj(1)=1+00,其中,00沒有嚴格的定義,在本文中,我們約定:00=0,從而有kj(1)=1.設N(n)的經驗值為Ne(n),由(5)式和(6)式可得到N(n) 的一個經驗表達式:

當n=1,2,3 時,由(7)式可得

設N(n)的觀測值為No(n).采用Particle Data Group (2020)的推薦值,計算可得

可見,n=1,2,3時,N(n)的經驗值Ne(n)和觀測值No(n)符合得非常好.圖1(a)給出了N(n)的經驗值和觀測值的相關圖,通過pearson 相關分析,得到兩者的相關系數為0.9999,其顯著性為0.00889,說明兩者在大于99%的置信度水平上具有極強的正相關.

圖1 觀測值和經驗值的相關性 (a) No(n) 與 Ne(n) 的比 較;(b) Lo(l) 與 Le(l)的比較Fig.1.Correlation between theoretical and observed values:(a) the correlation between No(n) and Ne(n) for n=1,2,3;(b) the correlation between Lo(l)andLe(l)for l=1,2,3.

在表1中,對于第l代基本費米子,設L(l) 的經驗值為Le(l),我們找到了Le(l) 的一個好的經驗關系式:

當l=1,2,3 時,由(10)式計算可得

設L(l)的觀測值為Lo(l).根據Particle Data Group(2020)推薦的夸克和輕子的質量值,計算可得

由于中微子的質量非常輕[8],在計算過程中已經將其忽略.可見,L(l)的經驗值Le(l)和觀測值Lo(l)符合得非常好.圖1(b)中繪制了L(l) 的經驗值和觀測值的相關圖,通過pearson相關分析,得到兩者的相關系數為0.99999,其顯著性為0.00278,說明兩者在大于99%的置信度水平上具有極強的正相關.

進一步,利用3 種帶電輕子和頂夸克的質量,忽略中微子的質量后,通過(7)式和(10)式,可估算得到下夸克、上夸克、粲夸克、奇夸克和底夸克的質量均值分別為md=4.28 MeV,mu=1.96 MeV,mc=1266 MeV,ms=94.5 MeV,mb=4101 MeV.將計算結果與對應的夸克質量的觀測值進行比較(見表1),不難發現兩者符合得非常好.進一步,由(2)式和(10)式可得

4 基本費米子代的理論解釋和討論

根據標準模型,狄拉克場與希格斯場相耦合,通過自發對稱性破缺使費米子從希格斯場的真空期待值獲得質量[9].但標準模型沒能給出基本費米子的質量大小,目前,也很難解釋基本費米子的質量等級和中微子質量的起源問題.三代基本費米子的質量具有顯著的等級,從電子到頂夸克,質量跨越 了5 個數量級.文獻[10]提出了一種觀點,認為除了頂夸克,其他質量較輕的基本費米子與希格斯場的作用都是間接的.考慮到基本費米子的質量正比于它與希格斯場的耦合強度,與頂夸克相比,質量較輕的基本費米子與希格斯場的耦合強度可以忽略,這種觀點具有它的合理性.Steven 在文獻[11]中也表達了同樣的想法.他進一步提出第三代夸克和帶電輕子通過與希格斯場耦合獲得質量,然后,質量再通過某種機制從第三代基本費米子依次傳遞到第二代和第一代基本費米子.

夸克和輕子都是基本費米子,具有相同的自旋,如果它們的質量具有共同的起源,且這些質量值不是一種巧合,那么,理論上能夠設想基本費米子質量之間存在一種內在的關聯.本文構建的基本費米子質量之間的經驗關系在數學上反映了基本費米子質量的等級差異.雖然這些經驗關系只是唯象的,但它們能夠啟發我們進一步思考基本費米子質量等級背后隱藏的某種物理學機理.基本費米子的質量等級問題與基本費米子為什么只有三代這一問題密切相關.下面提出一種簡化的理論模型對這一問題進行解釋.首先定義一種物理場U,它具有如下性質.

1)U場能夠處于一系列量子化的能量態,且它的能量量子態的數目是有限的.引入量子數K對其所處的能量量子態進行表征.令K=0,1,···,Km,其中,Km為最大的K值,則U場的能量量子態的總數目為Km+1.當K=0 時,U場處于基態,對應著最低的能量量子態.當0＜K≤Km時,U場處于激發態,對應著較高的能量量子態.U場的能級記為εK,則有εK ＞εK-1.U場的這一特性稱為能量等級特性.

2)U場具有量子化的空間屬性,量子數K的每一個取值表征的能量量子態對應著U場的一個量子化的空間狀態,稱該空間狀態為U場的量子維度.可見,U場的量子維度的總數為Km+1,我們說U場是Km+1 維量子空間.當U場在兩個能量量子態之間或者在兩個量子維度之間躍遷時,U場將激發出具有質量的一類物質粒子,不妨稱其為代粒子,且每類代粒子對應一代基本費米子.稱U場的這種躍遷為量子維度躍遷.為了表征代粒子或基本費米子的代,引入質量量子數l(l=1,2,3,···).第l代代粒子對應著U場在兩個特定的能量量子態之間的量子維度躍遷.由于量子數K存在一個最大的取值Km,因此,質量量子數l也相應地存在一個最大的取值lm,于是有

3) 通過對U場量子化能夠激發出相應的場量子,記該種場量子為Υ.Υ量子具有波粒二象性,它的動量PK和波長ΛK,能量EK和周期TK的關系滿足德布羅意方程:

其中,h為普朗克常量.當將Υ量子視為粒子時,它具有內稟的空間尺度和時間尺度.Υ量子作為粒子具有的內稟的空間尺度和時間尺度分別稱為空間量子尺度和時間量子尺度,定義為

當U場處于基態時,Υ量子的空間量子尺度和時間量子尺度為零,此時,U場具有最小的能量.由空間量子尺度和時間量子尺度決定的內稟的動量和能量分別稱為空間量子動量和空間量子能量.將(16)式代入到(15)式,得到Υ量子的空間量子動量和空間量子能量分別為

其中,?=h/(2π) 為約化的普朗克常數.

4) 在U場中,Υ量子的空間量子動量和空間量子尺度分別存在一個不確定度 ΔPK和ΔrK,且它們滿足量子力學的不確定性關系,即

5) 當U場處于量子態K時,Υ量子的空間量子動量和其不確定度,空間量子尺度和其不確定度不能任意取值,它們之間必須滿足如下關系:

(19)式可以作為量子數K的定義.

6)Υ量子不僅具有內稟的動量和能量,而且還具有內稟的自旋.Υ量子的自旋包括兩類:一類由空間量子動量和空間量子尺度決定,稱為內自旋,記為Si,其大小定義為空間量子動量與空間量子尺度的大小的乘積;一類由空間量子動量的不確定度和空間量子尺度的不確定度決定,稱為外自旋,記為So,其大小定義為空間量子動量的不確定度與空間量子尺度的不確定度的大小的乘積.由(15)式和(16)式可得Υ量子的內自旋的大小為

可見,Υ量子的內自旋是量子化的,且由量子數K決定.Υ量子的內自旋只能取 ? 的整數倍,因此,Υ量子是玻色子.由(19)式和(20)式可得Υ量子的外自旋的大小為

可見,Υ量子的外自旋由內自旋和量子數K決定.當K=0時,Si=0,此時,So的取值不確定,理論上,它應該能取滿足(18)式的任意一個數值.當K ＞0時,(21)式可化為

此時,Υ量子的外自旋也是量子化的,且由量子數K決定.Υ量子的外自旋具有如下的特性:基本粒子在與處于激發態的U場發生作用時,Υ量子能夠將其外自旋賦予基本粒子,使得基本粒子獲得大小為So的自旋.由(20)式和(22)式知,在量子維度躍遷過程中,Υ量子的自旋將發生變化.我們將U場滿足的以上性質稱為U場的基本量子特性.

其次,根據U場的基本量子特性,考察U場的其他重要特性.當K ＞0 時,結合(18)式和(22)式立刻得到

可見,在U場中,量子數K只能取0,1和2 三個數值,且Km=2.由(14)式可得lm=3.這至少表明兩點.

1)Υ量子(U場)只有3 種.當K=0,1,2 時,相應的3 種Υ量子(U場)分別記為Υ0(U0),Υ1(U1)和Υ2(U2).Υ0,Υ1和Υ2的內自旋分別為 0,?和2?.Υ0的外自旋不確定,但Υ1和Υ2分別具有確定的外自旋 ?和?/2.U場僅具有3 個量子維度,它是三維量子空間.

2)U場的量子維度躍遷僅有3 類:a 類,在第一激發態(K=1)和基態之間的量子維度躍遷;b 類,在第一激發態和第二激發態(K=2)之間的量子維度躍遷;c 類,在基態和第二激發態之間的量子維度躍遷.從而,U場在量子維度躍遷中激發出的代粒子和與之對應的基本費米子只有三代.

進一步,U場的每類量子維度躍遷又包括從較高(低)的能量量子態向較低(高)的能量量子態的量子維度躍遷兩種子躍遷.不妨規定在從較高(低)能量的量子態到較低(高)能量的量子態的量子維度躍遷過程中激發出的代粒子和與之對應的基本費米子為正(反) 的代粒子和基本費米子.因此,正和反的代粒子和與之對應的基本費米子各有三代.三代基本費米子的產生源于U場的量子維度躍遷,因此,三代基本費米子的質量等級也必然由U場的能量等級特性和量子維度躍遷的特性決定.三代基本費米子與三類量子維度躍遷存在著一一對應關系.第三代基本費米子整體具有最大的質量,顯然對應著c 類量子維度躍遷.至于第一代或第二代基本費米子對應a和b 兩類量子維度躍遷的哪一種目前尚難判斷.需要有一個(一組)描述U場量子特性的場方程,使我們能夠通過該場方程獲得U場確定的能級公式和量子維度躍遷的全部細節過程.尋找這樣的一個(一組)場方程將是未來非常重要的工作.

基本費米子都具有 ?/2 的自旋,根據U場的基本量子特性,基本費米子的自旋的起源可解釋為:基本費米子產生時將與U2場發生作用,這種相互作用可理解為基本費米子與Υ2量子的一種耦合,在作用過程中,Υ2量子將 ?/2 的外自旋賦予基本費米子.同理,傳遞強相互作用和電弱相互作用的規范玻色子具有的 ? 自旋的來源可解釋為:規范玻色子產生時將與U1場發生作用,并獲得Υ1量子的大小為 ? 的外自旋.

根據U場的特性,U0場,U1場和U2場通過量子維度躍遷可以相互轉化,它們是U場的3 種場量子態.對于U場與4 種基本相互作用場(強相互作用場、電磁相互作用場、弱相互作用場和引力相互作用場)之間的關系,我們提出:U1場本質上應該是一種統一的規范作用場,具有自旋為 ?的Υ1量子本質上是一種統一的規范玻色子.U1場在宇宙的演化過程中將分化為電磁相互作用場、強相互作用場和弱相互作用場等3 種基本相互作用場,相應地,Υ1量子也隨之蛻化為傳遞3 種基本相互作用的規范玻色子.U2場的場量子是自旋為 2?的Υ2量子.根據無質量粒子的洛倫茲不變理論[12],自旋量子數為2 的無質量粒子具有引力子最顯著的動力學特征,因此我們認為:U2場本質上應該是一種統一的引力場,相應地,Υ2量子本質上是一種統一的引力子.目前,我們發現引力場只有一種,U2場在宇宙的演化過程中是否會分化為不同種類的引力相互作用呢？已經發現宇宙中存在暗物質和暗能量,它們之間的引力相互作用與普通物質之間的引力相互作用是否相同呢？這將是未來需要思考的一個重要問題.U0場的場量子是自旋為0 的Υ0量子.我們認為:U0場是賦予基本粒子作用荷的場.隨著宇宙的演化,U0場有可能分化為分別賦予基本粒子質量、電荷和色荷等作用荷的場.已經知道賦予規范玻色子和基本費米子質量的場是希格斯場.那么,可以設想在宇宙中應該還分布著賦予基本粒子其他作用荷的場.未來尋找賦予基本粒子各種作用荷的場量子將是非常有意義的工作.