高中數學建模教學策略的實踐研究-以三角函數模型為例①

劉國慶,趙寶江

(佳木斯大學,黑龍江 佳木斯 154000)

0 引 言

目前，高中新課程標準已經納入了數學建模內容，但在實際建模教學中并未有效地實施，對于教師如何提高數學建模教學效果，如何讓學生學會建模，提出六種建模教學策略，并在課堂教學中運用與實踐。

1 數學建模的重要性

數學建模能夠培養學生用數學思維思考問題，用數學思維解決問題，數學建?？梢蚤_拓學生思維，提高學生的應用意識，因此在高中數學建模教學中，教師要結合高中數學建模的教學現狀,設計合理的數學建模教學策略，將建模和各個領域知識進行融合，使學生逐步認識數學建模在各個領域中的作用，從而使學生學會建模。

2 數學建模素養發展現狀研究

2.1 數學教師建模素養意識淡薄

新課程標準明確提出如何培養學生的數學建模素養，但在實際建模教學過程中，仍存在很多困難，一方面,教師對教學內容和數學教學目標不夠清晰，教師的建模綜合素養和建模能力不高,不能將建模和各個領域聯系起來，建模認識比較單一。另一方面，大部分數學建模的教學模式依然按照常規的方式進行教學，不夠靈活,通常直接應用數學公式解題，沒有啟發引導學生，讓學生被動的接受建模知識。

2.2 數學建模素養能力水平較低

在實際教學中，大部分建模教學卻只是生搬硬套模型,缺乏真正的模型構建的過程。教師為了節省時間省略了建模過程，而忽視培養學生的建模能力，導致學生形成定勢思維，無法提高學生綜合實踐能力。

2.3 學生自主探究空間較少

在數學建模教學中，學生面對問題沒有經過深思熟慮,直接根據公式求解，也沒有經歷數學建模常規的過程,學生沒有真正了解建模的模式，從而不懂得如何建模，因此在教學中教師要多讓學生通過自主探索與應用,給學生時間讓學生探究模型來提升建模的素養。

3 培養數學建模素養的教學策略

3.1 問題啟發建模教學策略

教師通過問題分析來展開思路,啟發學生思考這個問題與什么樣的問題相似?如果將這個問題分解為兩個或幾個組成部分將會怎樣?通過綜合這個問題的條件分析可以獲得什么樣的結果?要真正實現這個問題的目標是必須具備什么樣的條件?可單獨地分析上面每個方面,也就是可以把它們綜合在一起來進行分析,進一步地思考尋找出自己的思路和解決方法。

3.2 圖示教學建模教學策略

在進行建模的時候，尤為關鍵的是變量之間的關聯，學生所接觸的建模問題，大多數變量的關聯可以借助圖像來展現，或者可以借助圖表來表示，從而可以刻畫變量關系，梳理好變量之間的關聯，結合已知的知識點，使變量的關系更加精細化，借助這個關系讓數學模型的構建過程更加順利。

3.3 開展建模對話教學策略

學生通過各抒己見主動參與了探究活動，參加建模對話使學生都能夠分享在建模中的收獲，從而使學生對數學問題有真知灼見。在“對話”中，學生通過語言表達或是圖文表達進行探索交流，表達自己對探究問題的理解，從而提高自身的建模素養。

3.4 樣例推廣建模教學策略

高中生建模時在沒有任何樣例的環境下做一些比較陌生的題時,常用的方法就是通過分析條件,尋找未知,更多地注重已知的條件、未知的條件和對問題的求解上面。如果教師不能提供一個適量而典型的案例來進行引領,學生就很難找到一個學習模式。因此通過開展建模樣例教學,能夠讓學生找到一個熟悉的模式，更快地掌握求解各類模型的基本原理及其算法,

3.5 信息技術優化建模教學策略

在進行建模課程教學實踐中，引導學生熟練掌握常用的數學軟件，例如excel,lingo,python,matlab,在新課標中明確提出，建模教學中需要融入信息處理手段,教師應該更加注重在學校開展信息技術建?；顒?從而培養學生的信息技術處理能力,讓學生更加熟練應用當前的信息處理手段,從而不斷改善新的課堂教學,為教師啟發了一種新的教學思路。

3.6 回授教學建模教學策略

經歷求解模型后,教師變換問題的一些條件,拓寬問題的討論范圍,引導學生繼續深入探究.此時數學建模的學習還沒有結束,需要進行回授式教學,引導學生回顧總結,將已有的問題和新的問題對比分析，學生已經掌握用相應的方法和步驟來解決這類模型,教師要對學生有信心,將所學內容作為課后的作業,讓學生獨立地完成作業。同時還可以開展變式強化練習，通過變式練習的過程，讓相應的數學模型背后的具體問題得以轉化，提升了學生們的建模能力，讓學習內容更加豐富，提升對特定問題進行圖式識別認知和表征能力.

接下來選取新教材人教B版高中數學必修第三冊的案例，闡述以上教學策略的運用與實施。

4 高中數學建模教學案例實踐

[案例情境]例：日月對海水會產生引力作用，有時候會出現漲落的狀況，人們稱之為潮。在通常狀況下，早潮被稱作潮，晚潮被稱作汐。一般情況下，在漲潮的時候，船需要通過行駛步入航道，靠近碼頭；結束卸貨之后，在落潮時返回海洋。

表1 港口水深與對應時間觀測表

(1)選取特定的函數來對時間和水深度之間的關聯進行體現，求整點時水深的近似值(精確0.001m)。

(2)對于一條貨船而言，其相應吃水深度是4m，根據相關安全條例，安全間隙應當不低于1.5m，這個船在這個時候，什么時候可以入港口？停留時間是多少？

(3)對于一條貨船而言，其相應吃水深度是4m，安全間隙是1.5m，于2：00進行卸貨，吃水深度以0.3m/h的速度減少，倘若在其完成卸貨之后，要0.4h之后，才可以行駛入深水域，該船應當選擇的卸貨時間是多少？

通過尋求變量變化規律的過程，在學生已有知識的基礎上，將建模的確定變量、理清關系、計算系數、解決問題的幾個過程都清晰地體現出來。本案例內容相對簡單，但代表性強，可以方便學生盡快熟悉建模的流程，掌握數學建模的框架體系。

[案例分析] 首先在進行導入教學時,就是可以考慮采用的策略一:問題啟發建模教學策略。

在進行本次課堂教學之前,組織每位學生進行討論,大家都是自主表達意見,針對這個周期現象,目前還可以研究探討的問題很多.比如,這些現象出現的原因,能夠利用哪幾個函數描述這個規律,何時進入港口，何時停止卸貨等等。引導學生思考，可以采取哪些學過的數學方法解決這個問題，從而給學生埋下好奇的種子，為后面的學習做準備。

橫坐標為時間x(單位：h)，縱坐標為水深y(單位：m)，讓大家思考周期現象問題和已經學過函數的關聯，找到水深與時間之間的關聯，從而得出這是我們高中的正弦型函數問題。

[案例分析] 采用策略二：圖示教學建模教學策略。

觀察這個問題中相關條件，概括出有用的信息,通過上述的圖表和數據，可以繪制相應的散點圖(如圖1).觀察散點圖的變化趨勢得出，這個港口的水深和時間之間的關系可以表示為函數關系y=Asin(ωx+φ)+h,其中x為時間,y為水深。

圖1

如果使用平滑的曲線進行連接,會發現初相、振幅都有所改變，結合圖像和相關數據，通過計算得出正弦函數模型，也就是相應的解析式，進而能夠確定A,ω,φ,h的值。

[案例分析] 采用策略三：開展建模對話教學策略。

從數據和圖像可以得出：

A=2.5,h=5,T=12.4,φ=0

[案例分析] 運用策略三：開展建模對話教學策略。

學生根據已有的數據繪制出函數圖像。在教學的過程中，教師要引導學生積極探究，不要懼怕失敗，通過推導和計算，得到較為合理的函數模型。在上述過程中借助了數形結合的理論，體現數學具有邏輯性推理和抽象化的特點。

表2 港口整點時的水深近似值

時刻6:007:008:009:0010:0011:00水深/m5.2534.0143.0232.5292.6563.372時刻18:0019:0020:0021:0022:0023:00水深/m5.7484.4973.3722.6562.5293.023

(2)針對題目給出的條件，展開相應的討論，得到入港以及停留的時間:經過計算求得安全深度為：

4+1.5=5.5(m)。

所以當y≥5.5時就可以進港。令

由計算器可得

0.2013579208≈0.2014．

[案例分析] 運用策略五：信息技術優化解模教學策略。

利用GeoGebra軟件畫出這個函數的圖像，與學生共同分析特點。

解得xA≈0.3975，xB≈5．8025．

通過函數的周期性很容易得到：

xC≈12．4+0.3975=12．7975，

xD≈12．4+5．8025=18．2025．

因此，本題貨船可以選擇在00：30分左右進入港口，早晨5時45分左右從港口出發；或選擇在下午13時左右入港口，下午18時左右從港口出發?？梢栽诟劭谕Ａ舸蠹s5h。

(3)當時間為xh時，本題貨船的安全水深是ym，也就是y=5．5-0.3(x-2)(x≥2)。畫出相應的圖像得到，當時間在6時到8時，函數曲線與直線上存在1個交點(如圖3)。

利用計算工具得出交P的坐標約為(7．016，3．995)，于是貨船最好在6.6時之前停止卸貨，馬上離開將駛向深一些的海域。

[案例分析] 運用策略六：回授教學建模教學策略。

這節課學習了三角函數模型，大家可以充當一次調研員，利用手中的活動表格，以小組為單位選擇你們喜歡的方法，去填寫表3中的數據并建立數學模型。

表3 時間與水深關系表

學生此時已經在一定程度上掌握了本節課的知識點,題目的解答方法步驟,以及題目正確解答的文字書寫格式等。接下來來到回授課堂教學環節,這一環節主要是用來檢查和評價學生的學習效果。此環節讓學生獨立完成本節課模型的整理作業,使學生學習更扎實有效。變式練習：近兩年小明家用燃氣費用如表4：

表4 小明家用燃氣費用表

2020年1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月單位:元758458502315161720366585

(1)畫出函數圖像用來作為這些數據的模型。

(2)你有哪種比較適合又簡易的方法找出振幅，周期？

(3)你的方法有哪些優點、缺點？是否可用你的模型來預測下一年度的使用情況？

5 結 語

在高中數學建模教學中,應用建模策略需要長期堅持，其中要注意這樣幾個問題:首先要正確地運用每個數學建模策略，其次要具體問題具體分析，選取恰當的數學建模策略，最后各個策略要相互融合，相互滲透。只有這樣,學生才可真正地學會建模,高中數學建模教學才可真正落地。