一維雙方勢壘量子隧穿的研究及其數值模擬

李海鳳， 王欣茂

(西安工業大學 基礎學院物理系，陜西 西安 710021)

量子隧穿(或量子貫穿、量子隧道)是一種重要的量子效應，當入射粒子能量小于勢壘高度，其仍然有一定的概率穿過勢壘，出現在勢壘后面的區域．而當入射粒子能量略微高于勢壘高度，仍然有一定概率在勢壘表面發生反射．這些現象用經典力學無法解釋，必須借助于量子力學理論，其本質為微觀粒子具有波粒二象性[1-4]．因此，量子隧穿現象是粒子具有波動性的表現．利用量子隧穿效應，能夠非常好地解釋放射性元素α衰變、熱核聚變、金屬電子冷發射、半導體p-n結、隧道二極管等．除此之外，量子隧穿效應的重要實際應用之一為掃描隧道顯微鏡，1993年利用掃描隧道顯微鏡制成了量子圍欄,人類首次直接觀測到電子駐波圖.

傳統量子物理教材，只涉及單個方勢壘,勢壘范圍一般是x∈(0,a)，然后計算微觀粒子的透射系數，若一維任意邊界的雙方勢壘，中間形成一個量子阱，如何計算微觀粒子的透射系數？不同于散射矩陣方法(或轉移矩陣方法)，本文利用量子力學求解勢壘量子隧穿的常規方法，嚴格分區域求解定態薛定諤方程，并且利用波函數在邊界處滿足單值性和連續性，推導得到一維任意邊界條件下雙方勢壘量子隧穿透射系數的精確解析表達式，雖然推導過程比較繁瑣，但是結果簡潔，能夠比較直觀得出透射系數與哪些參數有關．這些都是非常有意思的問題，不僅可以作為量子力學學習和教學的補充，并且可以對納米電子器件的設計和制造提供物理依據[5-10].

1 非對稱雙方勢壘

一維任意邊界的非對稱雙方勢壘，兩個壘寬與兩個壘高均不等．勢能函數如下：

(1)

圖1 一維非對稱雙方勢壘

從圖1中可知兩個壘高分別為U01和U02， 兩個壘寬分別為L1=b-a,L2=d-c, 兩個勢壘之間的間距為Δ=c-b．第Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ區域一般為超導體、導體、金屬，半導體材料等，電子可以自由運動，勢能為零，而Ⅱ、Ⅳ區域一般為絕緣層，電子不容易通過，將其看成勢壘．

由于勢能函數不顯含時間，雙方勢壘將空間分成五個區域，求解每個區域的定態薛定諤方程，得到每個區域的波函數形式解如下：

(2)

在每個區域的邊界處，利用波函數標準條件(即單值性與連續性)，求得

(3)

(4)

(5)

上述公式，給出了一維非對稱雙方勢壘，3種不同入射能量情況下，F/A表達式，透射系數是它的模平方，雖然我們這里沒有展示透射系數的具體表達式，但是從目前的結果比較容易看出透射系數是勢壘寬度(L1,L2)、壘間距(Δ)、入射能量和壘高(E,U01,U02)的函數．下面我們重點通過研究一維對稱雙方勢壘，數值模擬透射系數對上述參數的依賴關系．

2 對稱雙方勢壘

一維對稱雙方勢壘，壘高相同，即U01=U02=U0.

圖2 一維對稱雙方勢壘

那么它的勢能函數U(x)為

(6)

(7)

對上式求模平方，則透射系數為

T=4β4/{(β2-1)4sin2(k1Δ)sin2(k2L1)sin2(k2L2)-

2β(β2-1)2sin(k2L1)sin(k2L2)sin(k1Δ)×

{2βcos[k2(L1+L2)]sin(k1Δ)+

(β2+1)sin[k2(L1+L2)]cos(k1Δ)}+

β2(1+β2)2sin2[k2(L1+L2)]+

4β4cos2[k2(L1+L2)]}

(8)

(9)

對上式求模平方，則透射系數為

T=4β′4/{β′2(β′2-1)2sinh2[k′2(L1+L2)]+

(β′2+1)4sinh2(k′2L1)sinh2(k′2L2)sin2(k1Δ)-

2(β′2+1)2sin(k1Δ)sinh(k′2L1)sinh(k′2L2)×

[(β′3-β′)cos(k1Δ)sinh[k′2(L1+L2)]+

2β′2cosh[k′2(L1+L2)]sin(k1Δ)]+

4β′4cosh2[k′2(L1+L2)]}

(10)

若Δ=0,L1=0或者L2=0．則一維雙方勢壘的結果回歸到單方勢壘的結果.

3 數值計算與討論

現在我們考慮一維對稱雙方勢壘，兩個壘寬相等，即L1=L2=L，并且微觀粒子入射能量小于壘高的情況，即E

T=4β′4/{β′2(β′2-1)2sinh2(2k′2L)+

(β′2+1)4sinh4(k′2L)sin2(k1Δ)+

4β′4cosh2(2k′2L)-

2(β′2+1)2sin(k1Δ)sinh2(k′2L)·

[(β′3-β′)cos(k1Δ)sinh(2k′2L)+

2β′2cosh(2k′2L)sin(k1Δ)]}

(11)

圖3為一維對稱雙方勢壘的透射系數與勢壘寬度變化關系圖，其中入射粒子能量為E=2 eV,勢壘高度為U0=3 eV,勢壘間距為Δ=0.2nm．當勢壘寬度為0時，相當于沒有勢壘，粒子自由運動，透射系數為1，隨著勢壘寬度逐漸增加，透射系數逐漸減小,直至為0．從圖中看出，若壘寬比較小(Δ≤0.11nm)，雙方勢壘透射系數持續保持為最大值1， 說明壘寬越小越容易實現量子隧穿效應．

圖3 一維對稱雙方勢壘的透射系數與壘寬關系

圖4為一維對稱雙方勢壘的透射系數與勢壘間距變化關系圖，其中入射粒子能量為E=2eV,勢壘高度為U0=3eV,勢壘寬度為L=0.1nm．若勢壘間距為0，相當于單方勢壘，透射系數小于1，隨著勢壘間距逐漸增加，透射系數增加至1，然后又降低，呈現明顯地周期式振蕩,振動周期相同.若勢壘高度變大，透射系數仍然隨著勢壘間距的增加而周期振蕩，只不過透射系數最小值變小，峰寬變窄，更局域.

圖4 一維對稱雙方勢壘的透射系數與壘間距關系

為了便于理解，令透射系數取最大值1，我們解析地推導出此時壘間距表達式如下：

(12)

將兩個勢壘之間區域看作一個量子阱，若勢阱寬度(即兩個勢壘之間的距離)等于式(12)，進入勢阱的微觀粒子在勢阱界面上經歷多次反射，微觀粒子透射波保持相位的相干性，就可能具有接近于1的透射系數，使隧穿具有共振特性．因此，一維對稱雙方勢壘的透射系數對于勢壘間距具有明顯的依賴關系．我們可以通過調控勢壘間距，使微觀粒子透射系數達到最大值1，進而實現共振隧穿.

圖5為一維對稱雙方勢壘在不同勢壘寬度情況下透射系數隨著E/U0變化的關系圖，其中勢壘高度為U0=3eV,雙勢壘間距為Δ=0.2nm．當入射粒子能量為0時，透射系數為0．當壘寬較大時(L=0.3nm)，隨著入射能量的增加，透射系數從零先增加到最大值然后急速減少，降到略大于0的某個值，然后趨于平緩．當壘寬處于中間值區域時(L=0.1nm)，隨著入射能量的增加，透射系數從零先增加到最大值1，然后緩慢減少．當壘寬較小時(L=0.01nm)，隨著入射能量的增加，透射系數從零首先快速增加到最大值1，然后穩定保持該值.從圖中，我們比較容易看出，當壘寬比較大時，一般情況而言，量子隧穿效應不明顯，透射系數比較低，甚至為0，但是可以通過選擇合適的微觀粒子入射能量，使透射系數達到最大值1．勢壘寬度越大，透射系數對入射能量的選擇依賴性越強．

圖5 一維對稱雙方勢壘不同壘寬下透射系數與E/U0

圖6為一維對稱雙方勢壘不同壘間距下透射系數與E/U0變化的關系圖，其中勢壘高度為U0=3eV,勢壘寬度為L=0.1nm．微觀粒子的入射能量為0時，透射系數為0．當雙勢壘間距較小時(Δ=0.2nm)，隨著入射能量的增加，透射系數從0緩慢增加到1，然后緩慢減?。旊p勢壘間距介于中間值時(Δ=0.4nm)，隨著入射能量的增加，透射系數從0增加到1然后緩慢減少至某個值后又緩慢增加．當雙勢壘間距(Δ=2nm)較大時，隨著入射能量的增加，透射系數從0快速增加到1，然后快速減小，周期振蕩，周期越來越大，但振幅越來越?。畯膱D中可以看出，勢壘間距越大越容易實現共振隧穿現象，由于當粒子入射能量等于兩壘之間勢阱區域的共振能級時，粒子可以利用共振隧穿的方式通過對稱雙方勢壘．

圖6 一維對稱雙方勢壘不同壘間距下透射系數與E/U0

4 結論

量子隧穿效應，雖然是根據微觀粒子的波動性，貫穿比自身能量更高勢壘的量子理論，但是它在實際技術中具有重要應用．本文利用量子力學求解定態薛定諤方程的常規方法，嚴格推導了一般任意邊界條件下，一維雙方勢壘的透射系數，并且數值研究了對稱雙方勢壘的透射系數與壘寬、壘間距以及入射能量與壘高比值的變化關系．在這些影響一維雙方勢壘透射系數的參數中，壘間距給出的結果比較有趣, 即透射系數隨著壘間距的增加而呈現出明顯地周期式振蕩．本文我們首次推導得出透射系數達到最大值1時對應的壘間距解析表達式，從中比較容易得到振蕩的周期，通過微觀粒子的德布羅意波長關系，進一步證明了該振蕩周期正好等于粒子的物質波波長．除此之外，透射系數隨著壘寬的增加而緩慢從1減小至0．透射系數并不是隨著入射能量的增加而單調遞增至1，這種美好圖景只有在壘寬比較小時才可以實現，對于壘寬稍微大或者較大時，只有當入射能量達到某一個值時，才會出現透射系數為1的峰值，然后隨著入射能量繼續增加，透射系數逐漸降低．當壘間距較小時，入射能量等于某個值時才會出現透射系數為1的峰，而當壘間距較大時，隨著入射能量的增加，透射系數周期越來越大，振幅越來越小地振蕩前進，實現共振隧穿. 因此，通過選擇合適的入射粒子能量和勢壘間距，可以極大地增加微觀粒子通過勢壘的透射系數．本文對于電子器件、共振隧穿器件的制作與研發以及解釋半導體異質結構中共振隧穿現象具有指導意義,提供了物理理論依據．