考慮弱耦合關系的全維靈敏度矩陣快速VCA方法

李英量，王康，王德明，朱豪，武曉朦

(西安石油大學 電子工程學院，西安 710065)

0 引 言

隨著電力系統的不斷升級，電力網絡結構日趨緊密和復雜。當系統出現局部電壓失穩而又無及時有效的調控手段時，將有可能波及全網[1]，乃至影響整個電網的安全穩定運行。將整個電網劃分為若干個具有穩定特征的區域，并采用合理的無功電壓控制方案，不僅可以加強局部電壓控制，保證區域無功需求和電壓合格要求[2]，而且對維持整個電網安全穩定運行意義重大[3]。

在各種電壓控制策略當中，使用較為廣泛的是由法國電力公司提出的分級分壓控制策略{Paul, 1987 #27}{Paul, 1987 #27}[4]，該控制系統已廣泛應用于國內外電氣工程實際當中。分級電壓控制可分為三個控制等級[5]，分別涉及到不同的控制功能和地理位置。其中初級電壓控制和三級電壓控制設置在系統的供電單位和調度中心，分別實現就地控制和全網控制功能。二級電壓控制一般設置在系統的樞紐變電站，用來實現區域控制的功能，是實現分級電壓控制的核心環節[6]。

無功電壓控制通過將系統劃分為互相解耦的控制區域來實現二級電壓控制，而在無功電壓控制方法中，研究如何快速有效的分區方法具有重要的價值。文獻[7]考慮了發電機的無功電壓響應，在無功源控制空間中利用層次聚類方法進行分區，從而將原分區問題轉化為高維空間分類問題；文獻[8]采用局部穩定指標來定義電氣距離，并使用內外圖層疊加法實現了對復雜網絡的分區；文獻[9]結合無功電壓控制分區的問題，利用SAGA聚類法對系統所有節點進行快速、有效地分區；文獻[10]將PV節點的靈敏度加入原負荷節點靈敏度矩陣中，利用SAS聚類一次求取分區結果，并對分區結果進行電壓越限問題的處理；文獻[11]通過選取合適的閾值去除小元素，利用雅可比矩陣中有功、無功對電壓偏導的等維度子矩陣之和進行無功電壓分區。分區方法既考慮了有功對電壓的影響，又不會掩蓋無功的主要作用；文獻[12]提出了一種綜合電氣距離指標，并以節點之間電氣距離的特征期望作為分區的權重，降低了PQ和PV節點分區的復雜程度；文獻[13]針對傳統分區伸縮性不強的缺點，提出了一種基于網絡拓撲的映射分區法，可以保證區域內被控節點與對其控制能力最強的無功源節點同屬一個分區。上述文獻或采用不同方法使電源節點歸并至負荷區域，或利用逐次遞歸原則分步聚類，其目的都是保證分區的無功控制和地理鄰近，但是分區的步驟及計算量卻略微復雜。

采用多次聚類分析和節點類型調整的傳統分區方法存在一定的復雜性。針對此類問題，文中提出了一種考慮弱耦合關系的全維靈敏度矩陣快速VCA劃分方法。新方法利用有功功率和電壓相差之間的弱耦合關系修正傳統方法中的靈敏度矩陣結構，使分區結果更加準確合理。采用凝聚的層次聚類方法一次對各類節點進行處理，不僅縮減了分區步驟，而且提高了分區效率。由于系統在重負載情況下不存在PV解耦，所以新方法利用有功對節點電壓幅差和無功對節點電壓相差的偏導數來反映系統弱耦合的事實，并得到了合理的分區結果。

1 基于靈敏度電氣距離的計算方法

1.1 節點靈敏度計算解析

靈敏度分析法是無功電壓控制分區中最常用方法之一，其核心的步驟是計算節點之間的靈敏度強弱以及電氣距離的大小。極坐標下的節點功率方程為：

(1)

式(1)是關于節點電壓的非線性方程組，在潮流計算中通常以功率變化量的形式表達。通過求解網絡功率的不平衡量，利用牛拉法潮流計算修正系統注入功率，并得到線性方程組：

(2)

假設系統1～m是PQ節點，m+1～n-1為PV節點，n為平衡節點。將式(2)按Taylor級數展開后略去其高次項，可得到矩陣表達形式如下：

(3)

式中ΔP、ΔQ分別表示節點注入的有功及無功功率變化量，其由潮流計算生成的雅可比矩陣J和節點電壓的相差ΔU/U、幅差Δδ計算得出。

潮流雅可比矩陣中各子矩陣元素定義如下：

(4)

(5)

式中Hij、Nij、Jij、Lij為雅可比子矩陣，反映了功率與電壓之間的偏導關系以及各子矩陣的元素相關性，為構建靈敏度矩陣提供了必要條件。

基于輸電線路中電抗X與電阻R的關系，以及節點靈敏度矩陣構建時功率與電壓的關系，構建四種靈敏度矩陣結構：

(6)

文章采用上述第四種靈敏度矩陣構建方式，其物理意義是研究無功電壓控制分區中功率和電壓之間存在的影響。這種構建方法的優點是全面考慮了N和J子矩陣的影響，并基于無功電壓的主控制性排除了H子矩陣的干擾。由于N和J對應的耦合關系弱，所對應的雅可比子矩陣元素數值很小，不會影響無功對電壓控制的主要作用。若要實現快速雅可比解耦，則需對雅可比矩陣中非對角耦合項進行修正[14]。

利用節點之間的電壓幅差量化靈敏度矩陣：

(7)

式中αij表征節點之間的電壓耦合，可通過節點之間電壓變化的最大衰減來量化。在節點j處注入無功功率，將節點i與節點j的電壓偏移之比定義為量化后的靈敏度矩陣。αij矩陣中元素的數值越小，節點間電氣連接的緊密程度就越小，電氣距離就越大，反之則節點之間的電氣距離越小。當i=j時，表示節點對自身的靈敏度大小為1；當i≠j時，因為系統中存在其它節點的影響，導致一個節點注入無功對另一個節點的電壓控制不具有對稱的性質，所以靈敏度矩陣為非對稱矩陣。

1.2 電氣距離的計算

由靈敏度矩陣可推導出電氣距離矩陣，其非對角元素關系為：

dij=dji

(8)

定義電氣距離矩陣元素dij為：

dij=-αij×αji

(9)

通過考慮節點電氣距離的區分度以及距離本身具有的對稱性，構建電氣距離的映射函數。將靈敏度矩陣元素對數變換，可以擴大坐標之間的差異性，從而更好的表征距離的區分度：

Dij=-lg(αij×αji)

(10)

式中電氣距離矩陣Dij為(m×m)階矩陣，負號是為了確保電氣距離矩陣的正定性，其對角元素為0。

由于空間電氣距離的映射函數相比于節點之間的實際電氣距離(節點等效阻抗距離)能夠更加真實地反映節點之間的電氣連接性，文中采用空間映射函數來定義電氣距離實用性更強。

2 弱耦合全維靈敏度分區方法

針對傳統無功電壓分區中先負荷分區，再人工歸并電源節點的過程存在復雜性的問題，文中擬構建一種同時考慮無功源節點的分區模型。通過計算獲得了同時包含PQ、PV節點的全維靈敏度矩陣，以此獲得了考慮PV節點的全維電氣距離矩陣。

在系統PV-PQ節點類型轉換的問題中，一個PV節點的無功功率變化對其他PV節點電壓幅值的影響較小。通過分區實驗可知，PV節點類型轉換之后引起電壓幅值和雅可比矩陣元素的變化較小，反映到靈敏度矩陣和距離矩陣中變化同樣不大?；谝陨戏治?，文章提出了新的分區方法。

2.1 建立全維靈敏度矩陣

電力系統中無功與電壓的關系可以在雅可比矩陣元素中體現?；谖恼?.1中靈敏度矩陣的構建方法，加入無功源節點的靈敏度信息構建包含無功源節點的全維靈敏度矩陣。

2.1.1 對節點類型進行處理

(1)通過潮流計算得到雅可比矩陣，并考慮對雅可比子矩陣進行變換；

(2)通過節點類型的變換，一次性將除平衡節點以外的PV節點設置為PQ節點，進行潮流計算；

(3)在傳統連續潮流計算中，由于平衡節點電壓等級相對較高且負荷集中，若潮流產生的有功變化量全部由人為選擇的系統平衡節點來承擔，會使得潮流計算的結果受到平衡節點選擇的約束。

在處理平衡節點時，將平衡節點的類型轉換為PQ節點，并選擇一個電壓等級比較高的電源節點作為新的平衡節點。如此做法的意義是保證在重新進行潮流計算時，能獲得與原潮流接近的結果。因為雅可比矩陣的計算不考慮平衡節點，所以文中的分區過程也不考慮平衡節點的靈敏度計算，平衡節點在分區結束后以地理鄰接關系直接就近歸并。

2.1.2 構建全維靈敏度矩陣

通過上述方法先進行節點類型的轉變，再進行潮流計算，可以獲得包含無功源節點的全維雅可比矩陣Jmax：

(11)

Svq2=-(L(n×n)+N(n×n)+J(n×n))-1=

(12)

節點類型轉換之后對系統無功和電壓的偏導影響較小，可以預計新生成的全維靈敏度矩陣中與原負荷節點靈敏度矩陣相同維度的部分變化不大。因此，文中所構建的全維靈敏度矩陣是正確有效的。

最后，量化全維靈敏度矩陣并求取電氣距離，以此進行快速VCA的劃分：

(13)

2.2 聚類分析實現快速VCA

聚類分析(Cluster Analysis)是一種多元數據統計的方法[15]，其分類統計的對象是多元參數變量或樣本數據，目標是使數據在具有一定的相似程度的基礎上進行區域劃分。聚類分析的方法通常被用作描述數據之間的多元性質，衡量數據源之間的相似程度，并根據相似度將數據源劃分在不同的簇中，因此VCA的劃分問題也常采用聚類方法[16]。VCA劃分的目的是分出區內強耦合，區外弱耦合的無功電壓控制區域，從而更好地進行區域控制。VCA也是實現二級電壓控制目標的最優方法之一，與聚類分析的定義一致。文章1.2中所建立的電氣距離矩陣元素，可以作為節點之間“相異”特性的度量標準進行聚類。

基于層次聚類法對電力節點系統進行分區，分區流程如圖1所示。

圖1 全維靈敏度聚類分區流程Fig.1 Partitioning process of full-dimensional clustering

利用凝聚的層次聚類方法進行劃分，并根據最小簇間距離依次合并，直至簇的個數滿足分區要求為止。在此合并距離的過程中，最關鍵的因素是定義距離的類型。類間距離的定義有許多種，文中采用離差平方和(Ward)距離進行聚類[17]，可以保證每次合并類間的離差平方和最小。聚類過程如下：

(1)利用Matlab將距離矩陣D2從方陣的形式轉化為上三角形矩陣Y，Y中的所有元素作為節點之間的初始合并距離；

(2)因為合并過程中的距離越小，簇間的聯系就會越緊密，分區結果的穩定性也就越高。因此，利用Ward距離計算(1)中合并距離的聚類效果優于其他幾種類間距離；

(3)通過聚類評價信息函數，測評聚類的效果與實際電網的相符程度；

(4)通過逐級聚類法構建數據集，選取節點簇所對應的合適閾值進行切割；

(5)通過確定聚類分區的數目來構建聚類譜系圖，并分析譜系圖中合并距離的增幅，確定合理的分區數目。

通過聚類分析之后得到分區結果，其合理性判斷的標準如下：

(1)劃分結果中各控制區域內具有強耦合性，區域外具有弱耦合性；

(2)分區數量適中，便于整體控制；

(3)控制區域內的節點滿足地理鄰接關系；

(4)分區過程中節點的歸并均勻，并能夠保證所有區域均含有無功源節點，以達到無功對電壓控制的要求。

3 算例分析

IEEE 9節點、IEEE 39節點系統均含有無功源節點，適用于文中所構建的全維靈敏度模型。文章以這兩種節點系統為算例，通過所提的新方法分析電力網絡的無功電壓控制，并基于Matlab對兩種算例進行仿真分析。

3.1 IEEE 9節點

以IEEE 9節點系統為例，其包含六個負荷節點、三個無功源節點(包含平衡節點9)。利用文中所提的考慮弱耦合關系的全維靈敏度法對9節點系統分區，得到與原負荷節點相同維度的部分電氣距離矩陣如表1所示。

對比傳統分區方法中負荷節點的電氣距離[18]，文中考慮無功源節點對負荷區域的影響而得出的合并距離數值較小，但在滿足清晰區分度的基礎上具有均勻的增長幅度。IEEE 9節點系統網絡拓撲分區見圖2。

表1 部分節點分區電氣距離Tab.1 Electrical distance of partial node zones

圖2 IEEE 9節點網絡拓撲分區圖Fig.2 Partitioning diagram of IEEE 9-node network topology

由圖2可知，考慮全維靈敏度矩陣的電壓分區方法可以兼顧節點地理位置的鄰接性，分區結果更加合理。圖3為節點合并過程的分區譜系圖。

圖3 全維靈敏度IEEE 9節點分區譜系圖Fig.3 Full-dimensional sensitivity IEEE 9-node partition spectrogram

圖3中負荷節點合并過程與傳統負荷區域合并過程一致，體現了文中所提方法存在的PV耦合情況對于負荷節點合并過程的擾動很小。結合文中2.1節的描述，因為雅可比矩陣的維度存在限制，所以得到的分區結果包括除平衡節點以外的8個節點。結合文中2.1節的描述，將平衡節點就近歸并至網絡拓撲結構中地理鄰近的{1、2、3}節點簇中即可。表2為IEEE9節點系統3分區結果，分區結果中每個控制區域均包含無功源節點。

表2 IEEE 9節點全維靈敏度分區結果Tab.2 Full-dimensional sensitivity partitioning results of IEEE 9 node

在傳統方法對PV節點的歸并過程中[19]，將三個無功源節點7、8、9分別歸并至各負荷節點的控制區域中，使分區的結果與文中方法結果相同。

表3為系統全維靈敏度聚類分區的合并過程，其包括僅考慮L矩陣的傳統合并過程[20]與文中考慮弱耦合關系的新合并過程。

表3 全維靈敏度9節點系統聚類分區合并過程Tab.3 Partition merging process of full-dimensional sensitivity IEEE 9-node clustering

分析節點三分區的合并過程可知，文中方法的節點簇{1、2、3}的合并距離為0.342 3，節點簇{4、7、5、6、8}的合并距離為0.532 7，兩者距離差為0.190 4。傳統方法中節點簇{1、2}的合并距離為0.404 6，節點簇{6、8、3、4、7、5}的合并距離為0.540 4，兩者距離差為 0.135 8。雖然在傳統分區方中三分區結果可以體現出PV節點的合理歸并，但是相比于文中方法，傳統三分區的區分度較小。聚合過程中所提方法的合并距離增長更勻稱，三至二分區的合并距離較長。不僅增強了區域數量劃分的合理性，而且更能夠體現分區之間的區分度?；谝陨戏治?，選取文中所提方法更合理。

PV節點的歸并過程中，耦合程度是較大影響因素。若使用傳統靈敏度分區，電源節點7會在負荷節點5之前歸并，而使用文中所述方法分區，電源節點7會在負荷節點5之后歸并。新方法體現了區域內無功對電壓的強控制能力，其歸并過程也更加合理。

3.2 IEEE 39節點

IEEE 39節點是由10個無功源節點(包含平衡節點31)，29個負荷節點組成的節點系統，利用文中所提考慮弱耦合關系的全維靈敏度的方法進行電網分區。

表4為39節點系統6分區結果，其每個控制區域內均包含有無功源節點，且與傳統方法對IEEE 39節點系統的PV節點歸并結果一致。圖4是IEEE 39節點網絡拓撲分區圖。

表4 IEEE 39節點全維靈敏度分區結果Tab.4 Full-dimensional sensitivity partitioning results of IEEE 39 node

圖4 IEEE 39節點網絡拓撲分區圖Fig.4 Partitioning diagram of IEEE 39-node network topology

由圖4可知，采用文章所提方法進行分區可同時滿足各節點之間的地理鄰接性，使分區結果穩定可靠。

結合2.1中的方法來處理平衡節點，先將系統平衡節點(節點31)設置為PQ節點，再考慮到雅可比矩陣具有維度限制，將具有相近電壓等級且存在有功、無功裕度的節點39設置為新的平衡節點并進行無功電壓控制分區，可以得到38個節點的分區結果。對于新的平衡節點，將其就近歸并至網絡拓撲結構中地理鄰近的{1、9}節點簇即可。

節點簇的合并過程中，節點1、9的合并過程與其他節點簇的合并距離大，表明了文中方法存在PV耦合的影響。

表5為39節點系統分區的部分合并過程，由于節點簇內的節點數量過多，結合篇幅限制，上表節點簇中的數字分別代表了集成節點的歸并過程。分析表5可知：文中方法的分區數量由6凝聚為5的過程中合并距離增幅為0.033 9，而傳統方法過程中分區數量由6凝聚為5的合并距離增幅為0.010 1。雖然兩種歸并過程都可以表征分區之間的相異程度，但是文中考慮弱耦合關系構建靈敏度的方法得到的結果區分度更佳。

分析聚類譜系圖(圖5)可知：文中方法節點合并的過程中，所有無功源節點都緩慢而均勻地并入負荷節點的區域之中，未出現無功源節點在負荷節點之前歸并的不良情況。傳統分區方法中電源節點32的歸并過程在負荷節點12之前，對比系統內其它無功源節點的歸并過程，傳統方法的PV耦合程度更嚴重，證明了文中方法在歸并過程中的優越性。

表5 全維靈敏度39節點系統部分聚類合并過程Tab.5 Partition merging process of full-dimensional sensitivity IEEE39-node clustering

圖5 全維靈敏度IEEE 39節點分區譜系圖Fig.5 Partition spectrum of full-dimensional sensitivity IEEE 39 node

分區數量由6凝聚為5時合并距離明顯增大，且在此合并之前所有節點都均勻緩慢合并為簇，合并距離較小且增長緩慢，節點彼此之間聯系緊密。而在6分區合并之后合并距離明顯變大，導致合并代價隨之增高。

一般來說，系統所有節點合理的最優聚類數上限為根N[21-22]。式(14)表示分區上限要求，K表示分區個數。

(14)

綜合以上條件，針對39節點系統進行聚類分析，合理分區數為6，符合最優聚類數區間的要求。系統在重負載情況下不存在PV解耦的情況[25]，因此在節點類型轉換的過程中，應當考慮PV節點一次電壓控制的自動電壓調節所帶來的物理響應。

4 結束語

文章針對傳統無功電壓分區中PV節點歸并過程復雜的問題，提出了一種考慮弱耦合關系且包含無功源節點的快速VCA方法，分析可得：

(1)文中所構建的全維靈敏度矩陣綜合考慮了PQ、PV節點間電氣相關性和節點功率、電壓間的耦合性，使分區過程更加合理；

(2)文中提出的節點類型轉化方法不僅大大降低了傳統分區方法中多次潮流計算對分區結果帶來的不利影響，而且考慮了平衡節點的歸并問題。

以IEEE 9、IEEE 39節點系統為例，應用凝聚的層次聚類算法進行全網統一分區仿真分析。結果表明，采用文章所提方法可以保證區域外弱耦合性與區域內的強耦合性，并且在PV歸并的過程中更具有優越性，為電力系統的VCA劃分提供了更為便利的選擇。