楔橫軋內直角小臺階精確軋齊曲線

張凱利，王寶雨，沈謹霞

北京科技大學機械工程學院，北京 100083

在楔橫軋成形工藝中，楔橫軋模具一般由楔入段、展寬段、精整段三部分組成[1?3].當成形內臺階時，為避免產生螺旋臺階，在展寬段和精整段間新設計一個過度段— —軋齊段，即內臺階成形階段[4?6].用與內臺階相同的曲面去截成形面，所得曲面稱為軋齊曲面，它與軋輥基面的交線稱為軋齊曲線[7].內直角小臺階也是內直角臺階的一種，但是其與一般直角臺階在軋齊過程中的接觸面不同，螺旋體體積的變化過程也不同.應用一般內直角臺階軋齊曲線公式指導小臺階軸的生產，會出現臺階無法軋齊，需反復修模的問題.

在內直角臺階軋齊問題上，已經提出了許多簡化算法和公式[8?15].張康生和胡正寰[5]通過分析軋件轉角與滾動半徑[16]的關系推導出了直角臺階軋齊曲線，是目前一般內直角臺階軋齊的主流應用方法.杜慧萍等[6?7]利用解析法得到的軋齊曲線公式是隱函數，需計算多個點后再擬合曲線，不方便應用.胡發國等[8]不考慮二輥楔橫軋內直角臺階軋齊過程中軋輥與軋件接觸面方程，得到形式簡單的軋齊曲線計算公式，但是將螺旋體過于簡化，計算結果不精確.目前這些算法求得的公式不適合內直角小臺階的實際生產應用.為此，本文提出了一種針對內直角小臺階精確軋齊計算的新方法，而且所得軋齊曲線的表達式相對簡單，方便實際應用.

1 內直角小臺階判斷條件

楔橫軋軸類零件，當斷面收縮率較大時，軋輥與軋件接觸面形狀如圖1（a）所示.當軋件軋制前后半徑r0與r1相差不大，或展寬角與成形角較大時，軋輥與軋件接觸面形狀如圖1（b）所示.

圖1 不同情況下軋輥與軋件接觸面形狀.（a）大斷面收縮率工況；（b）小斷面收縮率工況Fig.1 Shape of the contact surface between the roll and rolled part under different conditions: (a) large area reduction; (b) small area reduction

軋輥和軋件接觸面不同，導致軋件表面的螺旋體形狀存在差異，因此在計算螺旋體體積時的計算公式要有針對性.目前軋齊曲線的計算方法多是針對圖1（a）形狀的一般直角臺階軋齊過程提出來的，對圖1（b）形狀的螺旋體體積的計算還需要進一步研究.在求解之前需要對一般臺階和小臺階的軋制條件進行初步劃分.在軸類零件軋制過程中，軋輥楔頂部會在軋件軸向方向形成半徑為R的圓弧，以圓弧端點與軋件圓心的距離r為半徑做輔助圓，如圖2所示.

圖2 半徑 r 輔助圓示意圖Fig.2 Auxiliary circle diagram of radius r

由于軋輥的成形角 α，展寬角 β和軋制時壓下量不同，軋件在與模具頂圓交點處半徑r與軋件初始半徑r0的關系也不同，以此為區分條件將一般內直角臺階和內直角小臺階進行粗略劃分.軋件轉一圈的展寬量L= π ·rk·tanβ，模具楔高 ?h=L·tanα；軋件在與模具頂圓交點處半徑r=r1+?h.由于r0，r1相差不大，旋轉半徑.所以：

當r≥r0時，螺旋體形狀如圖1（b），可視為內直角小臺階軋齊情況；當r

2 內直角小臺階軋齊過程

由于大端半徑隨軋件旋轉角度變化，導致螺旋體各部分體積變化過程存在差異，需要對軋齊過程分階段分析.根據楔橫軋內直角小臺階成形過程中螺旋體的變化情況，整個軋齊過程從進入軋齊到軋齊結束可分為如下三個階段.

第一階段：如圖3（a），螺旋體有一部分已經進入軋齊，隨著軋件旋轉外圓不斷進入軋齊.當大端半徑變為r1時 (A點的半徑變為r1)，則進入第一階段與第二階段的臨界狀態，如圖3（b），此時外圓周還未完全進入軋齊（B點還未進入軋齊）.

圖3 內直角小臺階軋齊過程示意圖.（a）第一階段；（b）第一階段和第二階段的臨界狀態；（c）第二階段；（d）第二階段和第三階段的臨界狀態；（e）第三階段Fig.3 Diagrams of rectangular small steps in the rolling process: (a) the first stage; (b) the critical state of the first and second stages; (c) the second stage; (d) the critical state of the second and third stages; (e) the third stage

第二階段：如圖3（c），螺旋體的外圓不斷進入軋齊(C點不斷向B點靠近)，內圓周的半徑不斷軋至r1.當螺旋體的外圓周全部進入軋齊時（C點到達B點），則進入第二階段與第三階段的臨界狀態，如圖3（d）.

第三階段：如圖3（e），整個螺旋體全部進入軋齊，內圓周的半徑逐漸減小，當螺旋體內圓周半徑全部軋至r1時，軋齊結束.

3 螺旋體體積計算

3.1 螺旋體體積劃分

在楔橫軋生產工藝中，軋件是通過軋輥的擠壓成型，由于軋輥上成形角 α 和展寬角 β的存在，軋件受到軋輥的擠壓后螺旋體變形區幾何形狀是一個復雜的曲面.該復雜曲面難以用解析法準確表達，所得出的表達式非常復雜，不利于實際應用，所以對軋件的螺旋體進行幾何近似，如圖4所示.

圖4 軋件螺旋體幾何近似簡圖Fig.4 Simplified geometric approximation of a helix

軋件螺旋體可分為楔頂變形區V1、楔側變形區V2和楔側變形區V3三部分.楔頂變形區V1是將模具楔頂部與軋件接觸面上的曲線邊線簡化成直線，模具咬入的頂點向先前的成形區邊界引垂線，構成底面為平行四邊形的四棱錐.楔側變形區V2是將模具楔側與軋件接觸面上的曲線邊線簡化成直線，曲面接觸面簡化成平面，構成三棱柱與四棱錐的結合體.楔側變形區V3簡化成三棱臺.

兩輥楔橫軋是軸對稱軋制過程，所以以半周為對象對螺旋體體積進行計算.根據文獻[8]的推導，螺旋體的大端半徑r(φ)隨 軋件轉角 φ的變化規律為：

當大端半徑r(φ)等于目標半徑r1時，外徑減徑結束，此時軋件旋轉角為φc.

3.2 軋齊第一階段體積計算

軋齊第一階段大端半徑逐漸減小，如圖5所示，M點不斷向A點移動，當M移動到A點，即r(φ)=r1時第一階段結束.在第一階段軋件只有部分進入軋齊，進入軋齊部分的半徑在r1和r0之間.在軋齊第一階段中，楔頂變形區V1沒有進入軋齊，故此階段楔頂變形區體積VI?1沒有變化.隨著大端半徑r(φ)的 改變，此階段楔側變形區VI?2、VI?3的體積不斷減小，在第一階段結束時，VI?2的體積變為0.

圖5 軋齊第一階段軸向示意圖Fig.5 Schematic of the first stage

第一階段楔頂變形區VI?1沒有進入軋齊，故此值為定值，幾何近似如圖6，其體積計算公式為：

圖6 V I?1示意圖Fig.6 V I?1 schematic

式中，?h=r0?r1；P=?h/tanα ；l=r1?η.η為從軋件軸向上看，軋輥與軋件接觸曲線端點和軋件中心的連線與水平線所形成的夾角，如圖5所示.軋件初始半徑r0、軋輥半徑R和r1+R構成三角形，根據三角形余弦定理可知.

第一階段楔側變形區VI?2在第一階段體積逐漸減小，其中P值視為以 φ/φc的速率減少，?h隨軋件旋轉角度增大而減小.在 ?h減小過程中，初始三棱柱體積形狀改變，以三棱柱體積公式對其進行近似計算，如圖7.

圖7 V I?2示意圖Fig.7 V I?2 schematic

其中，φ的取值范圍為 0≤ φ ≤ φc，l=r1·η.

第一階段楔側變形區VI?3只有部分螺旋斜錐體進入軋齊，幾何形狀如圖8所示，其橫截面分別為直角三角形和直角梯形，可以采用積分方法求解.

圖8 V I?3示意圖Fig.8 V I?3 schematic

式中，t為中間變量，用于螺旋錐體體積的積分運算，φ的取值范圍為 0≤φ≤φc.

3.3 軋齊第二階段體積計算

軋齊第二階段開始時軋齊內圓周的大端半徑r(φ)到 達r1.隨著軋制的進行，楔側變形區V3的體積不斷減小，第二階段在螺旋體外圓周全部進入軋齊時結束.

在軋齊的第二階段V1的 體積不變，所以VII?1=VI?1.在軋齊的第二階段的體積VII?2為0，即VII?2=0.VII?3部分螺旋體內圓半徑軋至r1，已經完成軋齊，部分還尚未進入軋齊，如圖9所示.

圖9 軋齊第二階段軸向示意圖Fig.9 Schematic of the second stage

第二階段楔側變形區VII?3的幾何形狀如圖10所示，其橫截面分別為直角三角形和直角梯形，前半部分為三棱錐，體積為定值，不隨軋件轉角 φ改變，采用積分方法求解.

圖10 V II?3示意圖Fig.10 V II?3Schematic

其中，φ的取值范圍為 φc≤φ≤π?η.

3.4 軋齊第三階段體積計算

第三階段開始時，螺旋體全部進入軋齊.隨著內圓周半徑r(φ)的 變化，楔頂變形區VIII?1、楔側變形區VIII?3的體積不斷減小，如圖11所示.當內圓周半徑到都達r1時，VIII?1、VIII?3的體積變為0，軋齊結束.

圖11 軋齊第三階段軸向示意圖Fig.11 Schematic of the third stage

第三階段圖5中的B點開始進入軋齊，?h隨φ變化，變為r(φ)?r1，VIII?1如圖12所示.

圖12 V III?1示意圖Fig.12 V III?1 schematic

其中，φ的取值范圍為 π?η≤φ≤φc+π?η.

第三階段V3的體積是一個三棱錐，如圖13所示.

圖13 V III?3示意圖Fig.13 V III?3 schematic

其中，φ的取值范圍為 π?η≤φ≤φc+π?η.

4 軋齊曲線的求解

楔橫軋是一種塑性成形工藝，軋制過程滿足體積平衡原理：在軋齊過程中任意位置，未軋齊的軋件螺旋體體積恒等于軋件軸頸處還需伸長的體積.其數學表達式為：

其中：V(φ)i為軋齊過程中螺旋斜錐體各部分體積之和；Vx為軸頸處需伸長部分的體積.軸頸處需伸長部分的體積：

式中，X為軸頸軸向延伸距離，即軋齊曲線X坐標.

軋齊曲線示意圖如圖14所示.X0為軋件待軋齊長度，Y0為軋件待軋齊長度對應的模具長度，Xt為軋齊第二階段與第三階段臨界狀態對應的交點橫坐標.

圖14 精確軋齊曲線示意圖Fig.14 Diagram of the precise shaping curve

在軋齊第一階段，根據模具的設計規則，軋齊曲線上任意點的坐標值均滿足式（15）的幾何關系.

將第一階段的體積代入

其中，φ的取值范圍為 0≤φ≤φc.

在軋齊的第二階段，軋件需轉過的角度為φ=π ?η?φc，軋件還未滾過的的長度記為l2，當φ=φc時，l2有最小值l2.

其中，XI為 φ=φc時XI的值；

其中，φ的取值范圍為 φc≤φ≤π ?η.

在軋齊第三階段，由簡單軋齊曲線所得的計算公式[1]近似精確軋齊曲線的縱向長度，其計算起點為軋齊第二段結束點，可得：

其中，φ的取值范圍為 π ?η≤φ≤φc+π?η.

5 有限元模擬

5.1 對不同斷面收縮率的適應性

利用MATLAB軟件根據本文推導的軋齊曲線公式編寫計算程序，在定義的function函數中依次輸入 α、β、r0、r1、R五 個參數，運行之后可以得出對應的軋齊曲線，用得到的軋齊曲線修模.采用剛塑性有限元軟件Deform-3D分別對斷面收縮率ψ為27.75%、19%和9.75%的軋件進行臺階軋齊仿真，主要工藝參數為α=34°，r0=100 mm，R=1000 mm.仿真結果對應圖15各圖.

圖15 不同斷面收縮率仿真結果.（a）ψ =27.75%，β =6? ；（b）ψ =19%，β =4? ；（c）ψ =9.75%，β=2?Fig.15 Simulation results obtained using different sectional shrinkage rates: (a)ψ =27.75%, β=6? ; (b)ψ =19%，β=4? ; (c)ψ =9.75%, β=2?

為了進一步說明軋齊效果，對仿真情況進行定量描述.在DEFORM-3D軟件中，將仿真結果的三維圖形以.stl的格式輸出，然后導入UG軟件，進行尺寸測量.對軋件進行等量劃分，每30°取一個平面，共得到12組數據，測量切面臺階處的直徑d和臺階的角度 θ，如圖16所示.為方便表述，將直徑d轉換成半徑r繪制在圖中，得到臺階角度 θ和半徑r在軋件周向的尺寸變化圖，計算測量值的平均值和標準偏差S，如圖17所示.

圖16 軋件劃分切面示意圖Fig.16 Schematic of the workpiece section

圖17 臺階角度和半徑尺寸變化圖.（a）ψ =27.75%，β=6?；（b）ψ =19%，β=4?；（c）ψ =9.75%，β=2?Fig.17 Results obtained with changes in step angle and radius values: (a)ψ=27.75%，β =6?; （b） ψ =19%，β =4?; (c) ψ =9.75%，β=2?

5.2 展寬角的影響

展寬角是楔橫軋工藝的關鍵參數之一.為從本質上說明展寬角對直角臺階成形的影響，暫不考慮由成形面形成的螺旋斜錐體的螺旋體部分，這樣在軋齊過程中任意位置的內臺階將都是回轉體.根據這種簡化了的臺階模型導出的軋齊曲線稱為簡單軋齊曲線[1].

對比分析一般斷面收縮率和小斷面收縮率的簡單軋齊曲線.為使展寬角對直角臺階成形的影響效果顯著，選擇大直徑的軸類零件進行分析.對主要工藝參數為α=34°，r0=100 mm，展寬角分別為2°、4°和 7°，斷面收縮率分別為 43.75% 和 19% 的軋件進行簡單軋齊曲線計算，結果如圖18所示.

圖18 簡單軋齊曲線實例.（a）斷面收縮率 43.75%；（b）斷面收縮率 19%Fig.18 Examples of the simple shaping curve: (a) the area reduction is 43.75%; (b) the area reduction is 19%

為使軋齊充分，軋齊過程應至少繞軋件一周.所以軋齊曲線的Y值應不小于軋件內圓半周長Lc，Lc=π ·r1.由圖18（a）中可以看出，一般斷面收縮率軸類件的展寬角取值較大時，如 β=7?時，簡單軋齊曲線的Y值大于內圓半周長，滿足軋齊的條件.由圖18（b）可以看出，小斷面收縮率軸類件的展寬角取值較大時，如 β=7?，簡單軋齊曲線的Y值遠小于內圓半周長，軋齊段過早結束，臺階無法軋齊；展寬角小時，如 β=2?時，Y值遠大于內圓半周長，滿足軋齊條件；展寬角較小時，如 β=4?時，Y值與內圓半周長相近.因此可以得出結論：小斷面收縮率軸類件內直角臺階軋齊時應選用小的展寬角.

由圖14可以看出，按本文計算方法軋齊曲線得到延長，Y值范圍擴大，因而對應的展寬角 β取值范圍相對簡單軋齊而言稍有擴大.綜合分析得到表1不同斷面收縮率直角小臺階軋齊對應的展寬角闕值.

表1 斷面收縮率與直角小臺階軋齊展寬角的關系Table 1 Relationship between the area reduction and stretching angle

6 結論

（1）二輥軋制過程中內直角小臺階成形的判斷條件：軋輥在軋件軸向形成的圓弧端點與軋件圓心的連線距離大于軋件初始半徑時，可視為屬于小臺階軋齊情況.

（2）將復雜的螺旋斜錐體幾何近似，用數學幾何推導出螺旋斜錐體體積隨軋件轉角變化的關系，得到了內直角小臺階不同階段的軋齊曲線公式.

（3）通過仿真驗證，本文提出的軋齊曲線的推導公式適合一定斷面收縮率范圍內的內直角小臺階成形.

（4）小斷面收縮率軸類產品（尤其是較大直徑的零件）直角臺階成形，應盡量選擇小的展寬角，同時給出了不同斷面收縮率下臺階軋齊的展寬角取值范圍.