電信號在離散系統中的時域與z域分析

林 琳

（湖南城市學院 信息與電子工程學院，湖南 益陽 413000）

0 引 言

在信號與系統的分析中，離散系統的分析方法可分為時域解法和變換域解法。對于連續系統可以采用s域分析法進行分析，而對于線性離散系統可以采用z域變換法進行分析。z變換對于描述系統的差分方程轉變為代數方程起到關鍵性作用，且代數方程中包括了系統的初始狀態，進而可以求得系統的零輸入響應、零狀態響應以及全響應[1]。

1 離散系統的時域分析

線性時不變（Linear Time Invariant，LTI）離散時間系統用常系數線性差分方程進行描述，即：

式中，f[k]和y[k]分別表示系統的輸入和輸出。

在已知差分方程的初始狀態以及輸入的條件下，可以通過編程迭代算出系統輸出的公式為：

系統的零狀態響應就是在系統初始狀態為零條件下求微分方程的解。在零初始狀態下，MATLAB控制系統工具箱提供了一個Filter函數，可以計算差分方程描述系統的響應[2]。

離散系統的沖激響應、階躍響應分別是輸入信號為δ(k)和u(k)所對應的零狀態響應。MATLAB控制系統工具箱專門提供了兩個函數求解離散系統的沖激響應和階躍響應。

卷積是信號與系統中一個最基本也是最重要的概念之一。在時域中，對于LTI連續時間系統，其零狀態響應等于輸入信號與系統沖激響應的卷積。而利用卷積定理，這種關系又對應頻域中的乘積。MATLAB信號處理工具箱提供了一個計算兩個離散序列卷積和的函數conv。

2 離散系統的z變換

如有序列f[(k](k=0,±1,±2,…)，z為復變量，其雙邊z變換為：

如果式（3）的求和只在k的非負值域進行，則稱為序列的單邊z變換[3]。

線性時不變離散系統可用其z域的系統函數H(z)表示，通常具有的有理分式的形式為：

為了能從系統的z域表示方便地得到其時域表示式，可將H(z)展開為部分分式和的形式，再對其求逆z變換[4]。MATLAB的信號處理工具箱提供了對H(z)進行部分分式展開的函數residuez，其調用形式為：

式中，B和A分別為H(z)的分子多項式和分母多項式的系數向量，r為部分分式的系數向量，p為極點向量，k為多項式的系數向量。

由此借助于residuez函數將上述有理函數H(z)分解為：

進一步通過上面介紹的求逆z變換的方法求出系統的單位序列響應。通過系統函數的表達式，可以方便地求出系統函數的零點和極點。系統函數零點和極點的位置對于系統的時域特性和頻域特性有重要影響。位于z平面的單位圓上和單位圓外的極點將使得系統不穩定。系統函數的零點將使得系統的幅頻響應在該頻率點附近出現極小值，而其對應的極點將使得系統的幅頻響應在該頻率點附近出現極大值[5-7]。

在系統函數的零極點分布問題上，可以借助函數TF2ZP來直接得到系統函數的零點和極點的值，并通過函數zplane來顯示其零點和極點的分布[8]。利用MATLAB中的impz函數和freqz函數可以求得系統的單位序列響應和頻率響應。假定系統函數H(z)的有理分式形式為：

TF2ZP函數的調用形式為：

式中，b和a分別表示H(z)中的分子多項式和分母多項式的系數向量，z為求出的零點，p為求出的極點，k為增益。

該函數的作用是將H(z)轉換為用零點、極點以及增益常數組成的表示式，即：

zplane函數的調用形式為zplane(b,a)，該函數的作用是在z平面畫出單位圓以及系統的零點和極點[9]。

3 在離散系統時域分析中對信號進行滑動平均濾波

滑動平均濾波法又稱遞推平均濾波法，對于離散系統而言，其實現方法為連續取N個采樣值看成一個循環隊列，隊列的長度固定為N，每次采樣到一個新數據放入隊尾，并扔掉原來隊首的一個數據，即遵循先進先出的原則。濾波器每次輸出的數據總是當前隊列中的N個數據的算術平均值。其優點在于對周期性干擾有良好的抑制作用，平滑度高，適用于高頻振蕩的系統。而缺點就是靈敏度低，對偶然出現的脈沖性干擾的抑制作用較差，不易消除由于脈沖干擾引起的采樣值偏差，不適用于脈沖干擾比較嚴重的場合，比較占用RAM資源。

滑動平均濾波算法的基本思想是設定一個寬度固定的滑動窗口，該窗口沿著時間序列滑動，同時取窗內數據的算術平均值作為輸出值。而由輸出值組成另一個數字序列，也就是濾波后的序列。設2k+1為滑動窗口的寬度，輸入輸出分別為x(n)和y(n)，則：

在MATLAB中可以采用filter函數實現滑動平均濾波，設原始數據為x，平均窗口設為a（a為正整數），那么無權重滑動平均后的數據y為：

設一個離散系統其輸入信號為f[k]=s[k]+d[k]，其中s[k]=(2k)×0.9k是有用信號，d[k]是噪聲信號。利用MATLAB分別繪制出受干擾信號f(k)（有用信號和噪聲信號的疊加信號），有用信號s[k]和噪聲信號d[k]，如圖1中所示為濾波前的3個信號。利用MATLAB中的filter函數對受干擾信號f(k)進行滑動平均濾波，圖2中y[k]為經過濾波以后的去噪信號，s[k]為原始的有用信號。對比圖2中s[k]和y[k]可以發現在離散系統時域分析中引入滑動平均濾波可以有效抑制噪聲，基本還原了原始有用信號，實現了去噪處理。

圖1 有噪聲信號

圖2 去噪后信號

4 離散系統中利用z域分析確定零極點

z變換可將離散時間序列變換為在復頻域的表達式。離散時間信號的z變換是分析線性時不變離散時間系統問題的重要工具，在數字信號處理和計算機控制系統等領域有著廣泛應用。

z變換域沒有物理意義，只是一種數學手段，之所以在離散系統分析中引入z變換的概念就是為了簡化分析方法和過程，為系統分析研究提供一條新的路徑。這種方法的數學描述為z變換及其逆z變換，被稱為離散系統的z域分析法[10]。

在z域下，系統函數H(z)的零極點分布完全決定了系統的特性，若系統函數的零極點已知，則系統函數便可確定下來。系統函數的零極點分布對離散系統特性的分析具有非常重要的意義。

零極點在z平面上的分布如圖3所示，該系統的所有極點位于z平面單位圓內，故系統為穩定系統。

圖3 零極點在z平面上的分布

5 結 論

離散系統的時域分析和z域分析對離散信號的分析具有非常重要的意義，是對離散信號進行分析的重要數學工具。其中z域分析可以簡化分析過程，為離散系統的分析提供另一條路徑，在數字信號處理和計算機控制系統等領域得到廣泛應用。