從格林公式的兩種形式看向量場積分的統一性

徐 松， 王 偉， 周彩蓮

(寧波大學 數學與統計學院，浙江 寧波 315211)

1 引 言

格林公式、斯托克斯公式和高斯公式是多元積分學中三個重要的公式，揭示了曲線積分、曲面積分和重積分三者之間的關系，構成多元積分理論的中樞[1-2].它們之間有著緊密的聯系，在一定的條件下可以互相轉化來求解問題[3-5].一般的微積分教材只給出格林公式的一種分量形式，簡單地指出斯托克斯公式和高斯公式是格林公式的推廣，但究竟如何推廣以及它們之間的內在邏輯關系等，很少有專門的論述.這使得學生在學習過程中往往只具備碎片化的知識，很難從整體上理解這些公式，只能死記硬背.這些內容成為教學上的難點和學生學習的痛點.

微積分基本公式是微積分學最重要的公式，它建立了微分學與積分學之間的聯系.從向量場積分的角度來看，它與格林公式、斯托克斯公式和高斯公式本質相同，都是揭示場在區域內部與邊界之間的性態關系[6-7].那么，能否用統一的定理來描述微積分基本公式和向量場積分公式，使得每個公式都是統一性定理的不同形式呢？運用這種統一性的觀點來組織教學，會加深學生對整個微積分學內容和結構的認識，增強學生分析歸納能力，提升學生的整體感和大局觀能力.而這些討論在一般的微積分教材中也少有涉及.

基于上述考慮，從格林公式兩種等價的向量形式出發，將它們推廣至空間向量場，指出它們與斯托克斯公式和高斯公式之間的一一對應關系；并基于此，從統一性視角給出微積分基本公式、格林公式、斯托克斯公式和高斯公式的一般形式——統一化積分定理.從這種統一性觀點來展開教學，不僅能讓學生深入理解多元積分學中的三大公式，還能讓他們從更高觀點和整體的視角來理解整個微積分課程，提升數學素養和格局.

2 格林公式的兩種形式

將給出格林公式的切向量和法向量形式，為此先引入向量場的散度和旋度的概念.

為F在點(x，y，z)處的旋度或環量密度.

設平面向量場F=Mi+Nj，形式上它可寫為F=Mi+Nj+0K，則格林公式的切向量形式可表示為

∮CF·Tds=?D?×F·KdA，

(1)

其分量形式可寫為一般微積分教材中常見的形式

(2)

其中簡單閉曲線C為區域D的正向邊界曲線，T為C在點(x，y)處的單位切向量.

格林公式的切向量形式表明，向量場F繞曲線C的環流量等于F的旋度的K分量在閉區域D上的二重積分，所以該形式也稱為環量—旋度形式.

格林公式的法向量形式可表示為

∮CF·nds=?D?·FdA，

(3)

其分量形式可寫為

(4)

其中n為閉曲線C在點(x，y)處的單位外法向量.

格林公式的法向量形式表明，向量場F穿過曲線C向外的通量等于F的散度在閉區域D上的二重積分，所以該形式也稱為通量—散度形式.

格林公式這兩種形式是等價的.事實上，對場G=-Ni+Mj應用公式(1)即得到公式(3).對場G=Ni-Mj應用公式(3)即得到公式(1).

3 格林公式在三維向量場上的推廣

下面將討論平面向量場上格林公式的兩種形式與三維向量場上斯托克斯公式和高斯公式之間的一一對應關系.

設空間向量場F=Mi+Nj+PK，斯托克斯公式可表示為

∮CF·Tds=?S?×F·ndσ，

(5)

其中曲線C為定向曲面S的邊界，n為S在點(x，y)處的單位法向量，C的正向與n成右手系.

斯托克斯公式表明，向量場F繞定向曲面S的邊界曲線C正向的環流量等于F的旋度在閉區域D上的二重積分.

比較公式(1)和(5)可以看出，將格林公式的平面積分區域D改為空間曲面積分區域S，D的單位法向量即Z-軸正向單位向量K改為S上任一點的單位法向量n，以及平面面積元素dA改為空間面積元素dσ，格林公式即推廣為斯托克斯公式.所以，斯托克斯公式是格林公式的切向量形式從平面到空間的直接推廣，二者形式幾乎完全一致.

下面考慮格林公式與高斯公式之間的聯系.高斯公式可以表示為

SF·ndσ=?D?·FdV，

(6)

其中D為閉曲面S所圍成的閉區域.

高斯公式表明，向量場F通過閉曲面S的向外流量等于F的散度在閉區域D上的三重積分.

比較公式(3)和(6)可以看出，將格林公式左邊在閉曲線C上的曲線積分改為閉曲面S上的曲面積分，弧長元素ds改為面積元素dσ，以及右邊在閉曲線C所包含的平面區域D上的二重積分改為閉曲面S所包含的立體區域D上的三重積分，格林公式即推廣為高斯公式.所以，高斯公式是格林公式的法向量形式從平面到空間的直接推廣，二者形式高度一致.

通過以上分析，格林公式的兩種形式與斯托克斯公式及高斯公式之間的關系見圖1.

圖1

教師如果能在課堂上分析這三個重要積分公式之間的關系，展示推廣的思維過程，學生能更容易地理解這些這些公式，在實際解題中可以靈活運用它們，而不用孤立、死記硬背地去學習.

例1設函數f和g在以曲線C為邊界的定向曲面S上有一階連續的偏導數，證明：

∮Cf?g·Tds=?S(?f×?g)·ndσ.

證由斯托克斯定理得

∮Cf?g·Tds=?S(?×f?g)·ndσ=?S(?f×?g+f?×?g)·ndσ，

又?×?g=0，故原式成立.

例2設函數f和g在由閉曲面S所圍成的區域D上具有連續的二階偏導數，證明：

?Sf?g·ndσ=?D(f?2g+?f·?g)dV.

證由高斯定理得

Sf?g·ndσ=?D?·(f?g)dV=?D(f?2g+?f·?g)dV.

4 統一化積分定理

下面將給出微積分基本公式與向量場積分公式的統一化描述.

設函數F(x)在閉區間[a，b]上可微，微積分學基本公式可表示為

(7)

令F=F(x)i，積分區間[a，b]在邊界即左右端點a與b處的外法向量分別為na=-i與nb=i，則式(7)可改寫為

(8)

從公式(8)可以看出，微積分學基本公式表示微分算子?與場F在區間[a，b]上作點積運算的積分等于場F在邊界(即端點)處法向分量的和.

如果把線積分與面積分理解為“和”，則與微積分基本公式一樣，格林公式的法向量形式(3)與高斯公式(6)均表示算子?與場F在區域上作點積運算的積分等于場在區域邊界處法向分量的和.

類似地，格林公式的切向量形式(1)與斯托克斯公式(5)表示微分算子?與場F在一區域上作叉積運算的積分等于場在區域邊界處切向分量的和.

這樣，微積分學基本公式與格林公式、斯托克斯公式和高斯公式可以統一地描述為如下統一化積分定理[7]：

定理1微分算子對場作用后在某一區域上的積分等于場在該區域邊界上適當分量的和.

統一化的積分定理表明，微積分學基本公式和向量場積分公式本質相同，都是描述場在區域內部與邊界上性態關系.

教師如果在章節小結課上用這種統一性的觀點來開展教學，不僅能讓學生對向量場積分有更深入的理解，而且對整個微積分學有了更高觀點的認識，體會數學“殊途同歸”“萬變不離其宗”的哲學思想，領略數學的簡約與大氣之美.

5 結論與認識

在微積分的學習過程中，格林公式、斯托克斯公式和高斯公式等內容非?；逎橄?，學生不容易理解掌握這些公式，很難做到靈活運用.文章指出向量場上斯托克斯公式和高斯公式分別是格林公式切向量和法向量形式從平面到三維空間的直接推廣，給出微積分基本公式與向量場積分公式之間的本質屬性.教師如果能在講完這些內容后，安排適當的課時，分析從格林公式推廣到斯托克斯公式與高斯公式的具體過程，歸納它們之間的邏輯關系，這將有助于學生理解掌握這些公式.如果再能從統一性觀點出發，闡述微積分基本公式與向量場積分公式之間的共同本質屬性，將進一步加深學生對微積分這門課程的整體認知，提升他們的數學素養和格局.

致謝非常感謝相關文獻對本文的啟發以及審稿專家和編輯提出的寶貴意見.