廣義D4模

王永鐸, 徐 鵬

(蘭州理工大學 理學院, 甘肅 蘭州 730050)

在本文中,環R是帶有單位元的結合環,M是酉左R-模.A?B表示A是B的子模,A?⊕M表示A是M的直和項,A?B表示A和B同構.Ding等[1]提出了C4模的概念.稱M是C4模,如果對M的任意直和分解M=A⊕B及任意單同態f:A→B,都有Imf?⊕M.證明了環R是半單環當且僅當任兩個C4模的直和是C4模.Ding等[2]引入了D4模的概念并把C4模的部分結果對偶地推廣到了D4模.稱M是D4模,如果對M的任意直和分解M=A⊕B及任意滿同態f:A→B,都有Kerf?⊕M.證明了環R是半單環當且僅當每個R-模都是D4模.稱M是SIP模[3],如果A?⊕M,B?⊕M,那么A∩B?⊕M.?zgur[4]提出了廣義SIP模的概念.稱M是廣義SIP模,如果A?⊕M,B?⊕M,那么A∩B同構于M的直和項.受此啟發本文給出了廣義D4模的定義.本文給出了廣義D4模的等價刻畫和是廣義D4模但非D4模的例子,并舉例說明了廣義D4模的直和未必是廣義D4模.稱M是SSP模[5],如果A?⊕M,B?⊕M,那么A+B?⊕M.稱M是直有限模[6],如果M不同構于自身的真直和項.稱M具有內exchange性[7],如果M=⊕i∈IMi是M的內直和分解,N?⊕M,那么存在M的子模M′i使得M=(⊕i∈IM′i)⊕N.稱M是square-free模[8],如果M的非零子模不同構于A⊕A,其中A?M.稱M的直和項A和B是一對perspective直和項[9],如果存在C?⊕M使得M=A⊕C=B⊕C.稱A是M的完全不變子模[10],如果對于M的任一自同態f:M→M,都有f(A)?A.稱M是Duo模[11],如果M的每個子模都是M的完全不變子模.稱M是D3模[12],如果A?⊕M,B?⊕M,M=A+B,那么A∩B?⊕M.稱M是廣義D3模,如果A?⊕M,B?⊕M,M=A+B,那么A∩B同構于M的直和項.

定義1稱M是廣義D4模,如果對M的任意直和分解M=A⊕B及任意滿同態f:A→B,都有Kerf同構于A的直和項.

定理1設M是模.則以下條件等價:

1)M是廣義D4模;

2) 如果M=A+B,A?⊕M,B?M,M/A?M/B,那么A∩B同構于A的直和項;

3) 如果M=A+B,A?⊕M,B?⊕M,M/A?M/B,那么A∩B同構于A的直和項;

4) 如果M=A⊕A′=B⊕B′=A+B=A+B′,那么A∩B同構于A的直和項.

證明1)?2) 設M=A+B,A?⊕M,B?M,M/A?M/B.現在證明A∩B同構于A的直和項.記M=A⊕N,其中N?M,則N?M/A?M/B?(A+B)/B?A/(A∩B).故存在滿同態f:A→N且Kerf=A∩B.由1)可知Kerf同構于A的直和項,即A∩B同構于A的直和項.

2)?3) 顯然.

3)?1) 設M=A⊕B,A?M,B?M,f:A→B是滿同態.需證Kerf同構于A的直和項.令T={a+f(a):a∈A},首先證明M=T⊕B.設x∈T∩B,則存在a∈A使得x=a+f(a),又因為x∈B,于是存在b∈A使得x=f(b)=a+f(a),f(b)-f(a)=a∈B,而A∩B=0,所以a=0.故T∩B=0.設y∈M,則y=s+t,其中s∈A,t∈B,從而y=s+t=s+f(s)+t-f(s)∈T+B,故M?T+B,進而M=T⊕B.類似地可證M=T+A,Kerf=T∩A.又M/T?B?M/A,由3)可知A∩T同構于A的直和項,即Kerf同構于A的直和項.

1)?4) 設M=A⊕A′=B⊕B′=A+B=A+B′.令πA′:M→A′和πB:M→B是自然投影, 定義f=∶(πA′°πB)|A:A→A′,易證Kerf=(A∩B)⊕(A∩B′)及Imf=A′,由1)可知Kerf同構于A的直和項.進而A∩B同構于A的直和項.

4)?1) 設M=A⊕B,A?M,B?M,f:A→B是滿同態.令T={a+f(a):a∈A},可以證明M=T⊕B,M=T+A且Kerf=T∩A.由4)可知A∩T同構于A的直和項,即Kerf同構于A的直和項.

例1Z-模M=Z⊕(Z/2Z)是廣義D4模,但不是D4模.

證明設f:Z→Z/2Z是滿同態.因為Z是主理想整環且Kerf≠0,所以Kerf?Z.因為Kerf不是Z的直和項，但Kerf?Z,所以M不是D4模,但M是廣義D4模.

稱M滿足C2條件,如果A?⊕M，B?M,A?B,那么B?⊕M.

命題1設M滿足C2條件.則M是D4模當且僅當M是廣義D4模.

證明(?) 這是顯然的.

(?) 設M=A⊕B,A?M,B?M,f:A→B是滿同態.因為M是廣義D4模， 所以Kerf同構于A的直和項.又因為M滿足C2條件,所以Kerf是A的直和項,故M是D4模.

命題2設M具有內exchange性.若M是廣義D4模,則M是廣義D3模.

證明設M是廣義D4模,M=A+B且A?⊕M,B?⊕M.下證A∩B同構于M的直和項.記M=A⊕C=B⊕D,其中C?⊕M,D?⊕M.因為M具有內exchange性,所以存在B′?⊕B及D′?⊕D使得M=A⊕B′⊕D′.記A1=A⊕B′,則有M=A1⊕D′=B⊕D,M=A1+B=A1+D.根據定理1,A1∩B同構于A1的直和項,而A1∩B=(A⊕B′)∩B=(A∩B)⊕B′,所以A∩B同構于A1的直和項.又因為A1?⊕M,所以A∩B同構于M的直和項.

定理2設M是模.則以下條件等價：

1)M是廣義D4模；

2) 如果A和B是M的一對perspective直和項且M=A+B,那么A∩B同構于A的直和項；

3) 如果A和B是M的一對perspective直和項且A+B?⊕M,那么A∩B同構于A的直和項.

證明1)?2) 設M是廣義D4模,A和B是M的一對perspective直和項且M=A+B,則存在C?⊕M使得M=A⊕C=B⊕C.令π:M→C是自然投影使得Kerπ=B,考慮π|A:A→C,因為M=A+B,所以π(A)=C.由于M是廣義D4模,所以Kerπ|A=A∩B同構于A的直和項.

2)?3) 記A+B=N?⊕M,因為A和B是M的一對perspective直和項,所以存在C?⊕M使得M=A⊕C=B⊕C.又因為M=A⊕C=B⊕C=N⊕D=(A+B)⊕D,其中D?M,所以N=N∩(A⊕C)=(N∩A)⊕(N∩C)=A⊕(C∩N),類似地有N=B⊕(C∩N),因此可以推出A和B是N的一對perspective直和項且A+B=N?⊕M,由2)可知A∩B同構于A的直和項.

3)?1) 設M=A⊕B,A?M,B?M,f:A→B是滿同態,考慮M的子模T={a+f(a):a∈A},可以證明M=T⊕B=A⊕B,所以A和T是M的一對perspective直和項.又M=A+T,Kerf=T∩A,根據3)可知Kerf=T∩A同構于A的直和項,因此M是廣義D4模.

定義2設M=A⊕B是M的任一直和分解,C?A,D?⊕M.稱M滿足H2條件,如果C?D,那么有D?A或D?B.

命題3H2模的直和項也是H2模.

證明設M=A⊕B滿足H2條件.下證A滿足H2條件.記A=P⊕S,Q?P,T?⊕A且Q?T.于是M=P⊕(S⊕B),T?⊕M.因為M=A⊕B滿足H2條件,所以T?P或T?S⊕B.又T?A=P⊕S,所以T?P或T?(S⊕B)∩(P⊕S)=S.

例2兩個廣義D4模的直和未必是廣義D4模.設Z-模M=(Z/4Z)⊕(Z/2Z),顯然Z/4Z和Z/2Z都是廣義D4模,定義映射f:Z/4Z→Z/2Z使f(0+4Z)=0+2Z,f(2+4Z)=0+2Z,f(1+4Z)=1+2Z,f(3+4Z)=1+2Z,易證f是同態.又Kerf不同構于Z/4Z的直和項,所以M不是廣義D4模.

定理3設M=⊕i∈IMi是H2模M的內直和分解,且對于任意i∈I,Mi都是廣義D4模.若M的任一子模N都有N=⊕i∈I(N∩Mi),則M是廣義D4模.

證明設A和B是M的一對perspective直和項且M=A+B,則存在C?⊕M使得M=A⊕C=B⊕C.根據定理2，只需證明A∩B同構于A的直和項.由假設可知A=⊕i∈I(A∩Mi),B=⊕i∈I(B∩Mi),C=⊕i∈I(C∩Mi).又因為M=A⊕C=B⊕C,所以M=⊕i∈I[(A∩Mi)⊕(C∩Mi)]=⊕i∈I[(B∩Mi)⊕(C∩Mi)].根據Mi=Mi∩M可以進一步得到Mi=(A∩Mi)⊕(C∩Mi)=(B∩Mi)⊕(C∩Mi).另一方面， 因為M=A+B,所以M=⊕i∈I[(A∩Mi)+(B∩Mi)],Mi=(A∩Mi)+(B∩Mi).因為A∩Mi和B∩Mi是Mi的一對perspective直和項且Mi=(A∩Mi)+(B∩Mi),Mi是廣義D4模,根據定理2可知(A∩Mi)∩(B∩Mi)同構于A∩Mi的直和項.又因為A∩B=[⊕i∈I(A∩Mi)]∩[⊕i∈I(B∩Mi)]=⊕i∈I[(A∩Mi)∩(B∩Mi)],所以A∩B同構于⊕i∈I(A∩Mi)=A的直和項.根據定理2即可證M是廣義D4模.

推論1設Duo模M=⊕i∈IMi滿足H2條件.若對于任意i∈I,Mi是廣義D4模,則M是廣義D4模.

證明如果M是Duo模,由文獻[11]中的引理2.1可知對于M的任一子模N都有N=⊕i∈I(N∩Mi),由定理3可知M是廣義D4模.

命題4設M滿足H2條件.則以下兩個條件等價：

1)M是廣義D4模；

2) 如果M=A⊕B,A?M,B?M,f:A→B是同態且Imf?⊕B,那么Kerf同構于A的直和項.

證明2)?1) 顯然.

1)?2) 設M=A⊕B,A?M,B?M,f:A→B是同態且Imf?⊕B.記B=B1⊕Imf,其中B1?B,則M=A⊕B=A⊕B1⊕Imf.令π：A⊕B1→A是自然投影,則f°π:A⊕B1→Imf是滿同態且Ker(f°π)=B1⊕Kerf,根據條件1),B1⊕Kerf同構于A⊕B1的直和項N.根據命題3,A⊕B1也滿足H2條件.記g:B1⊕Kerf→N是同構,易證N=g(B1)⊕g(Kerf).因為Kerf?A,g(Kerf)?⊕N?⊕A⊕B1,所以g(Kerf)?A或g(Kerf)?B1.如果g(Kerf)?A,那么得證.如果g(Kerf)?B1且g(Kerf)≠0,因為g(Kerf)∩g(B1)=0且g(B1)?A或g(B1)?B1,所以g(B1)?A.又因為g(Kerf)?⊕A⊕B1,B1?⊕A⊕B1,所以g(Kerf)?⊕B1.考慮到g(Kerf)?⊕B1?g(B1)?⊕A且Kerf?g(Kerf),所以Kerf同構于A的直和項.若g(Kerf)?B1且g(Kerf)=0,則Kerf=0,進而Kerf同構于A的平凡直和項0.

定義3稱廣義D4模M是強廣義D4模如果M滿足H2條件.

命題5強廣義D4模的直和項也是強廣義D4模.

證明設M是強廣義D4模,K?⊕M.只需證若K=A⊕B且f:A→B是滿同態,則Kerf同構于A的直和項.記M=K⊕L=A⊕B⊕L,其中L?M,令π：A⊕L→A是自然投影,則f°π:A⊕L→B是滿同態.因為M是強廣義D4模,所以Ker(f°π)=Kerf⊕L同構于A⊕L的直和項N.根據命題3,A⊕L也滿足H2條件.記g:Kerf⊕L→N是同構,易證N=g(Kerf)⊕g(L).因為Kerf?A,g(Kerf)?⊕N?⊕A⊕L,所以g(Kerf)?A或g(Kerf)?L.若g(Kerf)?A,得證.若g(Kerf)?L,因為g(Kerf)∩g(L)=0且g(L)?A或g(L)?L,所以g(L)?A.又因為g(Kerf)?⊕A⊕L,L?A⊕L,所以g(Kerf)?⊕L.考慮到g(Kerf)?⊕L?g(L)?⊕A且Kerf?g(Kerf),所以Kerf同構于A的直和項.

命題6設M是強廣義D4模.則有

1) 如果M的子模A和B滿足A+B?⊕M,A?⊕M,M/A?M/B,那么A∩B同構于M的直和項；

2) 如果M的直和項A和B滿足A+B?⊕M,A?B,那么A∩B同構于M的直和項.

證明1) 設M的子模A和B滿足A+B?⊕M,A?⊕M,α：M/A→M/B是同構,記M=A⊕Y=(A+B)⊕X,其中X?M,Y?M.考慮自然滿同態π：M→M/(A∩B),易得Kerπ=A∩B.定義映射f:M/(A∩B)→M/B為f(m+(A∩B))=m+B,其中m∈M,易證f是同態.現令β：M/A→Y是同構,g=β°α°f°π|A.又因為f(A/(A∩B))=(A+B)/B?⊕M/B,所以Img?⊕Y.又因為Kerπ=A∩B,根據命題4可知A∩B同構于A的直和項,所以A∩B同構于M的直和項.

2) 設M的直和項A和B滿足A+B?⊕M,α：A→B是同構.記M=A⊕A′,其中A′?M,π:M→M/A是自然滿同態,β：M/A→A′是同構,f=β°π|B°α.因為A+B?⊕M且Imf=β((A+B)/A),所以Imf?⊕A′.又因為Kerf=α-1(A∩B),根據命題4可知α-1(A∩B)同構于A的直和項,進一步地有A∩B同構于A的直和項,所以A∩B同構于M的直和項.

定義4稱模M滿足H1條件,如果A?M,B?M且A?B,那么M/A?M/B.稱廣義D4模M是擬D4模如果M滿足H1和H2條件.

命題7H1模的直和項是H1模.

證明設M是H1模,M=A⊕B,S?A,T?A且S?T.只需證明A/S?A/T.因為M滿足H1條件,所以M/S?M/T.又因為M/S=(A⊕B)/S?(A/S)⊕B,M/T=(A⊕B)/T?(A/T)⊕B,所以(A/S)⊕B?(A/T)⊕B,即A/S?A/T.

例3作為Z-模Z是強廣義D4模且是D4模,但不是擬D4模.

證明顯然Z是D4模,故也是廣義D4模.因為Z不存在非平凡直和分解,所以Z滿足H2條件.因為2Z?Z,4Z?Z且2Z?4Z但Z/4Z與Z/2Z不同構,所以Z不滿足H1條件,故Z不是擬D4模.

命題8設M=A⊕B是擬D4模,f:A→B和g:B→A是兩個滿同態.

1) 若A或B是直有限模,則A?B；

2) 若A或B是square-free模,則A?B.

證明1) 不妨設B是直有限模.因為M=A⊕B是擬D4模,f:A→B是滿同態,所以Kerf?T?⊕A.記A=T⊕S,因為M=A⊕B滿足H1條件,所以A/Kerf?A/T?S?B.因為B⊕S?⊕M,所以B⊕S也是擬D4模.令π：A→S是自然投影,則π°g:B→S是滿同態,所以Ker(π°g)同構于B的直和項N,其中B=N⊕Q,Q?B.又因為B?S?B/Ker(π°g)?B/N,而B是直有限模,所以N=0即Ker(π°g)=0.因為Kerg?Ker(π°g),所以Kerg=0即g:B→A是同構.

2) 不妨設A是square-free模.因為M=A⊕B是擬D4模,f:A→B是滿同態,所以Kerf?T?⊕A,記A=T⊕S,因為M=A⊕B滿足H1條件,所以A/Kerf?A/T?S?B.因為B⊕T?⊕M,所以B⊕T也是擬D4模.令π：A→T是自然投影,則π°g:B→T是滿同態,所以Ker(π°g)同構于B的直和項N,其中B=N⊕Q,Q?B.于是有T?B/Ker(π°g)?B/N?Q?Kerf.令η：B→Q是自然投影,因為S⊕Q?⊕M,所以S⊕Q是擬D4模.考慮滿同態η°ρ:S→Q,其中ρ:S→B是同構,則Ker(η°ρ)同構于S的直和項E,記為S=E⊕F,其中F?S.因為S⊕Q是擬D4模,所以Q?S/Ker(η°ρ)?S/E?F.因為A=T⊕S=T⊕E⊕F,T?Q?F,而A是square-free模,所以T=F=Kerf=0,即f:A→B是同構.