基于徑向基神經網絡的可用輸電能力概率分析

楊軍峰，戴 賽，朱軍飛，李 京，李 輝，黃國棟，林星宇，唐俊杰

(1.國家電力調度控制中心，北京 100031；2.中國電力科學研究院有限公司，北京 100192；3.國網湖南省電力有限公司，湖南 長沙 410004；4.輸配電裝備及系統安全與新技術國家重點實驗室(重慶大學)，重慶 400044)

1 引言

可用輸電能力(Available Transfer Capability，ATC)指特定運行狀態中的電網在安全約束下所剩余的傳輸容量[1]。在電力系統運行中，該指標可用于指導電力市場的交易、引導市場資源的優化配置，且可以作為互聯系統安全可靠性的評估測度[2]。因此，精確而快速地計算ATC，對電力系統的經濟、安全運行有重大的意義。

當前，ATC的計算方法有線性分布因子法、交流靈敏度分析法、潮流軌跡追蹤法和最優潮流法。其中，線性分布因子法和交流靈敏度分析法均對ATC的計算模型采用了一定的近似，因此在特定狀況下其精度難以達到實際應用需求；潮流軌跡追蹤法在計算過程中，會涉及到算法收斂性問題以及反復求解潮流導致的計算量過大問題[2,3]；而最優潮流法除了能正常計算ATC以外，還能夠在計算過程中引入其他與發電計劃、需求響應或市場因素相關的約束條件，使其在計算中能夠考慮系統更為復雜的經濟性和風險性[4-6]。

隨著大規模風電的并網，客戶用電行為的多樣化，電力系統中的不確定源越來越多[7，8]。因此，在ATC的計算中，必須要考慮風速、負荷等不確定源帶來的影響，即ATC的概率分析。用于ATC概率分析的常用方法為蒙特卡洛模擬法，其結果精確，且能獲得ATC的完整概率信息。由于蒙特卡洛法需要大量樣本才能獲取精確的結果，因此其一般作為其他概率方法的精度參考，而不直接用于ATC的實時概率分析。作為改進，文獻[9]提出了基于拉丁超立方樣本的蒙特卡洛法，用于加快ATC的概率分析效率，但其1 000次的仿真計算耗時依然達到了分鐘級，不能滿足實際應用需求。

另外，在ATC的概率分析中，文獻[9]考慮了風速之間的相關性，然而基于相關性生成風速樣本的方法并沒有在該方法中進行強調。為了處理變量之間的相關性，文獻[10]采用Nataf變換，建立標準正態分布變量和原始分布變量之間的橋梁，通過生成具有相關性的標準正態樣本轉換得到所需分布的樣本。而這個過程中，標準正態分布域的相關系數矩陣的求解尤為復雜。對于正態分布域相關系數的求解，文獻[11]提出了一種基于數值積分和二分法的求解方法，但若要達到較高精度，其計算速度不能滿足實際應用需求。

基于以上問題，本文提出了一種基于徑向基神經網絡(Radial Basis Function Neural Network，RBFNN)的Nataf變換相關系數求解方法，同時使用RBFNN近似ATC計算模型，從而大幅提高ATC的概率分析速度。為測試所提方法性能，本文基于兩個相互連接的IEEE 9節點算例，測試了基于RBFNN的相關系數求解法的精度及其對ATC概率分析的影響，并測試了基于RBFNN的ATC求解模型在ATC概率分析中的性能。此外，本文基于IEEE 118節點算例，通過與極限學習機的性能對比，驗證了本文所提方法的通用性和優越性。

2 基本模型

2.1 基于最優潮流的ATC計算模型

ATC表征了特定運行狀態下的電力網絡在安全穩定約束條件下，對受電區域所剩余的功率傳輸容量?；谶@個描述，用“聯絡線”指代送端電網向受端電網傳輸電能的輸電線路，則ATC的求解包含三個步驟：①求解電網當前狀態下的潮流，以求取聯絡線上實際流過的電能；②求解優化模型(1)，以求取在約束條件下聯絡線上所能流過的最大電能；③聯絡線流過最大電能減去實際流過電能即為ATC。

(1)

式中，SetR和SetS分別為受端電網和送端電網的節點編號集合；SetB為全電網的節點編號集合；PL,i和PL,i,0分別為第i個節點的有功負荷和對應的實際值；PG,i和PG,i,0分別為第i個節點的發電機有功出力和對應的實際值；Pwind,i和Qwind,i分別為第i個節點上的風電有功、無功出力；Vi、Vj和θij分別為第i個節點和第j個節點的電壓幅值及其相位差；QG,i和QL,i分別為第i個節點發電機無功出力和無功負荷；Sij為第i個節點流向第j個節點的視在功率；Gij和Bij分別為該電網節點導納矩陣第i行第j列元素的實部和虛部；上標“max”和“min”分別表示該變量的上、下限。

在考慮負荷、風電的不確定性時，將有功負荷、風電場有功出力視作模型輸入變量Xin，ATC作為最終輸出變量Y，ATC的求解過程可簡化表示為式(2)，其中無功負荷根據對應負荷功率因數不變來取值；而風機一般消耗無功，因此風電場無功出力可根據節點風機臺數來處理為一個負的常數。

Y=f(Xin)

(2)

2.2 不確定源模型

本文所考慮的不確定源包括負荷和風電場的風速。不確定源種類及其邊緣分布模型見表1，負荷的不確定性一般使用正態分布來描述，風速的不確定性用威布爾分布和對數正態分布進行建模。

表1 不確定源種類及其邊緣分布模型

表1中，K和D為威布爾分布的形狀參數和尺度參數；μ和σ為正態分布的均值與標準差；μln和σln為對數正態分布的對數均值與對數標準差。

另外，需要根據式(3)將風速轉換為單臺風機出力。進一步根據風電場的風機數量，通過假設每臺風機出力相同，獲取該風電場的實際出力。

(3)

式中，vwind為實際風速，m/s；vin、vN和vout分別為風機的切入風速、額定風速和切出風速，m/s；PT為單臺風機的實際有功出力，MW；PN為風機的額定出力，MW。

不確定源的建模除了使用邊緣分布描述單個變量的波動規律外，還需要對隨機變量之間的相關性進行刻畫。對于m維隨機變量向量X=[X1,X2,…,Xm]T，本文采用皮爾森相關系數來表征變量之間的相關性。X的第i個和第j個元素Xi、Xj之間的皮爾森相關系數ρX,ij可以表示為：

(4)

式中，μij、μi和μj分別為XiXj、Xi和Xj的均值；σi和σj分別為Xi和Xj的標準差。需注意，若兩變量不同時為正態分布，那么在變量進行單調非線性變換時，對應變量之間的皮爾森相關系數數值會發生變化。由于這個特性，標準正態分布變量的相關系數數值計算是Nataf變換的一個技術難點。

2.3 Nataf變換

在概率分析中，Nataf變換被廣泛應用于皮爾森相關性體系下隨機變量的樣本生成。對于服從任意連續分布隨機變量向量X, Nataf變換采用等概率原則，設存在m維標準正態分布隨機變量向量Z，其第i個元素Zi與Xi之間滿足以下關系：

(5)

(6)

式中，φ(zi,zj,ρZ,ij)為標準正態分布的聯合概率密度函數。

通過對任意兩個標準正態分布變量之間的相關系數進行求解，可以獲得Z的相關系數矩陣CZ。對CZ使用Cholesky分解，求得分解矩陣L，進一步建立Z與獨立標準正態分布變量U的關系為：

Z=LU

(7)

式中，L滿足CZ=LLT；U=[U1,U2,…,Um]T，其第i個和第j個元素對應的自變量分別為Ui和Uj。

在概率分析中，通過式(5)和式(7)，變量X的樣本便可以通過獨立的標準正態分布樣本來獲取，而實現這一步驟的關鍵在于對式(6)的反復求解。經計算，在含有m維隨機變量時，考慮到相關系數矩陣的對稱性且其主對角元素全為1，共需計算m(m-1)/2個標準正態分布下的相關系數數值，即需要對式(6)進行m(m-1)/2次求解。式(6)的求解過程復雜，待求解次數多且隨變量個數平方增加，該求解過程耗時嚴重；另一方面，式(7)表明標準正態分布域下相關系數數值會直接參與原始分布變量樣本的生成，其計算精度必須得到保證。因此需要采用合理的方法來對式(6)進行高效且精確的求解。

2.4 徑向基神經網絡模型

在電力系統中，神經網絡技術通常應用于控制領域或風速、負荷的預測領域，此時模型建立過程需要大量的訓練樣本和繁瑣的訓練過程[14-16]。本文將RBFNN用于確定性模型的近似，因此這里的RBFNN實現的是完全內插值的作用。對于多輸入、單輸出的系統，RBFNN模型可用圖1表示。

圖1 徑向基神經網絡模型

設RBFNN包含n個輸入變量，用向量表示為XRBF,in；隱藏層含有NT個神經元，第i個神經元的徑向基函數中心為Ti，這里Ti也是一個n維向量。此時徑向基函數神經網絡的數學表達式可以表示為：

(8)

式中，yRBF為徑向基函數的輸出；ωi為隱藏層第i個神經元到輸出的權重；ψ為徑向基函數。

本文在生成RBFNN時，設定隱藏層神經元個數等于訓練樣本數NT，每個訓練樣本均作為徑向基函數的樣本中心。設訓練樣本集中，輸入變量樣本為T=[T1,T2,…,TNT]，對應的輸出變量樣本為yRBF=[yRBF,1,yRBF,2,…,yRBF,NT]T。將對應的輸入、輸出樣本全部代入式(8)中，得到如式(9)所示的NT維線性方程組。

(9)

式(9)可用矩陣表示為：

Hω=yRBF

(10)

式中，ω=[ω1,ω2,…,ωNT]T為權重向量；H為系數矩陣，其第i行第j列元素為ψ(‖Ti-Tj‖2)。對于H矩陣，若徑向基函數是高斯函數、多元二次函數或逆多元二次函數等，且所有樣本中心互不相同時，根據Micchelli定理[17]，H矩陣是非奇異矩陣。此時權重向量ω可通過式(11)求?。?/p>

ω=H-1yRBF

(11)

此時所構建的RBFNN又稱為正則化RBFNN，其主要包含以下兩個優點[18，19]：①正則化網絡是一個通用逼近器，這表明只要有足夠多的隱藏層神經元個數，它就能以任意精度逼近任意多元連續函數；②給定任意非線性函數，正則化網絡對其的逼近是最優的，這里的“最優”表現為對于樣本的誤差小和逼近曲線的平滑性兩個方面。另外，本文選擇高斯函數作為徑向基函數，其具體表達式為：

(12)

式中，d為輸入變量到該徑向基函數樣本中心的歐式距離；δ為徑向基函數的擴展常數，其數值決定高斯函數的扁平程度。本文將δ數值設置為1，其優勢在于若變量為標準正態分布變量時，RBFNN所近似的函數均值易于解析求取。

3 徑向基神經網絡在ATC不確定性分析中的應用

3.1 徑向基神經網絡在Nataf變換中的應用

Nataf變換的技術難點在于標準正態分布變量相關系數的計算，即對式(6)的求解。其主要復雜在于兩點：式(6)中的積分部分計算復雜；待求解變量包含在該積分的被積函數中。

為解決以上問題，本文擬采用RBFNN和簡化牛頓法實現標準正態分布域相關系數的求解。其具體實現方法如下。

對于式(6)中的二重積分部分，可表示為：

φ(zi,zj,ρZ,ij)dzidzj

(13)

根據3-σ法則，標準正態分布變量所產生的樣本落在[-3, 3]的概率約為99.74%。為實現更高精度計算結果，本文在(zi,zj)∈[-6, 6]×[-6, 6]上建立RBFNN來近似式(13)中的反函數乘積，如式(14)所示。

(14)

(15)

基于以上樣本，使用式(9)～式(11)，建立RBFNN，如式(16)所示。

(16)

式中，ωC,s為第s個高斯函數的權重系數。此時將式(16)代入式(13)，該積分表達式進一步表示為：

(17)

其中，求和部分的第s項(不含系數)可具體表示為：

(18)

式中，參數A、D、Bs和Es可通過式(19)計算。

(19)

從而式(6)可以近似變換為：

(20)

顯然，式(20)是一個關于ρZ,ij的非線性方程。根據實驗，使用簡化牛頓法，可對其進行精確求解。

3.2 徑向基神經網絡在ATC計算中的應用

RBFNN除了可被用于近似Nataf變換中部分表達式外，還可被應用于近似ATC的求解模型，如式(21)所示。

YRBF≈f(Xin)

(21)

該RBFNN的具體建立過程如下：對于某電力系統的特定運行狀態，根據實際情況標識出待建立模型的輸入變量，同時設定該系統中聯絡線的ATC為輸出變量。在本文中，由于該近似模型將應用于隨機場景下ATC的計算與分析，因此本文選取具有不確定性的有功負荷以及風電場有功出力作為式(21)的輸入變量。

(22)

歸一化完成后，將式(22)和代入式(2)中，得到歸一化輸入變量和ATC的確定性關系，即：

(23)

式中，“.*”表示同維度向量對應元素相乘。

最后，根據2.4節內容，以歸一化輸入變量為輸入，并以ATC為輸出，建立用于計算ATC的RBFNN模型。

(24)

3.3 基于徑向基神經網絡的ATC概率分析

本文同時將RBFNN應用于ATC概率分析的兩個方面：①概率建模，RBFNN用于Nataf變換中標準正態分布變量相關系數的快速計算；②概率計算，RBFNN用于建立近似ATC的確定性計算模型，從而在概率計算中獲得更快的計算速度。

在概率建模中，本文充分發揮了基于高斯函數的RBFNN的數學表達式特征，直接近似地解析求取式(13)所示的二重積分表達式。在概率計算中，由于RBFNN被用于近似確定性的函數表達式，本文舍棄了其作為神經網絡模型的學習步驟，直接使用正則化網絡實現對ATC計算模型的完全內插值功能。

在實際應用中，基于RBFNN的ATC概率分析方法流程可參照如下步驟：

(1)計算模型的建立。

1)確定電力系統的送電、受電區域及對應聯絡線，建立該系統的ATC計算模型。根據系統原始負荷大小，獲得各負荷節點的負荷功率因素。

2)確定電力系統中的不確定源，包括確定不確定源的分布類型、分布參數及相關系數，確定不確定源到節點功率的轉換模型。

3)根據3.1節內容，通過RBFNN，求取標準正態分布變量相關系數數值，建立Nataf變換模型。需注意，此步驟需對每兩個隨機變量之間執行一次。

4)預設ATC計算模型輸入變量的取值范圍，生成歸一化向量。根據3.2節內容，求取基于RBFNN的ATC近似計算模型。

(2)基于蒙特卡洛法的ATC概率計算與分析。

1)生成NMCS組獨立的標準正態分布樣本，樣本維度等于系統隨機源個數。

2)根據式(5)和式(7)將正態分布樣本轉換到原始分布域獲取有功負荷、風速樣本，再根據式(3)和各風電場的風機臺數，將風速樣本轉換為風電場有功出力樣本。根據以上樣本，形成基于RBFNN的ATC近似計算模型的輸入樣本矩陣。

3)將輸入樣本矩陣代入RBFNN模型中進行計算，得到各樣本下的ATC近似計算數值。通過統計手段，獲取ATC的概率分布特征，以根據實際需求進行進一步的分析與應用。

4 算例分析

4.1 算例介紹

本文采用經聯絡線連接的兩個IEEE 9節點算例來搭建本文方法的測試場景。其具體拓撲結構如圖2所示。

圖2 算例拓撲結構

相比于IEEE 9節點標準算例，送端電網和受端電網的設定做如下修改。送端電網：①所有有功、無功負荷減少為標準算例對應數值的50%，作為此算例的原始數值；②節點7、9分別接入風電場，每個風電場分別含100臺風機。受端電網：①相對于IEEE 9節點標準算例，受端電網節點編號為標準算例對應節點編號數值加9；②所有有功、無功負荷增加為標準算例對應數值的150%，作為此算例的原始數值；③原平衡節點修改為PV節點，且發電機有功出力為72.3 MW。需注意，送端電網和受端電網未提到參數均與IEEE 9節點標準算例參數完全相同。

對所設的兩條聯絡線，其線路參數見表2，其中，r、x和b分別為線路電阻、電抗和對地電納的標幺值，對應的功率、電壓幅值基準分別為100 MV·A和345 kV。

表2 聯絡線參數

對于風電場風機參數，切入風速、切出風速和額定風速分別為2 m/s、25 m/s和15 m/s，單臺風機恒定吸收無功功率0.002 MVar。

對于隨機源，經統計，圖2所示系統中含有2個風速對應于兩個風電場，6個負荷(送端電網、受端電網各3個)。隨機變量分布類型、分布參數及相關系數均參考文獻[12，20]取得。具體的，所有有功負荷服從正態分布，均值為對應原始值，標準差為均值5%；節點7風速服從威布爾分布，形狀參數和尺度參數分別為1.837和7.218；節點9風速服從對數正態分布，對數均值為1.731，對數標準差為0.441。

根據文獻[12，20]，本算例中隨機源的相關系數設置如下，兩風速之間相關系數為0.15，送端負荷之間相關系數為0.4，送端負荷與風速之間相關系數為0.066 7；受端負荷之間相關系數為0.4，受端負荷和送端負荷之間相關系數為0，受端負荷和送端風速之間相關系數為0。另外，由此設定得到的相關系數矩陣設為R。

對于結果的精度描述，定義最大絕對誤差εmax和平均絕對誤差εmean表征本文方法計算求得的相關系數的精度。

(25)

式中，Nρ為計算的相關系數個數；ρref和ρRBF分別為參考方法和本文方法計算所得的對應的相關系數數值。定義相對誤差ζ表示基于RBFNN的ATC計算結果的精度。

(26)

式中，yref和yRBF分別為對于同一組輸入樣本，分別使用原始ATC計算模型和RBFNN求取的近似ATC計算模型計算得到的ATC數值。

對于概率潮流結果，以基于原始ATC模型的104簡單隨機樣本的蒙特卡洛結果為參考，基于RBFNN近似ATC計算模型結果的概率分布精度用頻率直方圖相似度(Frequency Histogram Similarity Index, FHSI)來描述，其計算方法如式(27)所示，其中，要求兩頻率直方圖擁有完全相同的橫坐標。

(27)

式中，Nb為頻率直方圖的條數；bref,i和bRBF,i分別為參考方法和待測方法的第i條頻率直方圖的頻率；Δb為頻率直方圖寬度。另外當FHSI>0.9時，認為待檢測的頻率直方圖所描述的概率密度是精確的。

另外，本文所有實驗均在Matlab平臺上實現，所使用計算機的CPU為Intel(R)Core(TM)i7-9700 CPU @ 3.00 GHz，內存為容量16 GB，頻率為2 400 MHz的DDR4代內存條。

4.2 基于徑向基神經網絡的相關系數計算性能

對于Nataf變換中標準正態分布域相關系數，傳統方法采用基于辛普森數值積分和二分法對其進行求解。其中，辛普森數值積分能夠以任意精度逼近積分的數值結果；而在特定情況下，二分法可以任意精度在特定區間上求解非線性方程的根。根據這些特性，傳統方法對該相關系數的求解結果精度非常高，因此在本節中，以精度為10-6的基于辛普森數值積分和二分法的相關系數計算法作為Nataf變換中相關系數計算結果的精度參考，記為“Nataf_ref”。本文所提相關系數計算法記為“Nataf_RBF”。

在針對每個相關系數的計算中，RBFNN的參數設定完全相同，所使用的樣本數量以及神經元數量見表3。

表3 Nataf變換中RBFNN的參數設置

對于4.1節中設定的相關系數矩陣R，用Rλ表示對R非對角元素乘以乘子λ后形成的新矩陣。需注意，若非對角元素乘以λ后數值大于等于0.95，則將其數值設為0.95；若該元素小于等于-0.95，則將其設為-0.95?，F設置λ取值為-5～5之間的所有整數。對于λ所有的取值，分別使用Nataf_ref和Nataf_RBF計算矩陣Rλ對應的標準正態分布域相關系數，計算誤差如圖3所示。

圖3 Nataf_RBF法計算誤差

圖3結果表明，本文所提方法計算相關系數誤差小于1.2×10-4，該精度意味著轉換后的相關系數小數點后三位均完全精確。對于此精度下的相關系數計算結果，其誤差對最終ATC概率結果的影響會在4.4節做進一步分析。另外，若將傳統方法求解精度設定為與Nataf_RBF相同，即10-3，此時，對于λ的所有取值，傳統方法和Nataf_RBF完全轉換一個相關系數矩陣所消耗的平均時間分別為227.1 s和0.136 3 s。顯而易見，Nataf_RBF消耗時間比參考方法小了三個數量級，大大加快了Nataf變換中標準正態分布域相關系數矩陣的計算效率。

4.3 基于徑向基神經網絡的ATC計算性能

根據3.2節的內容，本算例采用100組蒙特卡洛法產生的隨機樣本來生成RBFNN模型用于計算圖2所示系統的ATC數值。另外，在本節中，用以計算ATC的最優化模型被稱為“原始模型”，經RBFNN建立的求取ATC模型稱為“RBFNN模型”。由此可知，在本小節中，RBFNN模型參數設定見表4。

表4 RBFNN的參數設置

基于系統變量的概率模型，使用蒙特卡洛法生成106組簡單隨機樣本，分別通過原始模型和RBFNN模型計算ATC。以原始模型結果為參考，RBFNN模型得到的ATC數值的相對誤差分布情況見表5。

表5 RBFNN模型結果誤差分布情況

表5結果表明，該106個結果中，超過90%的結果誤差小于1%，誤差小于2%的結果已占到98.36%的比例。而106個結果中，僅有不到1%的結果誤差大于2%，且最大誤差小于7.2%?？傮w來看，由RBFNN模型計算得到的絕大部分(超過98%)ATC結果精度非常高。

就其精度來看，若以該模型作為概率計算的確定性模型，基于蒙特卡洛法，該模型能夠精確地近似ATC概率分布中超過98%的點，從而進一步得到相當精確的ATC概率分布。因此，該RBFNN模型完全可用于ATC的概率分析。

另外，關于計算時間，原始模型和RBFNN模型分別消耗27 733 s和3.535 1 s完成106次ATC的計算。此外，RBFNN模型的訓練時間為6.615 6 s，因此基于RBFNN模型的ATC概率計算總時間為10.151 s。相比之下，在概率分析中，RBFNN模型更有效率優勢。

4.4 基于徑向基神經網絡的ATC概率分析結果

本節中，按照表6中所示方法進行測試。其中M0是參考方法，其概率結果作為其他方法的精度基準；M1用以測試RBFNN模型用于概率場景的性能；M2用以測試本文所提相關系數求解法精度對概率結果的影響；M3是本文所提方法，即在Nataf變換中和概率計算中均使用RBFNN技術。以M0結果為精度基準，其余方法求得的ATC概率密度及其FHSI指標如圖4所示。

表6 概率方法

圖4 ATC概率結果

從圖4結果可知，M1、M2和M3所求得的ATC概率分布的FHSI指標數值分別為0.966 1，0.970 2和0.968 3。以0.9為精度判據，各方法計算得到的ATC概率分布精度非常高，從而說明：①基于RBFNN求解ATC的模型完全適用于概率ATC的分析與計算；②基于RBFNN的相關系數求解法，即Nataf_RBF，其計算得到的標準正態分布域相關系數矩陣精度完全能夠滿足概率分析的要求；③本文所提方法在精度上適用于進行ATC的概率分析。

另外，M0、M1、M2和M3的時間消耗情況見表7，其中主要包含Nataf變換中相關系數的計算時間(t1)和ATC模型反復計算耗時(t2)。

表7 各方法的耗時

對于M1和M3，各自還額外消耗6.615 6 s，用以生成ATC的RBFNN計算模型。若將RBFNN模型的建立時間也納入最終耗時統計，M1的耗時為373.65 s，M3的耗時為6.782 2 s。通過對比各種方法的耗時情況，本文提出的相關系數計算法，即Nataf_RBF法，可以大大加快相關系數的計算時間；本文提出的基于RBFNN的ATC計算模型也會大量減少概率計算的耗時。

從本節結果來看，本文所提方法的計算效率和計算精度都非常高，能夠滿足實際應用中ATC的概率實時分析。

4.5 基于RBFNN的ATC概率分析性能對比

在工程應用中，除了RBFNN外，極限學習機(Extreme Learning Machine，ELM)也常用于數據預測或近似某確定性計算過程。而ELM的激活函數不能采用高斯函數，因此ELM不能用和3.1節類似的方法求解相關系數。本文僅用ELM獲取ATC的確定性計算模型，并與本文提出方法進行對比。其中標準正態分布域的相關系數數值均采用3.1節方法進行求取。

為表明本文所提方法的通用性，本小節將在改進的IEEE 118節點算例中搭建實施場景，其結構簡圖如圖5所示。另外，118節點算例線路容量從文獻[21]中獲取，而此時計算ATC會發生越限，因此首先將該算例所有有功、無功負荷以及發電機出力減半，作為算例基礎數據?；跍p半后的數據，算例中隨機負荷設定方式與4.1節中完全相同。另外，送端20節點和48節點處風速服從威布爾分布，60節點和67節點風速服從對數正態分布，分布參數及風機參數同樣與4.1節中完全相同。在這樣的設定下，該算例一共含有103個隨機變量，即99個有功負荷和4個風電場風速。

圖5 118節點算例結構簡圖

在圖5所示系統中，分別使用RBFNN和ELM建立ATC計算模型。為公平比較兩者性能，兩方法的神經元數量、訓練樣本數均完全相同，具體設定見表8。另外，極限學習機輸入層到中間層的權重在-1～1之間隨機生成，偏置系數在0～1之間隨機生成，中間層神經元用sigmoid函數作為激活函數，如式(28)所示。

表8 RBFNN和ELM的參數設置

(28)

式中，fsig(x)為激活函數；e為自然常數。

基于以上設定獲取的ATC計算模型，使用蒙特卡洛仿真法求取ATC的概率密度如圖6所示。其中，參考方法使用Nataf_ref計算相關系數矩陣，以式(2)作為ATC的計算模型，使用基于106個簡單隨機樣本的蒙特卡洛仿真法進行概率計算(記為M_ref)；待測方法均使用104個簡單隨機樣本，分別記作M_RBFNN和M_ELM。

圖6 ATC概率結果

從圖6結果可看出，M_RBFNN和M_ELM計算得到的ATC概率密度的FHSI指標分別為0.964 0和0.864 1。顯然無論是從概率密度圖像上看，還是從FHSI的數值上看，在118節點算例中，M_RBFNN的結果非常精確。這在一定程度上證明了基于RBFNN的概率ATC計算模型的通用性。

另外，通過對比M_RBFNN和M_ELM的結果，M_RBFNN的FHSI數值更大，結果明顯更為精確。單看M_ELM的概率密度圖形不難發現，在圖形繪制范圍的邊界處，其圖形出現了較大的沖擊量。這表明通過ELM得到的計算模型用以計算ATC時會出現較多的極端數據，這通常是由于該近似模型局部區域精度極低所導致。

在計算效率方面，M_RBFNN和M_ELM均消耗約85 s獲得ATC近似計算模型，而基于104個簡單隨機樣本的概率計算分別耗時0.533 0 s和0.315 9 s?？梢园l現，相比模型建立時間，其概率計算時間可以忽略不計，因此兩方法效率幾乎相同。另外，若認為每次求解ATC原始模型的計算時間相同，則通過M_ref的耗時可以估算出使用104個簡單隨機樣本且基于ATC原始模型進行求解的計算時間約為820 s。相比之下，本文所提方法計算效率非常高。

5 結論

為加快含概率不確定源的ATC實時分析，本文將徑向基神經網絡應用于概率建模和概率計算中，具體為：本文使用基于高斯函數的徑向基神經網絡求取Nataf變換中標準高斯分布域的相關系數，同時使用徑向基神經網絡近似了ATC計算模型，從兩方面分別實現了ATC概率分析的提速。通過實驗測試，本文的結論如下：

(1)本文提出的基于徑向基神經網絡的相關系數計算方法能夠快速實現相關系數的計算，大大加快了概率分析的速度。經實驗檢測，該方法計算的相關系數精度能夠滿足概率分析的需求。

(2)本文使用基于徑向基神經網絡的ATC計算模型精度高、速度快。通過與基于極限學習機的ATC計算模型對比，相同效率下本文方法精度具有明顯優勢。

(3)本文充分挖掘徑向基神經網絡的性質，將其應用在Nataf變換中的相關系數計算以及用以近似確定性ATC計算模型。在雙重改進的情況下，實現了精確而快速的ATC概率實時分析。