時間尺度上具有PS控制器的動態網絡指數型同步

劉 捷，賓紅華，黃振坤

(集美大學理學院，福建 廈門 361021)

0 引言

復雜網絡[1]廣泛存在于人類社會和自然界，現實生活中很多系統都可以被看作復雜網絡，如通信、電網、互聯網、控制工程及系統科學等。在模型上，復雜網絡是由大量相互連接的單個節點組成，每個節點可以看作是一個具有一定動態特征和信息存儲能力的動力系統，用邊來表示節點之間相互作用。因此，復雜網絡在這些動力學節點及其耦合連接的整體拓撲下，常常表現出非常復雜的運動特征。同步作為復雜動態網絡中一種有趣而重要的集聚行為，所有節點利用它們之間的信息交換來驅動到共同狀態，近年來得到了人們的廣泛關注，并且有著廣泛的潛在應用，如在機器人、飛行器和水下潛航器編隊以及工業、電氣、通信、生產等方面[2-3]。因此，一般動態網絡的同步控制是一個值得深入研究的課題。

然而，由目前的文獻可知，大部分關于連續時間[4]和離散時間[5]動態網絡的同步工作是分開進行的。一方面，連續時間和離散時間復雜網絡同步研究之間有許多重復的結果，因此在許多情況下，單獨研究它們是多余的。另一方面，包含連續時間和離散時間的復雜網絡同步更符合實際。例如，大腦中的一些神經元在白天是活躍的，在晚上是不活躍的，而它們在第二天會重新被激活，如此循環。此外，網絡系統的時間域并不總是眾所周知的連續時間間隔或離散時間域。因此，研究廣義時間域上的復雜動態網絡具有重要的意義[6]。為此，時間尺度理論(時標微積分)[7-8]提出了一種統一動態系統連續時間和離散時間的方法。如實數集R和整數集Z是2種特殊類型的時間尺度，基于時間尺度的復雜網絡可以包含連續時間和離散時間，當選擇實數集R作為時間尺度，可得到連續時間網絡系統，選擇整數集Z作為時間尺度，可得到離散時間網絡系統。

目前，已有學者將時間尺度微積分理論引入復雜網絡的同步研究，得到了很多很好的結果。如：文獻[9]研究了在時間尺度上具有分布式牽制脈沖控制的動態網絡的內外同步問題；文獻[10]研究了復雜動態網絡在時間尺度上的牽制同步；文獻[11]研究了在時間尺度上的具有時變拓撲的復雜網絡脈沖同步；文獻[12]提出了在時間尺度上同時具有泄漏延遲和耦合延遲復雜動力系統的同步準則；文獻[13]研究了非線性復雜網絡的在時間尺度上的牽制間歇指數同步；文獻[14]研究了在時間尺度上的基于事件的復雜網絡的時間間隔牽制控制及應用；文獻[15]導出了一類多智能體系統在時間尺度上的一致性準則；文獻[16]引入時標型一致漸進穩定函數，并將改進的穩定性定理應用于多智能體系統，解決系統在時間尺度上的一致性問題。由此可以看出，在時間尺度上研究復雜網絡的動力學可以簡化和省去許多重復的工作。

眾所周知，控制器在實現復雜網絡同步過程中起著重要作用。復雜網絡同步普遍的控制方法是在網絡的每個節點上添加一個控制器。有代表性的控制方法包括激活反饋控制、線性分離控制、線性耦合控制、滑?？刂频萚17]。有效的控制策略有間歇控制、自適應控制、脈沖控制、采樣控制、切換控制、事件觸發控制等[18]。為了實現一般復雜動力系統在時間尺度上的同步，本文在文獻[19]所提出的分布式PI控制的啟發下，提出了PS控制器，解決了一般動態網絡在時間尺度上的指數型同步問題,使復雜網絡在包含連續時間和離散時間的廣義時域上達到穩定狀態。此外，本文在文獻[20]模型的基礎上，引用了文獻[21]的定理，并在設計的PS控制器的作用下，實現復雜網絡系統的指數同步，并將結果推廣到更一般復雜時域的網絡系統中。

1 預備知識和網絡模型

本節給出了一些關于時間尺度的基本定義及相關概念。相關的理論背景可以參考文獻[7-8]。

現考慮由N個相同的耦合節點構成的一般復雜動態網絡，每個節點的狀態方程[20]可以表述為

(1)

其中：x(t)=(xi1(t),…,xin(t))T∈Rn；f:Rn→Rn表示每個節點的內在動力學方程。A=(aij)∈RN×N是節點間耦合矩陣。如果節點i能收到來自節點j的信息，則aij=1;否則aij=0，i≠j，i,j=1,2,…,N，且aii=0。

設受控網絡為:

(2)

其中ui為控制器。則誤差方程為：

(3)

其中：ei(t)=(ei1(t),…,ein(t))T=yi(t)-xi(t)。

e△(t)=F(y(t))-F(x(t))+(A?In)e(t)+U,

(4)

其中：?表示Kronecker積；In是一個n×n的單位矩陣。

定義1 令f:T→R,t∈Tk，稱f△(t)為f在t處的△-導數，若對任意ε>0，存在t的鄰域U?T，有|[f(σ(t))-f(s)]-f△(t)[σ(t)-s]|≤ε|σ(t)-s|,?s∈U,若f△(t)在任意的t∈Tk均存在，則稱f是△-可微的。

引理1[7]若f,g:T→R在任意的t∈Tk上是可微的，則有f(σ(t))=f(t)+μ(t)f△(t)；(fg)△=f△g+fσg△=f△gσ+fg△。

假設1 設F滿足Lipschitz條件‖F(y(t))-F(x(t))‖≤υ‖e(t)‖,其中常數υ>0。

引理3[22]記x∈Rn,y∈Rn,則對任意l>0，有xTy+yTx≤lxTx+l-1yTy。

定義2 對系統任意的初始條件ψi(s)∈C([-τ,0]T,Rn)，存在常數ε>0、M>0以及一個足夠大常數T>0，使得‖yi(t)-xi(t)‖≤Me?ε(t,0),t>T,i=1,2,…,N，則稱網絡(1)和控制網絡(2)可實現指數型同步。

引理4[21]設V(t)是一個定義在時間尺度T上的函數且滿足：

(5)

V(s)=|φ(s)|,s∈[t0-τ*,t0]T，

(6)

(7)

(8)

2 動態網絡的指數型同步

(9)

由式(9)可得

V△(t)+a(t)V(t)≤[2(υ+λmax(A?In)-σp)+μ(t)(υ+λmax(A?In)-σp)2+

a(t)+lσs+lμ(t)σs(υ+λmax(A?In)-σp)]eT(t)e(t)+

(10)

設計合適的σp和σs，使

2(υ+λmax(A?In)-σp)+μ(t)(υ+λmax(A?In)-σp)2+a(t)+lσs+

lμ(t)σs(υ+λmax(A?In)-σp)<0，

(11)

即

[2+μ(t)(υ+λmax(A?In)-σp+lσs)](υ+λmax(A?In)-σp)+a(t)+lσs<0，

(12)

從而

(13)

可令

(14)

3 數值模擬

假設所有節點的初值在[-5,5]之間選取，基于定理1，可取σp=10，σs=1，l=1，a(t)<14.894 1，所以可取a(t)=10，b(t)=1.041 4。節點和誤差的運動軌跡見圖1～圖3。

4 結論

本文研究了具有PS控制器的一般動態網絡在時間尺度下的指數型同步問題。根據提出的PS控制協議，利用線性時滯動態方程及相應的不等式，得到了在時間尺度下動態網絡指數型同步。推廣了文獻[20]和文獻[21]的相關研究，使得動態網絡同步的研究應用到更一般復雜時域的網絡系統中。在今后的研究中，將繼續推進在時間尺度下動態網絡同步的研究，具體研究動態網絡在時間尺度下不同控制策略的同步問題，如時間尺度下的牽制控制、脈沖控制以及切換控制等。