基于曲波稀疏變換的拉伸校正方法

劉仕友，張明林，宋維琪

(1.中海石油(中國)有限公司 海南分公司，海南 ?？?570311； 2.中國石油大學(華東) 地球科學與技術學院，山東 青島 266580)

0 引言

動校正是地震數據處理中的重要一環，動校正的結果直接影響水平疊加、AVO分析、反演等后續處理過程[1]。但是，常規動校正由于其固有的特性，動校正之后的同相軸會存在沒有被校平的情況，產生較為復雜的拉伸畸變效應，一般表現為遠偏移距處的頻率降低、振幅變大[2]。對于畸變嚴重的部分，通常采用切除的方法來降低畸變的影響。然而，切除的部分縮短了有效擴展長度、降低了覆蓋次數，從而降低了疊加剖面的分辨率[3]。

Rupert和Chun提出了整體搬家(bock move sum,BMS)方法[4]，在BMS方法中，小時間窗口中的地震數據可以實現數據的塊移動，避免在每個點上出現不同的校正值而引起拉伸畸變。然而，在BMS中數據塊的大小需要與小波周期相同，并且在塊邊界上會發生不連續的現象。Shatilo和Aminzadeh提出了一種固定時差動校正(constant normal move out,CNMO)[5]，CNMO方法與傳統逐點搬家動校正方法有著明顯的區別,那就是在一個固定的時窗內對所有的地震道按照走時公式采用了固定的時差常數來校平CMP道集上的反射同相軸,這種方法校正后的數據分辨率更高,從而避免了大孔徑處信號的頻率失真,在一定程度上保留了更多的長偏移距信號,CNMO的缺陷是在長偏移距處產生了假同相軸。Hicks在疊加過程中使用拋物線Radon變換來消除NMO拉伸畸變[6]。然而，該方法在存在噪聲的情況下是不穩定的，并且不能有效地校正振幅較弱的區域。Trickett開發了一種無拉伸疊加方法[7]，將NMO校正和疊加兩步替換為零偏移疊加的單步反演，該方法將BMS技術應用于反演，降低了相鄰塊間不連續性。崔寶文等通過傅里葉變換，把時間偏移距域地震數據轉化為頻率域，將遠偏移距的頻譜替換為近偏移距的頻譜[8]，避免了拉伸，但存在相互干擾的情況。Kazemi和Siahkoohi提出一種避免NMO拉伸的局部拉伸調零方法[9]，根據速度分析的結果，將數據分成不同的時間塊。該方法消除了產生NMO拉伸的插值數據樣本的理論曲線，從而保留了一般比正常疊加更高的頻率分量，但是這種方法受到了速度精度的制約。Zhang等提出一種基于匹配追蹤算法的NMO校正方法[10]，該方法能產生相對不拉伸的結果。然而，由于這種方法是通過移動所有匹配的小波，不同的反射相互干擾，會引起振幅異常及同相軸不連續。Riahi通過修改NMO中的校正軌跡[11]，將地震數據映射到NMO校正的集合中，實現了一種非雙曲無拉伸NMO校正方法。但是，這種方法受到動校正過程中近似值和動校正速度誤差的影響，并且該過程能夠恢復干擾波的反射振幅。

為消除地震數據動校正后的拉伸畸變，提高水平疊加剖面的分辨率，本文提出了一種基于曲波稀疏變換的拉伸畸變消除方法。通過綜合模型驗證和實際資料處理，驗證了本文方法的有效性和準確性。

1 方法原理

1.1 動校正拉伸畸變分析

常規動校正是產生子波拉伸畸變的主要原因之一，它利用NMO速度將不同偏移距反射波傳播時間轉化為零偏移距反射波傳播時間。動校正是一種時間坐標變換，變換后的波形是原始波形的時間畸變和移位[12]。通過式(1)計算每個點的NMO校正時間：

(1)

其中，tx為反射波從震源到偏移距為x處的傳播時間，t0為零偏移距反射波傳播時間，v是NMO速度。通過計算ΔtNMO，消除偏移距對反射波傳播時間的影響。

為了定量分析NMO校正后的頻率和振幅變化情況，引入了瞬時頻率f(t)，瞬時能量E(t,f)，瞬時振幅A(f)[13]。其中瞬時頻率的定義如下：

(2)

(3)

經過化簡得出如下結果：

(4)

由式(4)可知，經過動校正后位于偏移距x的瞬時頻率比零偏移距處的瞬時頻率小，偏移距x越大，頻率下降得越多。

瞬時頻率f(t)，瞬時能量E(t,f)，瞬時振幅A(f)存在以下關系：

(5)

令γ=fx/f0，結合式(5)可以得到零偏移距瞬時振幅和偏移距x處瞬時振幅的關系：

(6)

由于γ變化范圍較小，通?？醋鞒?，經過近似可以得到如下結果：

(7)

通過簡化可得：

A0(f0):γAx(γf0) 。

(8)

經過前面的分析可知，經過動校正后位于偏移距x的瞬時頻率比零偏移距處的瞬時頻率小，所以γ小于1，動校正后位于偏移距x的瞬時振幅比零偏移距處的瞬時振幅大。

動校正是一種時間坐標變換，變換后的波形相較于原始波形發生了頻率下降、振幅增大[14]，這也是動校正中客觀存在的現象。

1.2 曲波稀疏變換原理

稀疏性是信號的一個重要特征，由于其對復雜信號和相關問題的分析和處理具有重要影響，廣泛應用在壓縮感知、圖像處理、地球物理數據分析[15]。

所謂稀疏性是指信號本身或者經過變換后，絕大部分值等于零，僅含有為數不多的非零值。在大多情況下嚴格的稀疏性很難滿足，通常只要信號的多數值接近零，即認定該信號具有稀疏性[16]。y為長度為N的原始地震信號，Ψ=[ψ1,ψ2,…,ψN]為稀疏變換矩陣，y滿足：

(9)

式中：C為信號在變換域的系數向量，即曲波系數C=[c1,c2,…,ci]，i=1,2,…,N,其中C中非零元素的個數為‖C‖0，如果‖C‖0=K且K≤N，則原始地震信號y是稀疏的。

因為y和C和同一信號在不同域中的等價表示，如果y不稀疏，可以尋找系數向量C稀疏的特定矩陣Ψ，將y轉化為稀疏信號。

1.3 基于曲波稀疏變換的拉伸校正

曲波變換是小波變換的一個擴展，具有比小波變換更大的稀疏性[17]，能夠獲取更好的稀疏結果。曲線變換的這一突出特點，加上其完美的重建和快速的正反變換，使其成為解決地震資料中出現動校拉伸畸變問題的合適工具。

假設地震數據D∈L2(R)滿足以下條件：

D∈RM×N=[d1|d2|…|dN]=Sx(D0) ， (10)

式中：di∈RM是第i道的地震數據，由于動校拉伸和其他因素的影響，不同道之間的數據彼此相對移動，D0是沒有動校拉伸畸變的數據，Sx是一個非線性時移運算符，分別對輸入地震數據矩陣的每一列執行操作。下標x∈ZN表示時移向量(xi對應于第i道的時移)?？梢宰C明，如果D0在Ψ域中是稀疏的，則拉伸畸變在該域中表現為非相干噪聲的偽影[18]。因此，拉伸校正可以通過優化曲波域的稀疏最大化來進行求解：

(11)

2)形成加權矩陣Wk:Wk=|Ck|p;

3)形成參考數據矩陣：Qk=Ψ-1(Wk.*Ck);

2 模型數據測試

2.1 單界面模型

建立一個兩層水平層狀介質模型一， 該模型參數如表1所示，采用主頻為45 Hz的雷克子波，使用Shuey推導的Zoeppritz近似方程進行正演獲得,如圖1a所示。

表1 模型一層狀介質參數

如圖1b所示，經過常規動校正后，遠偏移距的地震同相軸相對于近偏移距的明顯變寬，從動校正后的振幅譜可以看出(圖1e)，隨著偏移距的不斷增大，頻率逐漸降低，振幅不斷增大，即產生了因子波拉伸所致的頻率降低和振幅擴大問題，與上文中動校正拉伸畸變分析的結果一致。而經過曲波稀疏拉伸校正處理后，如圖1c所示，同相軸被校平，遠偏移距處的振幅增大現象得到消除。同時，地震道集的振幅譜(圖1f)和原始地震道集的振幅譜(圖1d)一致，每道的主頻基本都保持在 45 Hz 不變，而且完全保留了原始地震道集振幅隨炮檢距的變化信息，有很好的保幅效果。本文方法能夠校正動校拉伸引起的振幅增大和頻率降低問題，因此，該方法對消除動校拉伸現象有很好的適應性。

2.2 多界面模型(無同相軸交叉)

2.2.1 無隨機噪聲

建立一個四層水平層狀介質模型二，其參數如表2所示，采用10 m的道間距，使用主頻為30 Hz的雷克子波進行正演獲得，結果如圖2a所示。

表2 模型二層狀介質參數

a—合成地震記錄;b—常規動校正結果;c—曲波稀疏拉伸校正結果;d—原始地震記錄振幅譜;e—動校正結果振幅譜;f—本文方法拉伸校正結果振幅譜a—synthetic seismogram;b—conventional NMO correction results;c—curvelet sparse stretch correction;d—amplitude spectrum of the original seismic record;e—amplitude spectrum of NMO;f—amplitude spectrum of the tensile correction results by the method presented in this paper圖1 測試模型一Fig.1 Test model 1

經過常規動校正處理得到如圖2b所示的結果，可以明顯看到上方兩條同相軸沒有被拉平，隨著偏移距逐漸增大，同相軸逐步變寬，畸變增大。通過以上比較，經過動校正后，上層和遠偏移距處的拉伸畸變較大。圖2c是采用本文方法對圖2b進行的拉伸校正結果，可以看出3個同相軸均已校平且沒有出現畸變，遠近偏移距同相軸寬度及振幅大小一致。

圖2d是根據動校正之后(圖2b)獲取的振幅譜，從圖中可以看出，40道之后的頻率由高頻逐步向低頻進行轉變，圖2d中的頻率變化越大，圖2b中同相軸拉伸畸變效應就越明顯。圖2e是根據拉伸校正結果(圖2c)獲取的振幅譜，從圖中可以看出，遠近偏移距的主頻沒有發生變化，始終保持在30 Hz。曲波稀疏拉伸校正結果振幅譜中顯示出遠近道的主頻率均為30 Hz，振幅大小幾乎一致，頻率帶寬相同，高頻信息得以恢復。

2.2.2 含有隨機噪聲

為了測試隨機噪聲對本文方法的影響，在圖 2a所示的模型數據中加入隨機噪聲,得到圖3a所示的模型，用以驗證本文方法的正確性。經過常規動校正處理得到如圖3b所示的結果，可以明顯看到同相軸發生拉伸畸變，且隨機噪聲并未得到消除。圖3c是采用本文方法對圖3b進行的拉伸校正結果，同相軸出現拉伸畸變的部位基本被消除，遠近偏移距同相軸寬度以及振幅大小一致，隨機噪聲得到壓制。

圖3d是根據動校正之后(圖3b)獲取的振幅譜，從圖中可以看出， 振幅和頻率變化趨勢與未加噪的振幅譜幾乎一致，由于隨機噪聲的影響，振幅譜中出現了許多噪點。圖3e是根據拉伸校正結果(圖3c)獲取的振幅譜，從圖中可以看出，校正結果振幅譜中顯示出遠近道的主頻率相同，振幅大小一致，頻率帶寬相同，高頻信息得以恢復，并且圖3d中的噪點得到消除。

a—合成地震記錄;b—常規動校正結果;c—曲波稀疏拉伸校正結果;d—動校正結果振幅譜;e—本文方法拉伸校正結果振幅譜a—synthetic seismogram;b—conventional NMO correction results;c—curvelet sparse stretch correction;d—amplitude spectrum of NMO;e—amplitude spectrum of the tensile correction results by the method presented in this paper圖2 測試模型二(不含隨機噪聲)Fig.2 Test model 2(no random noise)

a—合成地震記錄;b—常規動校正結果;c—曲波稀疏拉伸校正結果;d—原始地震記錄振幅譜;e—動校正結果振幅譜;f—本文方法拉伸校正結果振幅譜a—synthetic seismogram;b—conventional NMO correction results;c—curvelet sparse stretch correction;d—amplitude spectrum of the original seismic record;e—amplitude spectrum of NMO;f—amplitude spectrum of the tensile correction results by the method presented in this paper圖3 測試模型二(含隨機噪聲)Fig.3 Test model 2(containing random noise)

常規動校正受隨機噪聲影響較大，并不能消除隨機噪聲帶來的影響，經過模型驗證，本文提出的曲波稀疏拉伸校正方法不僅能夠消除由動校正帶來的拉伸畸變，而且能夠壓制隨機噪聲。這是由于地震信號在曲波稀疏域內是稀疏的，僅通過少量的大系數就能夠近似表示有效地震信號，而隨機噪聲在曲波稀疏域內表現為小系數。在稀疏最大化的原則下，僅通過保留少量的大系數進行重建地震信號，從而去除隨機噪聲的干擾。

2.3 多界面模型(同相軸交叉)

在復雜地質條件下,由于深層界面的反射波旅行時小于淺層反射波旅行，會產生同相軸交叉現象。本文構造如圖3a所示的同相軸交叉模型三，其參數如表3所示，采用25 m的道間距，使用主頻為30 Hz的雷克子波進行正演獲得。通過利用本文方法，校正存在于同相軸交叉情形下的動校正拉伸畸變，驗證本文方法在同相軸交叉情況下的適用性。

表3 模型三水平層狀介質參數

圖4b是模型三數據常規動校正結果，從圖中可以看出，交叉的兩條同相軸在交叉點附近發生嚴重的拉伸畸變，兩條同相軸發生信息混疊，十分混亂。經過曲波稀疏變換拉伸校正處理后(圖 4c)，交叉點附近的同相軸拉伸畸變得到消除，使得動校正后的同相軸能夠真實反映地下介質情況。

圖4d是根據動校正之后(圖4b)獲取的振幅譜，通過且在交叉點處有一條貫穿低頻到高頻的線。圖4e是利用本文方法對動校正后的數據進行拉伸校正后得到的振幅譜，從圖中可以看到各道數據沒有發生頻率范圍移動的現象，主頻保持在30 Hz。

a—合成地震記錄;b—常規動校正結果;c—曲波稀疏拉伸校正結果;d—動校正結果振幅譜;e—本文方法拉伸校正結果振幅譜a—synthetic seismogram;b—conventional NMO correction results;c—curvelet sparse stretch correction;d—amplitude spectrum of NMO;e—amplitude spectrum of the tensile correction results by the method presented in this paper圖4 測試模型三Fig.4 Test model 3

通過以上的對比研究，表明了該方法可以很好地適用于含有存在同相軸交叉現象的拉伸校正。

3 疊前數據處理

為了驗證本文方法的有效性與準確性，對我國南部某地區地震數據進行測試。該地震數據總共100個CRP道集，每道覆蓋60次，道間距為100 m、采樣率為2 ms。

如圖5b是一個CRP道集經過常規動校正后得到的結果，從常規動校正的結果中可以看出疊前CRP道集中同相軸基本被校平，但是在某些區域發生嚴重畸變，例如在遠偏移距處，同相軸出現分叉、斷裂以及消失的情況。圖5c是應用本文方法進行拉伸校正的結果，如圖所示，出現拉伸畸變的地方均被校正，同相軸的橫向連續性得到恢復。在圖6a中給出了原始CRP道集和常規動校正后的遠偏移距處的頻譜對比圖，從圖中可以看出，經過動校正后遠偏移距處出現振幅增強和主頻降低的現象，與上文中的模型結果一致，這意味著遠偏移距處由于動校正拉伸畸變效應而缺失了高頻信息。在圖6b中給出了原始CRP道集和曲波稀疏拉伸校正后的遠偏移距處的頻譜對比圖，圖中顯示出校正后的遠偏移距的主頻和振幅和原始CRP道集的基本保持一致，頻率帶寬相同，高頻信息得以恢復。

a—原始CRP道集;b—常規動校正結果;c—曲波稀疏拉伸動校正結果a—original CRP gathers;b—conventional NMO correction results;c—curvelet sparse stretch correction圖5 實際地震資料處理結果Fig5 Actual seismic data processing results

a—遠道原始CRP道集和動校正結果頻譜對比;b—遠道原始CRP道集和曲波稀疏拉伸校正結果頻譜對比a—spectrum comparison between original CRP gathers and NMO correction results for long distance;b—spectrum comparison of original CRP gathers and curve sparse stretch correction results for long distance圖6 拉伸校正前后頻譜對比Fig.6 Spectrum comparison before and after stretch correction

對常規動校正處理后的CRP道集和曲波稀疏拉伸校正后的CRP道集分別進行疊加處理，得到了如圖7所示的疊加剖面。圖7a為常規動校正后的疊加剖面，受到拉伸畸變的影響，引起非同相疊加，因此導致疊加剖面的同相軸連續性較差且整體分辨率下降。對比紅框內的研究區域，可以看出通過曲波稀疏變換拉伸校正后的疊加剖面分辨率得到顯著提高，一些能量較弱的同相軸在經過拉伸校正后，能量得到明顯增強，這是由于疊加之前的CRP道集同相軸拉伸畸變部分得到消除，將校正后的疊加轉變為同向疊加，使得疊后同相軸的能量得到增強、連續性得到提升。

a—常規動校正疊加剖面;b—曲波稀疏拉伸校正疊加剖面a—conventional NMO correction stack section;b—curvelet sparse stretch correction stack section圖7 疊加剖面Fig.7 Stacked section

4 結論

本文分析了地震資料處理中常規動校正產生拉伸畸變的原因，明確拉伸畸變是常規動校正的固有特性，并在曲波稀疏性最大化的框架下，進行了拉伸校正。文中將拉伸校正描述為一個非線性優化問題，提出了一種保證收斂性的高效迭代算法來求解生成的非線性優化問題，該方法能在較少的迭代次數內快速收斂，實現拉伸校正。應用本文方法進行拉伸校正具有以下優勢:首先，曲波域本身具有較大的稀疏性，應用上文中提出的算法，能夠快速得到曲波域稀疏最大化結果，大大提高了計算效率；其次，拉伸校正后，保留了原始地震道集振幅隨炮檢距的變化信息，有很好的保幅效果；最后，本文方法能夠校平同相軸，實現同相疊加，顯著提高了疊加剖面的分辨率。將該方法應用于各種合成地震記錄和實際疊前地震資料中，實驗證明，曲波稀疏拉伸校正方法是解決拉伸校正問題的一種非常有效的方法。