數學概念模糊對解題的影響及應對策略*

賈震霆 (南京師范大學教師教育學院 210024)

姜海波 (鹽城師范學院數學與統計學院 224002)

數學概念是人類對現實世界空間形式和數量關系的概括反映.其來源于兩方面，一是對客觀世界中的數量關系和空間形式的直接抽象，二是在已有數學理論上的邏輯建構．[1]學生學習數學知識的過程往往不是一蹴而就的，在知識的傳授與知識的內化過程中經常會發生各種錯誤.學生通過對錯誤的解決，彌補知識體系的漏洞，逐漸形成知識網絡．數學概念學習也不例外．

學生學習知識的過程也是主動建構的過程，是在已有知識結構的基礎上不斷拓展的過程，因此，舊的知識結構會對學生學習新的概念產生阻礙作用，甚至讓學生以錯誤的思維方式學習新概念；另一方面，學生在學習完新概念后，不注重理解概念的本質，沒有與頭腦中的其他概念或知識產生有效的聯系，新學的概念猶如“孤島”一般，導致學生在解題過程中很難聯想到運用新學的概念解決問題．

1 概念學習錯誤類型

李善良教授將數學概念學習中的錯誤分為過程性錯誤與合理性錯誤.過程性錯誤是在數學概念形成的過程中，各個階段或層次可能產生的錯誤概念；合理性錯誤是學生認知的“慣性”或者個性傾向的“偏好”導致的錯誤．[2]下面通過幾個例子來分析這兩類錯誤．

1.1 過程性錯誤

案例：日本教育家藤井齊亮為了考察學生對不等式性質的理解程度，提問學生如何解不等式x-2>5，學生異口同聲回答通過等式兩邊同時加上2，即x-2+2>5+2．繼續提問如果在不等式較大的一端加2，較小的一端加1，即x-2+2>5+1，保證不等式方向不變，但是為什么得出了不一樣的答案？不少學生面面相覷，前面的解法解出x>7，后面的解法解出x>6，而這兩種解法都符合不等式的性質，學生開始陷入矛盾之中．

其實，這便是學生概念學習過程中的過程性錯誤，在學習概念時并沒有明晰其定義，了解其本質，導致無法判斷相應的題目．不等式性質可以分為等價關系和推出關系，等價關系如同充要條件，條件和結論是等價的，案例中的前一種做法在不等式兩邊同時加上2，是不等式性質中的加法單調性，屬于等價關系，所以解出的答案和問題等價，即任意符合答案條件的x也滿足問題的條件．推出關系則類似充分條件，案例中的后一種解法在不等式兩邊加了不同的值且保證不等式方向不變，是不等式性質中的同向不等式可加性，屬于推出關系，即滿足答案條件的x不一定符合問題條件，換句話說，可以由問題推出答案，但不能由答案推出問題．

1.2 合理性錯誤

例1在直角三角形ABC中，已知a=3,b=4，求c的值．

這是一道非常簡單的運用勾股定理便能求解的題，但不少學生只求出c=5，忽視了邊b為斜邊的情況，這正是思維定勢造成的．在平時做題過程中，直角三角形中三條邊的長度分別為3,4,5的情況非常多見，于是久而久之形成思維定勢，學生在遇到這道題時，默認a和b為直角邊，導致了少算一種情況．

六年級學生對小數和分數概念及運算已經熟練掌握．然而一項調查顯示，在判斷“兩個數的積與這兩個數的差(0除外)，在任何情況下都不會相等”時，300人中只有41人(14%)給出了正確答案，究其原因則是學生把思維限定在自然數中[2]，而題目并沒有明確規定這兩個數的數域．學生在做題時無意識地給題目加上限制條件，從而造成了這樣的錯誤．

2 應對策略

2.1 授課數形結合，強調直觀理解

華羅庚先生曾說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微．”學生在學習新的概念時，會先借助實物、模型、直觀教具在頭腦中進行表征，這是學習知識的第一步，對隨后的內化知識及運用知識起到基礎性作用．在學生學習幾何學及函數時尤為明顯，比如，在學習指數函數時，首先引入指數增長的圖形，通過觀察圖形，明白指數函數是一種不同于以往一次函數、二次函數的函數，它的增長率是常數且為爆炸式增長，然后再結合圖形，研究指數函數的性質．

教師通過形象的幾何直觀，幫助學生建立正確的表象，有利于加強學生對概念本質的理解，有利于培養學生良好的做題習慣.做題時通過作圖輔助解答，也有利于培養學生數形結合的思想，將枯燥的數學符號轉化為生動多樣的圖形．當學生解題時忘記了相關概念及性質，也可以通過作圖，輔助回憶相關概念，比如通過作圖比較指數函數y=ax與y=bx(a>b>0)在實數域R上函數值的大?。?/p>

2.2 抓住本質特征，正確概括概念

數學概念定義最為關鍵的一步，是對實例中各種特征進行概括，抽象出本質屬性.學生在概括時，可能會將非本質特征當作本質特征進行概括，可能只概括了部分本質特征，也可能歪曲了本質特征．[3]以幾何學為例，幾何的研究對象是點、直線、平面等基本幾何元素，以及三角形、四邊形、圓等各種各樣的幾何圖形．幾何圖形的性質是由幾何要素之間的位置關系、大小關系確定的，比如，相交線會形成四個角，這四個角之間的關系便是頂點和邊之間的關系，因此這四個角之間確定的位置關系、大小關系就是相交線的性質；而對于平行線，直線是平面的組成要素，因此探討平面內兩直線平行便是探討平面內其他直線與這兩條直線的關系；對于三角形，三角形的邊與角之間的相等與不等的關系，構成不同的三角形及對應的不同性質[4-6]．

很多時候，學生會把做錯題目的原因歸于馬虎、粗心等，但這只能反映小部分原因，實際情況是學生對概念掌握得不牢固，沒有理解概念的本質特征或者歪曲了本質特征，在看到正確答案后似乎已經掌握，但仍然是一知半解.他們只是訂正了答案卻不反思為什么出錯，導致下次碰到同樣的題目依舊出錯．所以對于數學概念一定要抓住其本質特征，以小見大、見微知著，掌握本質特征后也會對概念的性質、其他相關概念的學習產生促進作用．

2.3 注意條限定件，回歸概念本質

2.4 打破思維定勢，加強變式訓練

思維定勢是指個體由于學習積累起來的習慣傾向，以自己最熟悉的方式作出反應的傾向．比如拿到一道數學題目，學生會回憶有沒有做過類似的題，再套用類似題目的思考方式及解題思路，對新題目嘗試解答．思維定勢在解決問題過程中可能起著積極作用，也可能起著消極作用：當問題情境不變時，它能夠提高解決問題的效率；當問題情境改變時，它使得思維刻板化，阻礙學生想到新的方法來解決問題．

作業，作為教與學的交叉點，是學生學習知識、培養能力、發展思維的最常見的一項實踐活動，是學生在實踐中鞏固深化知識、形成熟練技能的重要環節，是課堂教學的補充和延伸，也是師生交流信息的一個重要窗口，是完成教學目標不可或缺的環節．[7]然而目前高中數學作業存在以下弊端：數學作業缺乏針對性與有效性，缺乏層次性與選擇性，缺乏多樣性與創新性，缺乏啟發性與拓展性．[8]

3 小結

學生在學習概念過程中，難免會出現錯誤，然而錯題本身是一種資源，通過對錯題的分析，找到學生犯錯的原因，對癥下藥嘗試改正，解決概念上的漏洞，形成良好的知識網絡.通過如此的錯誤樣例，能夠有效促進學生的批判性思考，提高學生探究事物的能力和對知識的準確理解，增強學生的內部動機，提高學習者的自我效能感，減少焦慮；同時，糾錯過程中也能激發并集中學習者的注意力．[12]因此，學生自身要積累在練習與測試中的錯題，對模糊的概念有針對性地查漏補缺；教師要注重搜集普遍性的錯題，對班級的共性問題進行有效解決；同時，也要注重收集歷年典型錯題，作為課堂教學的有效補充．[13]