含間隙多約束碰撞振動系統穩定性分析

王 超，丁旺才，李得洋，丁 杰

（1.蘭州交通大學 機電工程學院，蘭州 730070；2.蘭州交通大學 材料科學與工程學院，蘭州 730070）

含間隙的碰撞振動系統[1－4]，廣泛存在于車輛、機械等各類工程領域中，由于間隙和各類約束引起了剛度突變，導致系統向量場Jacobi矩陣不連續，從而使系統表現出復雜且豐富的非光滑動力學行為。因此，深入研究該類系統的運動機理，分析參數對系統穩定性的影響，掌握系統的全局性能等具有重要意義。

Lyapunov指數譜是一種判斷系統相鄰軌道間平均發散或收斂程度的度量工具，用于判定動力系統周期運動穩定性以及混沌運動特性。目前針對Lyapunov指數譜的研究大多基于光滑動力系統[5－6]，但由于非光滑動力系統Jacobi 矩陣的不連續性，針對光滑動力系統的計算方法無法適用，因此近年來學者們針對特定的非光滑動力系統也提出了相應的計算方法。文獻[7]針對碰撞振動系統，在連續碰撞間引入超越映射計算得到了該系統的Lyapunov 指數譜。文獻[8]對單自由度碰撞系統引入局部映射，利用Gram-Schmidt 正交化和范式歸一化計算得到了該系統的Lyapunov 指數譜。文獻[9]介紹了n維碰振系統Floquet乘子與Lyapunov指數譜的解析關系，并提出了相應的判據。文獻[10]針對一類兩自由度碰撞振動系統，結合文獻[5－6]的方法討論了系統混沌吸引子與周期吸引子的Lyapunov 指數譜收斂序列。文獻[11]研究了一類兩自由度含間隙和預緊彈簧的力學模型，結合Lyapunov指數譜分析了系統穩定性，并用測試函數預測了系統發生擦邊現象時的參數范圍。文獻[12]將含間隙碰振系統在碰撞面處轉化為離散系統，構建了Poincaré 映射并通過數值仿真對照，驗證了其方法的有效性和正確性。文獻[13]研究了一種求解大型Lyapunov 矩陣，采用并行預處理的變形共軛梯度法，通過仿真比較，確認了預處理算法顯著優于未預處理算法。文獻[14]針對兩自由度含彈性約束系統，結合Lyapunov 指數譜圖、單參分岔圖和相圖分析了系統周期運動的穩定性及存在的各類分岔行為。文獻[15]針對單自由度碰振系統，在多參數協同仿真方法的基礎上，結合胞映射法研究了系統在間隙(b1,b2)參數平面內各類周期運動分布及共存的特點，總結了相鄰周期運動之間的轉遷規律。

已有研究針對系統穩定性分析成果，大多基于同種約束碰撞振動系統。本文以鐵路車輛轉向架為工程背景，通過對輪對軸承與軸承止擋以及彈性約束的局部簡化，得到單自由度含不同約束碰撞振動系統模型，在系統碰撞面處離散化處理，并利用Gram-Schmidt正交化和范式歸一化計算得到該系統的Lyapunov指數譜。通過數值模擬分析，結合系統相圖、單參分岔圖及Lyapunov 指數譜對照分析，討論系統在單個參數變化下相應的Lyapunov 指數變化情況，通過對本文所示動力系統的力學性能分析，可為后期機械系統的設計階段把握其振動特性，為全局動力學特性、混沌控制以及魯棒性等方面的研究提供重要的理論依據。

1 系統的力學模型

考慮圖1所示的單自由度含剛性和彈性兩種不同類型約束碰撞振動系統。質量為M的振子由剛度為K1的線性彈簧和阻尼系數為C的線性阻尼器相連接，作用在振子M的上的水平力為簡諧激振力P1sin(ΩΤ+τ)，使振子沿水平方向往返運動。振子M的位移為X，振子左側固定一個剛性約束，剛性約束與振子的間隙為B1；振子右側固定一個剛度為K2的彈性約束，彈性約束面與振子的間隙為B2。由于間隙的存在和碰撞的產生，系統會表現出復雜的非光滑動力學行為。

圖1 單自由度含不同類型約束的碰撞振動系統

當振子位移-B1

當振子位移X≥B2時，將與右側彈性約束接觸，系統的運動微分方程為：

當振子位移為X=-B1時，將于左側剛性約束接觸，此時滿足：

是的，這是杜朗的主意，當羅恬知道趙炎想把家產分給他外面的女人的時候，杜朗幫她精心策劃了一場騙局。他假意和陳洋聯手謀奪羅恬的財產，其實是要陳洋做替罪羊。一個四處殺人的鬼，是無法結案的，他需要一個活生生的人，讓警察捉拿歸案。

經無量綱化后，系統無量綱微分方程的通解為：

2 Poincaré 映射及Lyapunov 指數譜計算

通過建立Poincaré映射研究系統周期運動的穩定性，Σn，Σp+和Σq+分別代表定相位面、左側剛性碰撞截面和右側彈性碰撞截面：

定相位面用于統計系統周期運動的周期數；碰撞截面用于統計振子與左右兩側約束面的碰撞次數，選擇截面Σp+建立系統的Poincaré 映射。通過Poincaré 映射的Jacobi 矩陣在不動點的特征值研究系統運動的穩定性及分岔類型。

系統Poincaré 映射的示意圖如圖2所示。根據接觸過程可以將Poincaré映射分為四個階段：P1：物塊與右側彈性約束面脫離后瞬間到與左側剛性約束面接觸前瞬間的階段；P2：物塊與左側剛性約束面接觸后到脫離前的階段；P3：物塊與左側剛性約束面脫離后瞬間到與右側彈性約束面接觸前瞬間的階段；P4：物塊與右側彈性約束面接觸后瞬間到脫離前瞬間的階段。以上4個映射階段可以表示如下(式中正負號分別代表碰撞后與碰撞前)：

圖2 系統Poincaré映射示意圖

令DP1、DP2、DP3、DP4分別代表P1、P2、P3、P4映射的Jacobi矩陣。對于振子與左側剛性約束碰撞的階段，由于瞬時碰撞不改變相位，根據碰撞原理可以得到：

對于非瞬時碰撞的階段，Jacobi 矩陣DP1、DP3和DP4可按下式計算：

式中：fi表示每個映射的第i個分量；Xj表示每個階段的初始狀態0和τ0。系統每個階段的Poincaré 映射表示如下：

對式(9)和式(10)，利用復合函數求導法則，并運用隱函數定理，可以求得矩陣DPl(l=1,3,4)中的各元素：

系統n-1-1(即t1+t2+t3=2nπ/ω時)周期運動的映射及其對應的Jacobi矩陣可表示為：

Lyapunov 指數譜作為判定動力系統穩定性和混沌特性的工具，是根據系統最大Lyapunov指數是否大于零來判定系統處于穩定周期運動狀態或混沌運動狀態。計算系統的Lyapunov指數譜時，首先選擇2 個線性無關的初始擾動(δx(0)1，δx(0)2)，定義(μ(0)1，μ(20))=(δx(10)/||δx(10)||，δx(20)/||δx(20)||)，以(μ(10)，μ(20)，)為初始向量，根據式(9)所求的線性化矩陣DP，按δx( k)=DP(x(k-1))?δx(k-1)進行迭代一次，可得到一個二維向量(δx(1)1，δx(1)2)。進行下一次迭代前，對此向量采用Gram-Schmidt 正交化和范式歸一化處理，將得到的解向量(μ(1)1，μ(1)2)作為初始向量并進行下一次迭代。迭代次數為k時，Gram-Schmidt 正交化和范式歸一化處理方法為：

當迭代此時K足夠大時，便可得到碰撞振動系統的Lyapunov指數譜為：

3 系統周期運動仿真與分析

考慮系統參數(1)：R=0.8、ω=0.5、ζ=0.1、b2=1.396、μk=10，分析圖1所示碰撞振動系統的穩定性，文中用n-p-q表示系統周期運動，n表示系統力周期數，p表示振子與左側剛性約束面碰撞次數，q表示振子與右側彈性約束面碰撞次數。當系統最大Lyapunov 指數小于0 時，表明相鄰軌道間的距離逐漸變小，最終演化為一個點或者一個極限環，此時系統處于穩定周期運動狀態。如b1=0.534 6 時，系統處于2-7-2穩定周期運動，周期運動相圖如圖3(a)所示、周期吸引子分布圖如圖3(b)所示。為得到Lyapunov指數譜序列，本文采用10 000次迭代，并將前7 000次迭代略去，得到圖3(c)所示Lyapunov指數譜序列圖，從圖中可得出，當系統處于穩定周期運動狀態時，它的兩個Lyapunov指數均為負值。

圖3 2-7-2穩定周期運動

當系統最大Lyapunov 指數大于0，表明從相鄰點出發的軌道迅速分離，此時系統處于混沌運動狀態。如b1=0.48時，此時系統處于混沌運動狀態，系統混沌運動相圖如圖4(a)所示、混沌吸引子分布圖如圖4(b)所示。采用相同迭代方法得到圖4(c)所示Lyapunov 指數譜序列圖，結合圖4(c)可知當系統處于混沌運動時，系統兩個Lyapunov 指數有一個大于0。

圖4 混沌運動

為研究一定范圍內系統穩定性，選擇系統參數(1)不變，取b1作為分岔參數，取值范圍b1∈[ 0.407 8,0.5712 ]。系統左側剛性碰撞面Σp+、定相位面Σn的單參分岔圖以及Lyapunov 指數譜圖如圖5所示，圖中GR表示擦邊分岔。

由圖5可知，在參數b1由大減小的過程中，系統由1-3-1 周期運動，在b1=0.555 6 處經擦邊分岔轉遷為2-7-2 周期運動，轉遷過程中周期運動相圖分別為圖6(a)至圖6(c)，發生擦邊分岔時系統對應的Lyapunov 指數會發生跳躍現象；當b1進一步減小，經一系列倍周期分岔進入混沌，此時系統最大Lyapunov 指數大于0，混沌運動相圖如圖6(d)所示；在b1=0.510 4 處系統由混沌運動退化為3-11-3周期運動；隨著b1的進一步減小，在b1=0.500 1處發生鞍結分岔，系統由3-11-3穩定周期運動直接進入混沌，發生鞍結分岔時系統的雅可比矩陣特征值分別為：λ1=1.000 565 81、λ1=0.568 412 59。之后系統經歷一個相同序列，由混沌經一系列逆倍周期分岔轉遷為穩定周期運動，再由穩定周期運動經鞍結分岔進入混沌,系統由混沌運動經一系列逆倍周期分岔分別轉遷為2-8-2周期運動、1-4-1周期運動，周期運動相圖分別為圖6(e)至圖6(f)，當系統發生倍周期分岔(逆倍周期分岔)時，系統對應的最大Lyapunov指數為0。參數b1由小增大的轉遷方式與b1減小時的轉遷方式相圖，該參數條件下不存在相鄰周期運動間的共存現象，故不再詳細說明。

圖5 系統單參分岔圖及Lyapunov指數譜

圖6 系統周期運動相圖

選取系統參數(2)：R=0.8、ω=0.5ζ=0.1、b1=0.328 2 、μk=10 ，取b2作為分岔參數，在b2∈[ 1.55,1.632 ]范圍內雙向變化，系統剛性碰撞面分岔圖及最大Lyapunov 指數圖如圖7所示。圖中SN表示鞍結分岔，BC表示邊界激變，紅色曲線表示b2由大減小時Lyapunov 最大指數值，藍色表示b2由小增大時最大Lyapunov指數值。

圖7 系統單參分岔圖及最大Lyapunov指數譜

在相鄰周期運動相互轉遷時，由于發生不同類型分岔的參數點不在同一位置，導致轉遷過程不可逆，這樣在相鄰周期運動轉遷過程中就會形成由這兩個相鄰周期運動穩定共存的多態共存區。當b2由大減小時，系統由1-3-0 周期運動在b2=1.608 3處經鞍結分岔進入混沌，此時系統最大Lyapunov指數值等于0，同時系統映射的Jacobi矩陣特征值λ1=1.000 035 81、λ2=0.154 598 25，之后隨著b2減小系統由混沌進入2-7-1 周期運動。當b2由小增大時，系統由2-7-1 周期運動進入混沌，在b2=1.6135 處經邊界激變由混沌運動轉遷為1-3-0 周期運動，此時系統最大Lyapunov 指數值等于0。由于發生鞍結分岔和邊界激變的參數點不在同一位置，這樣在b2∈[1.608 3,1.6135]范圍內就會由混沌運動與1-3-0周期運動穩定共存。結合Lyapunov指數譜圖加以驗證，在b2∈[1.608 3,1.6135]范圍內減小時系統最大Lyapunov 指數始終大于0，表明系統處于混沌運動狀態；在該范圍內增大時系統最大Lyapunov 指數始終小于0，表面系統處于穩定周期運動狀態。同時結合系統運動相圖(圖8)也可得出，在同一參數條件下，系統同時存在穩定周期運動(紅色曲線)和混沌運動(藍色曲線)。

圖8 周期共存相圖

4 結語

本文以單自由度含不同約束碰撞振動系統為研究對象，通過建立系統的Poincaré映射，將系統轉換為離散系統，并利用Gram-Schmidt正交化和范式歸一化方法，得到了系統的Lyapunov 指數譜，結論如下：

(1)利用Lyapunov 指數譜可精確判別系統的穩定周期運動與混沌運動，還可確定發生不同類型分岔時的參數位置。

(2)由于擦邊分岔、鞍結分岔和邊界激變的出現，導致相鄰周期運動相互轉遷過程不可逆，從而形成多態共存區，利用Lyapunov指數譜可甄別多態共存區中的混沌運動與周期運動。

(3)在間隙b1和b2變化的過程中，兩側間隙分別增大時系統都會由穩定周期運動經歷一系列倍周期分岔進入混沌；當b1減小時系統會由穩定周期運動經一系列不穩定擦邊分岔進入混沌，當b2減小時系統會由穩定周期運動經鞍結分岔直接進入混沌，并且會導致由穩定周期運動與混沌運動共存的多態共存區。