數控機床電機-斜齒輪齒條耦合進給系統動態特性分析

王 昊，龍新華，杜家楠

（上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240）

數控機床是制造業的基石，是表征一個國家制造業水平的重要標志，而其中進給系統的精度問題更是很大程度上決定了數控機床的加工精度，一直是學術界、工業界研究探索的重點。依據進給系統是否運行在有負載的工況，可以將進給系統的運行精度分為靜態精度和動態精度兩類。靜態精度反映了機床進給系統的固有精度屬性，其中包括了進給系統中各零部件的直線度、垂直度等幾何精度，國內外眾多學者通過多剛體動力學理論，將各進給系統的靜態精度轉換為刀尖點的加工精度，深入分析了靜態精度對機床加工精度的影響[1]。而動態精度是指在實際運動工況下，由于機電特性及負載力等因素導致的進給系統的時變運動特性，這往往決定了待加工件的輪廓精度，具有重要的研究價值。

日本東京農工大學的Sato 等[2]建立了交流伺服電機、滾珠絲杠的簡化數學模型，并通過部分模型分析法及頻響分析法優化了電機的速度環、位置環參數，搭建了具有較好動態性能的絲杠進給系統。南京工業大學的顧華鋒等[3]完成了由同步交流電機驅動，蝸輪蝸桿執行輸出的回轉系統建模工作，并從時域和頻率兩個角度分析了系統的動態性能。天津大學的羅茹楠等[4]在考慮絲杠柔性的基礎上，建立了剛柔耦合的機電模型，分析了絲杠參數對動態性能的影響。

縱覽數控機床動態精度方面的研究，其機械傳動部分大多為絲杠或蝸輪蝸桿，齒輪齒條鮮有涉及。但是對于重量大、行程長的大型數控機床如鏡像銑床，具有承載能力強、運行平穩的齒輪齒條機構往往是較好的選擇，因此很有必要對齒輪齒條進給系統進行深入分析。

本文以斜齒輪齒條進給系統為分析對象，分別建立斜齒輪齒條動力學模型與交流同步伺服電機動力學模型，并以上述模型為基礎搭建機電耦合系統，結合進給實驗，從時域及頻域說明斜齒輪齒條進給系統的動態特性，研究過程與結果可為齒輪齒條進給系統的設計與改進提供參考。

1 斜齒輪齒條傳動建模

1.1 斜齒輪齒條傳動模型

大型鏡像銑床x向進給系統的結構如圖1所示。主要由交流同步伺服電機、減速器、負載及斜齒輪齒條構成。電機1作為驅動源，向系統輸入驅動力矩，減速器2將電機力矩傳至斜齒輪，斜齒輪3因此轉動與齒條嚙合，又由于齒條固定，斜齒輪會做平移運動從而帶動負載4移動。

圖1 斜齒輪齒條進給系統

根據圖1結構與上述傳動過程，采用集中參數法，可將圖1進給系統簡化成圖2所示的動力學模型，建立動力學方程如式(1)所示。

圖2 斜齒輪齒條進給系統動力學模型

式中：Tex為電機輸入機械系統的驅動力矩，krx為減速器的扭轉剛度，crx為減速器的扭轉阻尼，ix為減速器的減速比，fnx為斜齒輪齒條的動態嚙合力，rgx為斜齒輪的分度圓半徑，αn為法向壓力角，ksx為齒輪與負載之間軸的支撐剛度，csx為支撐阻尼，flx為負載所受阻力，Jmx為電機轉動慣量，Jgx為斜齒輪轉動慣量，mgx為斜齒輪質量，mlx為負載質量。

其中，斜齒輪齒條之間的動態嚙合力fnx是切向嚙合力，其表達式為：

式中：knx為斜齒輪齒條的法向嚙合剛度，cnx為法向嚙合阻尼，β為斜齒輪螺旋角，enx為斜齒輪齒條的嚙合誤差。

1.2 斜齒輪齒條嚙合剛度

斜齒輪由于螺旋角的存在，導致了其嚙合是逐步嚙入、逐步嚙出的時變過程。本文采用勢能法及切片積分法求解斜齒輪系統嚙合剛度。

由于齒條的漸開線半徑無窮大，出于求解方便，將齒條等效化為與其嚙合斜齒輪同等大小的斜齒輪。斜齒輪的彎曲剛度kb、剪切剛度ks、軸向壓縮剛度ka、赫茲接觸剛度kh求解表達式分別如式(3)、式(4)、式(5)、式(6)所示[5]：

齒輪輪體剛度kf亦是嚙合剛度的一部分，根據Sainsot等的研究[6]，由式(7)求得：

結合圖3，上述剛度求解式中：α′1即為圖中的α1(z)為每份齒輪上所受嚙合力與齒輪切向之間的夾角，α2為齒輪基圓的半基齒角，v為齒輪的泊松比，E為齒輪的楊氏模量，Lct為嚙合接觸線的長度，Δz=Lct-cosβb/N 為每片輪齒對的嚙合接觸線在齒寬方向的投影長度，βb為基圓螺旋角，N為斜齒輪被切分的份數，齒輪輪體剛度中的參數μf、sf、L、M、P、Q可查閱Sainsot 等的研究工作[6]獲得。串聯式(3)、式(4)、式(5)、式(6)和式(7)的剛度即可求得斜齒輪的嚙合剛度。

圖3 斜齒輪輪齒懸臂梁模型[5]

文中斜齒輪系統參數如表1所示。

表1 斜齒輪參數

主動輪的移速為50 mm/s，結合表1參數，通過勢能法及切片積分法可求出斜齒輪系統的時變嚙合剛度，如圖4所示。圖中，時間區間是一個單齒對的嚙合周期，虛線部分是單齒對的嚙合剛度，實線部分是一個嚙合周期內斜齒輪的綜合時變嚙合剛度。

圖4 動態嚙合剛度

為驗證上述嚙合剛度的正確性，將其平均嚙合剛度與機械設計手冊中的平均剛度[7]相比較，比較結果如表2所示。

由表2可知，本研究中求得的時變嚙和剛度均值與根據機械設計手冊求出的剛度均值的誤差率僅為1.67%，驗證了所求時變嚙合剛度的正確性。

表2 平均嚙合剛度對比表

1.3 斜齒輪齒條嚙合誤差

齒輪系統的嚙合誤差可表示為頻率分別是軸頻、嚙合頻率的正弦函數的疊加[8]：

式中：Fp為齒距累計總偏差，f′為一齒切向綜合偏差，ωa為軸頻，ωn為嚙合頻率，φa、φn均為初始嚙合相位，在本研究中，由于不存在初始相位差，因此均為零。查閱現代機械設計手冊[7]，根據齒輪系統的六級加工精度，可查知Fp=26 μm，f′=10.24 μm。

1.4 機械系統仿真

式(1)中其余各參數如表3所示，依據式(1)的斜齒輪齒條進給系統動力學微分方程，在Simulink 中搭建與之相應的求解模型，同時為了加快求解速度，將已求解的時變嚙合剛度以向量值的方式加入到Simulink 中。設置輸入的電機驅動力矩為恒定力矩，值為0.64 N?m，負載所受力與驅動平衡，采用ode45 求解器進行求解，則負載位移誤差如圖5所示。

表3 機械參數

由圖5可知，當機械系統處于平衡狀態時，負載的位移誤差是幅值量為微米的周期函數，為研究負載位移中的頻率成分，對其做頻譜分析，見圖6。

圖5 機械系統負載位移誤差

圖6中fa是軸頻其值為0.25 Hz，fn是嚙合頻率其值為7.5 Hz，低頻段主要的頻率成分是軸頻和嚙合頻率，這與機械系統中的內部激勵即時變嚙合剛度激勵、嚙合誤差激勵中的頻率成分一致，說明了內部激勵對機械系統輸出有直接的影響。

圖6 機械系統位移頻譜

2 交流同步伺服電機建模

2.1 電機控制模型

本研究中的電機為交流同步伺服電機，該類電機擁有多變量、非線性、強耦合等特點。為便于模型控制，研究中采用矢量控制技術，通過控制同步旋轉坐標系下的二維電流矢量來控制電機實際的三項定子電流，從而進一步控制電機的轉速[9]。整體的控制模型如圖7所示。

圖7 交流同步伺服電機控制模型

上述控制過程中，較為關鍵的兩部分是升降維變換與PMSM 輸出計算[10]。由三維自然坐標系AB-C 向二維固定坐標系α-β的轉換被稱為Clark 變化，其變換矩陣為TClark[9]：

由于電機是旋轉的，因此二維固定坐標系需乘上以電機轉角為變量的旋轉矩陣才能得到電機的實時坐標系即二維旋轉坐標系d-q，該旋轉矩陣TPark[9]為：

式中：θe為電機轉子轉角。對上述兩個變換矩陣取逆，即可得到反方向的變換，即二維旋轉坐標系d-q通過T-1Park和T-1Clark變換可得到電機的三維自然坐標系A-B-C。

PMSM 計算即永磁同步電機的輸出計算，取電機輸出軸為分離體，做力矩平衡分析有：

式中：J為電機輸出軸轉動慣量，ωm為電機輸出軸的轉速，Te為電機的電磁轉矩，TL為電機輸出軸上的負載力矩，B為電機的旋轉阻尼。

為簡化求解模型，基于二維旋轉坐標系d-q對電磁轉矩進行分析[9]，其求解表達式為：

式中：pn為電機極對數，id和iq分別為二維旋轉坐標系d-q下的正交電流，Ld和Lq分別為對應的正交電感，ψf為電機磁鏈。后續只需將式(12)求得的電磁轉矩代入到式(11)中，求解該微分方程即可求得電機的輸出轉速。

2.2 電機控制模型仿真

本研究中的電機采用的是松下A6系列電機，其具體參數如表4所示。

表4 電機參數

根據電機參數及電機控制模型，搭建相應的Simulink 仿真模塊。為測試電機性能，設置工況為初速500 r/min、初負載0.2 N?m，0.4 s 后轉速變為750.73 r/min，0.6 s 后負載變為0.64 N?m，采用ode45求解器，電機的輸出轉速、輸出轉矩如圖8、圖9所示。

由圖8、圖9可以看出，電機在控制系統調節下能達到預設目標值即輸出轉速750.73 r/min，輸出轉矩0.64 N?m。并且，在轉速及轉矩突變時均能在0.05 s內達到預期設定值。同時根據圖8可知，當向電機輸入500 r/min的階躍轉速信號時，電機轉速的最大超調量Mp為2.6%，峰值時間tp為1.3 ms，上升時間tr與調整時間ts均約為20 ms，體現了電機控制模型響應快速、超調量小并且穩定準確的特點。

圖8 電機輸出轉速

圖9 電機輸出轉矩

對處于750.73 r/min 的電機轉速曲線進行頻譜分析如圖10 所示，其中fdx值為150 Hz 是電機基頻，并且由頻譜圖可知存在倍頻成分。

圖10 電機轉速頻譜

3 進給系統機電耦合仿真

3.1 進給系統機電耦合模型

結合上述齒輪齒條模型與電機動力學模型，建立機電耦合的斜齒輪齒條進給系統，該系統以電機的輸入轉速為輸入量，以負載移速為輸出量，并通過將機械系統中的電機轉速與電機所受負載力矩反饋回電機模塊，使其構成完整的閉環控制系統，該進給系統模型如圖11所示。

圖11 進給系統模型

圖11中，Ne為電機的輸入轉速，Te為電機輸出轉矩，vload為負載移速，ωe為機械系統中的電機軸轉速，Tload為機械系統中電機軸所受的負載力矩。

3.2 進給系統機電耦合仿真

在Simulink 中搭建上述進給系統模型，設定電機的轉速為750.73 r/min，且考慮負載所受力為摩擦阻力，其大小為313.6 N，采用ode45 求解器求解模型，則負載位移曲線如圖12所示。由于電機轉速為750.73 r/min，可計算出負載的理想位移速度為50 mm/s，因此在運行10 s 后，負載移動了500 mm 即0.5 m，與圖12仿真負載位移一致。

圖12 負載位移

將負載指令位移即通過v=0.05 t 算得的位移與仿真位移做誤差比較，分別考慮齒輪系統中有、無嚙合誤差的情況，位移誤差曲線如圖13所示。

從圖13可以看出，由于機電慣性，負載仿真位移始終小于指令位移,且該位移誤差量較小約為10-5m。此外，當系統中考慮嚙合誤差時，系統位移誤差的波動幅值較大，表明了嚙合誤差對系統動態特性有較大的影響。對考慮了嚙合誤差的系統負載加速度、位移進行頻譜分析，如圖14、圖15所示。

圖13 負載位移誤差

圖14 負載加速度頻譜

圖15 負載位移頻譜

由圖14 可知，負載加速度頻譜中包含了軸頻、嚙合頻率及電機模型中的基頻、倍頻，同時還存在嚙合頻率與電機基頻、倍頻的調頻成分，表明了進給系統同時受到電機部分與機械部分的共同影響。此外，根據圖15 可知，在負載位移中機械系統的軸頻與嚙合頻率幅值較大，對進給系統的動態特性有重要影響，而電機頻率為150 Hz且其幅值在加速度頻譜中遠小于嚙合頻率幅值，故在負載位移頻譜中電機頻率不明顯，對進給系統的影響不大。

4 進給系統動態特性實驗

4.1 實驗系統

實驗系統分為三部分，第一部分是實驗的研究對象數控機床，其中x向是本文所研究的斜齒輪齒條進給系統，第二部分是機床的控制部分-電氣控制柜，第三部分是傳遞運動指令的上位機，整體實驗系統如圖16所示。

根據實驗系統模型，上位機指令經編碼發送至控制器，控制器根據進給系統當前的運動狀態進行運動規劃與控制，最后將驅動電信號傳輸至進給系統，使其按規定路徑運動。實驗實物圖如圖17所示。

圖17 實驗系統實物

4.2 實驗結果分析

為測試分析機床x向斜齒輪齒條進給系統的動態特性，實驗中向上位機輸入系統負載移速，同時設置運動終點坐標，使進給系統的負載做勻速直線運動。本實驗中，設定系統負載移速為50 mm/s，實驗初始坐標為100 mm，終點坐標為400 mm，則負載實驗位移與指令位移對比如圖18所示。

由圖18 可知，由于系統慣性等因素，實驗位移曲線落后于指令位移曲線。將指令位移曲線減去實驗位移曲線，其位移誤差如圖19所示。

圖18 負載實驗與指令位移

圖19 表明，在實驗運行平穩階段，負載理想位移與實際位移的誤差圍繞4.04×10-4m 波動，且波動幅值逐漸減小，運行愈發平穩。與仿真對比，仿真與實驗的負載位移均滯后于指令位移，但由于實際制造、安裝等誤差，實驗位移誤差的均值大于仿真位移誤差的均值。對實驗位移濾除直流量后，做頻譜分析，如圖20所示。

圖19 實驗位移誤差

圖20 50 mm/s負載位移頻譜

從圖20 可知，在實驗位移中低頻部分主要有：軸頻fa、嚙合頻率fn、0.5倍嚙合頻率0.5fn、2倍嚙合頻率2fn、電機轉頻fm和2倍電機轉頻2fm，其中幅值最大的兩個頻率為軸頻與嚙合頻率，這與仿真中軸頻與嚙合頻率起主要影響作用的結論一致。

考慮到由于建模中靜態嚙合誤差的軸頻幅值系數取的是齒距累計最大誤差，根據本文實驗結果將其矯正為原先的1/4，使系統中軸頻與嚙合頻率的幅值比與實驗結果大體一致，如圖21所示。

圖21 矯正后的負載位移頻譜

本文針對負載移速為30 mm/s、40 mm/s、50 mm/s、60 mm/s和70 mm/s共5種工況各做了10組實驗，以30 mm/s 和40 mm/s 為例，分別取其一組實驗結果進行頻譜分析，如圖22、圖23所示。

圖22 30 mm/s負載位移頻譜

圖23 40 mm/s負載位移頻譜

由圖22、圖23可知，在30 mm/s與40 mm/s工況中軸頻與嚙合頻率仍是最主要的兩個頻率成分，對系統的影響最大，這與前文中仿真和實驗的結論一致。將30 mm/s、40 mm/s、50 mm/s、60 mm/s 和70 mm/s 一組實驗中幅值最大的兩個頻率列出，如表5所示。

表5 實驗幅值最大的兩個頻率

根據50 mm/s工況下嚙合頻率的理論值7.5 Hz，軸頻的理論值0.25 Hz，可以算得在30 mm/s、40 mm/s、60 mm/s和70 mm/s工況下幅值最大的兩個頻率均為對應工況下的軸頻與嚙合頻率。

5 結語

本文針對電機-斜齒輪齒條進給系統，考慮時變嚙合剛度和嚙合誤差兩部分內部激勵，建立了基于矢量控制的機電耦合動力學模型，分析了其動態誤差的影響因素，并結合實驗進行了驗證，結論如下：

（1）齒輪齒條嚙合誤差是進給系統的動態誤差的主要來源，對系統的動態誤差起決定性作用；

（2）進給系統動態誤差主要的頻率成分為軸頻、嚙合頻率、電機的基頻、倍頻及相應的調頻頻率，其中軸頻與嚙合頻率占比最大，是最主要的頻率成分。