一種3(Ra)PS變胞并聯機構構型與運動學分析

賈 璞 李端玲 雷志強 張元開 楊 超

(1.北京郵電大學自動化學院， 北京 100876； 2.陜西科技大學機電工程學院， 西安 710021)

0 引言

傳統的并聯機構具有恒定的拓撲結構和固定的自由度[1]，這限制它們的多功能性和適應性。隨著工業快速定制和環境變化的要求，可以適應不同場景的可重構并聯機構成為近年來機構研究的熱點。近年來學者們進行許多可重構并聯機構(RPM)的研究。在此基礎上，也產生了一類具有自適應性和可重構特性的變胞并聯機構(MPMS)[2]。DAI等[3]提出用于裝飾性紙箱折疊和可重構包裝研究的變胞機構。YAN等[4-5]研究運動關節的可變構型，給出變胞關節的構型表示。KONG[6-7]使用基于螺旋理論構造出具有多種操作模式的RPM?，F有可實現RPM具有可重構特性的方法主要包括引入變幾何約束或可鎖定的鉸鏈[8-10]，以及在運動支鏈中集成一些可重構連桿機構[11]。LI等[12]使用基于位移子群的方法提出一類帶有Schoenflies運動分支的RPM。GAN等[13-15]發明變胞rT鉸鏈和rR鉸鏈，并提出使用這些鉸鏈構造RPM的方法。ZHANG等[16]提出vA(可變軸線)鉸鏈，其靈感來自于折紙，并已將其集成到多個RPM中。CARBONARI等[17]通過引入特殊的可鎖定萬向節設計一類RPM。這些變胞或可鎖定鉸鏈的構態變化會導致RPM的自由度發生變化。文獻[18-19]通過整合運動支鏈中的可重構連桿，提出幾種RPM，并對含有vA鉸的并聯機構建立涵蓋所有構型的運動學模型。胡旭宇等[20-21]提出一系列含恰約束支鏈的并聯機構和球面變胞仿生機構。暢博彥等[22]研究了一種變胞機構運動參數輸入與輸出之間的映射關系。沈惠平等[23]通過拓撲降耦設計一種實現一平移兩轉動的并聯機構，并推導出其符號正反解。溫如鳳等[24]提出具有耦合分支的兩轉兩移型并聯機構，并對其剛度、工作空間等性能進行對比分析。

本文研究一種由新型變胞鉸鏈Ra鉸組建而成的3(Ra)PS變胞并聯機構。重點分析3(Ra)PS并聯機構的構型，針對不同構型使用螺旋理論驗證構型的自由度變化特點。根據Sylvester結式消去法，利用Mathematica符號工具對3(Ra)PS變胞并聯機構的所有構型進行正、逆運動學分析求解和數值驗證。以期為變胞并聯機構的設計提供思路，為多構型并聯機構的運動學建模提供新的方法。

1 可重構(Ra)PS支鏈

可重構(Ra)PS支鏈由Ra鉸鏈、P副(移動副)和S副(球副)組成。該支鏈的可重構特性來源于Ra鉸鏈的結構變化。如圖1所示，Ra鉸具有3個旋轉自由度(DOFs)，這3個自由度分別來自于3個垂直交叉的旋轉軸(外軸、內軸和垂直軸)。Ra鉸的外軸為一個方向固定的軸，內軸可在開槽環內旋轉，改變自身在開環槽中的位置。此外，垂直軸用于為內軸位置的位置變化提供旋轉。開槽環用于固定內軸線兩端的滑塊，并通過滑塊沿開槽環的內槽自由旋轉和固定，使其具有改變內軸位置方向的能力。

圖1 Ra鉸三維模型Fig.1 Structural diagram of Ra joint1.定位孔 2.保持架 3.開槽環 4.滑塊

如圖2所示，內軸位置的變化可使Ra鉸鏈的自由度發生改變，從而導致(Ra)PS支鏈具有2個不同的構態。在圖2a中，內軸與外軸垂直，此時支鏈等效為SPS支鏈，為(Ra-1)PS支鏈，在圖2b中，內軸與外軸共線，支鏈等效為UPS支鏈，為(Ra-2)PS支鏈。

圖2 (Ra)PS支鏈的兩種構型Fig.2 Two configurations of (Ra)PS limb

如圖2a所示，在Ra鉸鏈中心處設置一個支鏈坐標系o1x1y1z1，x1軸與外軸共線，y1軸位于保持架平面內并垂直于外軸，z1軸的建立符合右手準則。(Ra-1)PS支鏈的運動螺旋系統為

(1)

式中β——支鏈($13)與平面y1o1z1之間的夾角

α——支鏈$13與平面x1o1y1的夾角

l——Ra鉸鏈中心和球鉸中心之間的距離

符號cα和sα分別表示cosα和sinα。當Ra鉸處于(Ra-1)構型時，β、γ(γ為內軸線與外軸線的夾角)都不為零，當Ra鉸處于(Ra-2)構型時，β和γ為零但α不為零，在旋量符號$ij中，下標i表示支鏈編號，下標j表示支鏈內的運動副編號。式(1)中的7個螺旋形成一個六階系統，這表明(Ra-1)PS支鏈具有6個自由度(DOFs)，并且對與其連接的動平臺不提供任何約束。

對如圖2b所示的(Ra-2)PS支鏈建立的運動旋量系統為

圖3 3(Ra)PS變胞并聯機構的4種構型Fig.3 Four configurations of 3(Ra)PS metamorphic parallel mechanism

(2)

從式(2)可以看出，旋量$12和$16相同，并且6個旋量形成一個五階螺旋系統。因此，對支鏈的運動螺旋系統中求反螺旋可以得到(Ra-2)PS支鏈的約束螺旋為

(3)

從式(3)可知，這個支鏈提供一個作用于球鉸中心且平行于支鏈Ra鉸外軸線的約束力，導致球鉸中心A1被約束在垂直于外軸線的平面y1o1z1內，除此之外支鏈位于該平面內。因此球鉸中心A1只能在平面上移動。因此，(Ra-2)PS支鏈有5個自由度，比(Ra-1)PS構型少1個自由度。

2 3(Ra)PS并聯機構構型分析

如圖3所示，將3個(Ra)PS支鏈分別與動平臺和底座連接，三支鏈對稱布置，此時可以獲得4種不同構型的并聯機構。

其中點Ai為球形鉸鏈的中心點，點Bi為支鏈i的Ra鉸鏈中心，在等邊三角形B1B2B3的幾何中心O處建立定位坐標系OXYZ，其中X軸平行于B2B3，Y軸穿過B1并垂直于B2B3，Z軸垂直于底座。如圖3a所示，將3個(Ra-2)PS支鏈與底座和動平臺連接可組成3(Ra-2)PS變胞并聯機構，根據式(2)中的幾何約束可知，當支鏈為(Ra-2)PS時，球鉸中心Ai被約束在平面Σ0上。

根據上述描述，點Ai和Bi在全局坐標系中的位置矢量可表示為

(4)

式中支鏈i和矢量OBi之間的夾角為αi，定坐標系中的點Ai和Bi的位置矢量分別為ai、bi，球鉸鏈中心Ai與Ra鉸鏈中心之間的距離為li。rb為底座外接圓半徑。

從式(4)可以看出，每一個(Ra-2)PS的支鏈對動平臺提供一個過球副中心且平行于Ra鉸外軸方向的約束力。因此，圖3a中3(Ra-2)PS并聯機構在全局坐標系下的約束螺旋系統可表示為

(5)

對式(5)求反螺旋，動平臺的運動螺旋可表示為

(6)

由式(6)可知，支鏈對稱分布的3(Ra-2)PS并聯機構具有分別沿X、Y軸的2個旋轉自由度和沿著Z軸的1個移動自由度。

將3(Ra-2)PS并聯機構中的支鏈從(Ra-2)PS改為(Ra-1)PS后，將產生具有更多自由度的構型。將支鏈1的構態從Ra-2改變為Ra-1后，3(Ra-2)PS變為如圖3b所示的2(Ra-2)PS-1(Ra-1)PS構型，其中在支鏈2和3分別具有一個平行于各自Ra鉸外軸線的約束力?；诩s束螺旋分析，2(Ra-2)PS-1(Ra-1)PS并聯機構具有4個自由度，1個平移和3個旋轉(3R1T)。

進一步改變支鏈的構態，如圖3c所示的構型為2(Ra-1)PS-1(Ra-2)PS構型，此時只有支鏈3具有1個力約束，其余兩個支鏈對平臺沒有約束。因此，該機構具有5個自由度，其中包括3個旋轉和2個平移的自由度(3R2T)。

當將第3支鏈的構態都改變為(Ra-1)PS時，此時機構的構型為3(Ra-1)PS，如圖3d所示，該構型3(Ra-1)PS對平臺沒有任何約束螺旋且并聯機構具有6個自由度。

3 變胞并聯機構的驅動方案

由第2節對變胞并聯機構3(Ra)PS的構型分析可知，為使機構具有穩定可控的能力，合理的驅動選擇必不可少。因此機構的驅動選擇不僅要盡可能保持與底座的連接，還要考慮機構的運動是完全可控的。如果機構選擇合理的驅動方案，在鎖定所有驅動運動鉸鏈后，并聯機構的約束螺旋系統的階數應為6，運動動平臺將失去所有6個自由度。

為實現機構不同工作模式之間的靈活性和正常切換，保證機構的優良動態性能，在與底座直接連接的每個支鏈中的外軸、內軸、移動副可以作為驅動選擇。

由于(Ra)PS支鏈兩種構態的約束不同，因此對應的驅動選擇也不完全相同。在(Ra-2)PS支鏈中，圍繞外軸線的旋轉或沿著移動副的平移可以用作驅動。根據圖2b和對應的支鏈運動螺旋，分別鎖定這兩個輸入可以形成驅動約束螺旋為

(7)

當改變(Ra-2)PS支鏈到(Ra-1)PS時，Ra鉸的內軸轉動副可以作為一個新的驅動選擇。鎖定該驅動產生的驅動約束力為

(8)

通過上述分析可知，滿足驅動方案的原則是，驅動約束螺旋與動平臺約束螺旋系統形成一個六階約束系統。在此基礎上，對3(Ra)PS變胞并聯機構的驅動方案總結如下：①當3(Ra)PS并聯機構含有支鏈(Ra-2)PS時，外軸轉動副和移動副可以作為驅動選擇。②當3(Ra)PS并聯機構含有支鏈(Ra-1)PS時，外軸轉動副、移動副和內軸轉動副中的任意兩個可以作為驅動選擇。

將圖3b中的2(Ra-2)PS-1(Ra-1)PS并聯機構作為示例。根據第2節分析可知在該構型下機構具有4個自由度，其中每個(Ra-1)PS支鏈有3個選擇，其中任意2個可以作為驅動，每個(Ra-2)PS支鏈有2個選擇，其中任意一個可以作為驅動?，F將(Ra-1)PS支鏈的移動副和內軸轉動副和(Ra-2)PS支鏈的移動副作為驅動方案，2(Ra-2)PS-1(Ra-1)PS并聯機構的驅動約束螺旋系統為

(9)

對上述驅動選擇方案展開分析，拓展到變胞并聯機構的所有構型，對應構型的驅動選擇數目如表1所示。

表1 所有構型驅動選擇數目Tab.1 Drive options for all configurations

4 運動學建模與位移分析

4.1 運動學建模

考慮到(Ra)PS支鏈的兩個構態之間的差異，可以發現，引起兩種構態變化的關鍵原因是內軸的旋轉導致內外軸線共線，當內外軸線共線時，Ra鉸等效為一個虎克鉸，當內外軸線不共線時，Ra鉸等效為一個球鉸。

根據第3節中的驅動分析方案，將(Ra-1)PS支鏈的內軸的轉動、外軸的轉動和移動副作為驅動輸入。因此，(Ra-2)PS可視為(Ra-1)PS支鏈的一種特殊構態，通過在βi=0時鎖定內軸驅動。支鏈的這種特性為3(Ra)PS變胞并聯機構的統一幾何和運動學建模提供可能，它可以覆蓋3(Ra)PS變胞并聯機構的所有構型。因此，在(Ra-2)PS支鏈中將移動副作為驅動選擇，在(Ra-1)PS支鏈中，將內軸的旋轉和移動副作為驅動選擇。

在全局坐標系下，3(Ra)PS變胞并聯機構的所有構型的約束關系可以表示為

(10)

當支鏈為(Ra-1)PS時，β≠0；支鏈為(Ra-2)PS時，β=0。其中，li是支鏈長度，R(k,g)表示繞k軸旋轉一定角度g。

在此基礎上，將3(Ra)PS的幾何約束分為兩部分進行描述。第一部分支鏈長度的約束方程為

(11)

第二部分每個支鏈的移動副的方向與Ra鉸的內軸軸線方向始終垂直，即

(Ra′i+P-bi)Tsi=0 (i=1,2,3)

(12)

式中動平臺坐標系相對于全局坐標系的旋轉矩陣為R，動平臺原點在全局坐標系中的位置矢量為P=(px，py，pz)，球鉸中心Ai在動平臺坐標系下的位置矢量為a′i，Ra鉸內軸軸線的單位方向向量為si。

4.2 逆運動學分析

根據給定動平臺的原點位置P和姿態R獲得驅動參數(支鏈長度li、內軸旋轉角βi)來分析3(Ra)PS變胞并聯機構的逆運動學。如圖4所示，將動平臺坐標系Puvw的原點建立在動平臺原點上，其中v穿過A3并垂直于A1A2，w軸垂直于動平臺，u軸的建立符合右手準則。

圖4 動平臺的局部坐標系Fig.4 Local coordinate system of moving platform

當給出在全局坐標系下動平臺的位置P和姿態矩陣R后，球形鉸鏈的中心Ai的位置可以表示為

(13)

其中

式中ra——動平臺外接圓半徑

在4種自由度的構型中，包含(Ra-2)PS支鏈的構型在求反解時平臺的位置和姿態參數不能隨意給定。它們應遵循方程(12)中的幾何約束關系，基本規則是：當支鏈i處于(Ra-2)PS構型時，球鉸原點Ai被約束在平面Σ0內，因此Ai的位置矢量應與平面Σ0的法向量垂直，可得關系式

aini=0 (i=1,2,3)

(14)

其中

將式(13)代入式(14)可以獲得關系式為

(15)

將式(13)代入式(11)，可以對3(Ra)PS機構的逆運動學進行求解，即

(16)

由第2節分析可知，當支鏈為(Ra-2)PS時，β1=β2=β3=0。然而當支鏈為(Ra-1)PS時有

(17)

4.3 正運動學分析

與逆運動學分析相反，正運動學分析是在給出每個構型對應的驅動參數(li,βi)的前提下，求解平臺位置P和姿態矩陣R。3(Ra)PS變胞并聯機構的正運動學分析方法是利用支鏈參數表示球鉸中心矢量ai，建立基于平臺幾何參數的約束方程。根據圖4，動平臺幾何約束可以描述為

(18)

(19)

其中fi(·)是關于ti的線性函數，方程系數僅取決于已知的結構參數。對方程組(19)中的前2個方程，使用Sylvester結式消元法消去t1，可以得到一個只含有t2、t3的新方程

(20)

對式(19)中的f3和式(20)中的f4使用相同的方法，可以獲得一個只含有未知變量t3的多項式為

(21)

其中系數hi是一個只與輸入參數有關的常數。表明方程(21)是一個只包含變量t3的16階的單變量方程。對式(21)進行求解就可得到16個t3的解。通過將t3的每一個解代入方程(19)中的第3個方程并選擇滿足的根來求解t2。t1可以通過將t2和t3的每一對解代入方程(19)中的第1個方程求得，并代入式(19)中的第2個方程來驗證是否正確。在此基礎上，將t1、t2、t3的16對解代入幾何約束方程αi=2arctanti中，可以得到每個支鏈與底座平面的夾角。并通過方程(20)計算出球鉸中心Ai的坐標。

如圖4所示，動平臺的位置和位姿可以使用3個球鉸的中心坐標確定，即

(22)

將正解得到的3個Ai的坐標代入式(22)獲得動平臺坐標系中坐標軸的向量，獲得動平臺的位置坐標和姿態矩陣。

5 運動學分析的數值算例

圖3所示的3(Ra)PS變胞并聯機構動平臺和底座的外接圓半徑分別為：ra=10 cm，rb=20 cm。

通過數字實例驗證逆運動學的準確性，根據第4節的運動學分析，3(Ra)PS變胞并聯機構的4種構型的逆運動學實例如表1所示。通過給出平臺的姿態和位置參數，并通過式(16)、(17)得到的逆運動學結果如表2所示。

表2 運動學反解結果Tab.2 Results of inverse kinematics

由于不同的構型位置和姿態參數的關系也不相同。求反解時各構型對應的輸入旋轉矩陣和動平臺位置坐標為

在構型3(Ra-2)PS下，繞x、y、z軸轉動π/8的旋轉矩陣為R1，并且動平臺原點的位置坐標為P1，根據式(15)的3個約束方程求出位姿參數。

在構型2(Ra-2)PS-1(Ra-1)PS下，繞x、y、z軸轉動π/8的旋轉矩陣為R2，動平臺原點的位置坐標為P2,根據式(15)的后兩個約束方程可求出位姿參數。

當構型自由度大于等于4時，并聯機構的構型都具有繞x、y、z軸的3個轉動，因此選用的輸入旋轉矩陣R3、R4與R2相同。

動平臺原點位置參數P3可根據R3和式(15)的第3個方程獲得。

由于構型3(Ra-2)PS自由度為6，動平臺沒有約束，因此P4只需在給定姿態動R4后任意選取即可。

為驗證統一運動學正解的分析方法，變胞并聯機構3(Ra)PS的每一個構型都有16個解，表3～6分別列出每個構型的數值正解作為示例。

表3 3(Ra-2)PS正解實例Tab.3 Forward results of 3(Ra-2)PS rad

表4 2(Ra-2)PS-1(Ra-1)PS正解實例Tab.4 Forward results of 2(Ra-2)PS-1(Ra-1)PS rad

表5 2(Ra-1)PS-1(Ra-2)PS正解實例Tab.5 Forward results of 2(Ra-1)PS-1(Ra-2)PS rad

表6 3(Ra-1)PS正解實例Tab.6 Forward results of 3(Ra-1)PS rad

6 結論

(1)闡述一種新型變胞鉸鏈Ra鉸，該鉸鏈可以實現球鉸與虎克鉸兩種構態的切換。通過改變(Ra)PS支鏈的構型演示變胞并聯機構3(Ra)PS的構型變化，說明該機構具有4種構型，在2R1T、3R1T、3R2T和6自由度之間具有可重構的能力。

(2)根據驅動約束分析表明，對于不同的構型結構給出合理的驅動方案。選擇繞內軸的旋轉作為驅動，將一個構態作為另一個構態的特例，為(Ra)PS支鏈的運動學建模提供可能，在此基礎上，建立3(Ra)PS變胞型并聯機構的運動學模型，對并聯機構進行正逆運動學分析。

(3)通過數值實例證明機構構型分析與實際解相符，證明了理論結果的正確性。