斜壓大氣中(2 + 1)維非線性重力波的 廣義ZK-mZK方程

陳利國

摘 要：從描述斜壓大氣基本動力學方程組出發，通過無量綱分析，利用多重尺度法和小參數攝動展開法，推導了描述斜壓大氣中（2+1）維重力波演化的廣義Zakharov-Kuznetsov-mZakharov-Kuznetsov（ZK-mZK）方程，利用雙曲函數展開法得到方程的解析解，結合模型和求解結果分析了重力波形成物理機制。

關鍵詞：非線性重力波;演化模型;廣義ZK-mZK方程

中圖分類號：O29;P433;O175.2? 文獻標識碼：A? 文章編號：1673-260X（2022）02-0001-04

引言

重力波是大氣在重力和垂直慣性力作用下產生的一種中尺度波動，是大氣中普遍存在的一種波動現象。重力波相關理論研究具有重要的實際價值，如颮線、暴雨、臺風等災害性天氣[1-4]。許多學者建立非線性重力波的理論模型，通過理論模型分析和結合實際天氣狀況，研究非線性重力波的形成機制，而且重力波研究是建立在（1+1）維模型基礎上。李麥村推導了重力孤立波的KdV方程，并解釋了颮線形成的非線性過程[1，3]。之后，獲得了斜壓大氣重力波演化的KdV方程，研究了颮線形成的非線性過程。羅德海推導了Benjamin-Ono（BO）方程來描述代數重力孤立波，解釋了颮線非線性現象[5]。許秦推導了層結大氣中慣性重力波KdV方程模型[6]。許習華等得到了重力孤立波波包的Schr?dinger方程[7]。郭敏等獲得了代數重力波Boussinesq-BO方程[8]。相對而言，（2+1）維重力波模型研究較少。學者們建立（2+1）維模型描述重力波的演化特征，比如代數重力波ZK-ILW方程[9]、時間分數階BO方程[10]、廣義（2+1）維Boussinesq-BO方程[11]。一些學者建立非線性重力波分數階模型[12-14]，通過理論模型和結果分析重力孤立波的生成演化規律，結合實際天氣狀況解釋颮線、暴雨等災害性天氣現象形成的機制。

本文從描述斜壓大氣基本動力學方程組出發， 先通過方程無量綱化，再利用多重尺度法和小參數攝動展開法，推導了ZK-mZK方程來刻畫（2+1）維非線性重力波演化模型，通過模型理論上分析重力波在非線性形成過程的重要影響因素。

1 大氣動力學方程組[4]

其中p氣壓，θ0和ρ0分別表示流場的位溫與密度，σ=。對方程（1）進行無量綱化，

（x*，y*）=L（x，y），z*=D（z），t*=f0-1（t），（u*，v*）=U（u，v），

w*=D（z），θ*=δθ*（θ），δp*x，y=f0LU（p），

δpz=δθ*（θ），ρ0=（ρs），

其中f0科氏參數f的特征量，P是氣壓特征量，H是均勻大氣的特征高度，δp*x，y和δp*z分別表示水平和垂直方向的氣壓變化，帶星為無量綱變量。

根據中尺度大氣重力波運動特征：D～H，δθ*～，R0=～o（1）再由重力波運動的特征[4]，取L～105m，U～10m/s，f0～10-4/s，N～10-2/s，引入參數ε=?1，其中N2=。于是方程（1）無量綱化后得到

2 廣義ZK-mZK方程推導

基于無量綱方程組（2），利用多尺度變換法和小參數攝動展開，推導（2+1）維非線性重力波演化方程。

3 廣義ZK-mZK方程的解析解

4 結論

方程（21）是一個新的方程，是文獻[4]和[6]的推廣，稱為廣義ZK-mZK方程，它是描述（2+1）維非線性重力波在斜壓大氣中演變的數學模型。對于新方程（21），nnX和n2nX表示重力波非線性效應，nXY和nXXX表示重力波頻散效應，這表明新方程包含重力波的頻散過程和非線性形成過程。由方程（21）和推導過程，以及解析解（26）可知，大氣的氣壓、位溫和密度等均是重力波形成主要因素，也是頻散和非線性共同作用的重要因素之一。在斜壓大氣中，頻散過程與非線性過程的共同作用發生和演變的本質是颮線形成的主要原因[4]。因此，通過對廣義ZK-mZK模型研究，可以探索颮線天氣現象形成的物理機制。

參考文獻：

〔1〕李麥村.大氣中颮線形成的非線性過程與 KdV方程[J].中國科學，1981，9（03）：341-350.

〔2〕LI M C. The triggering effect of gravity waves on heavy rain [J]. Chin. J. Atmos. Sci.， 1978，2： 201-209.

〔3〕李麥村.颮線形成的非線性過程[J].中國科學，1976，10（06）：592-601.

〔4〕李麥村，薛紀善.斜壓大氣中颮線的非線性過程與KDV方程[J].大氣科學，1984，8（02）：143-152.

〔5〕羅德海.關于大氣中的非線性Benjamin-Ono方程及其推廣[J].中國科學（B輯），1988，18（10）：1111 -1122.

〔6〕許秦.層結大氣中重力慣性波與颮線形成的非線性過[J].中國科學（B輯），1983，13（01）：87-97.

〔7〕許習華，丁一匯.中尺度大氣中孤立重力波特征的研究[J].大氣科學，1991，15（04）：58-68.

〔8〕GUO M， CHEN X， CHEN Y D， YANG H W. The Boussinesq-BO equation for algebraic gravity solitary waves in baroclinic atmosphere and the research of squall lines formation mechanism [J]. Dyna. Atmos. Oceans.， 2017， 18： 29-46.

〔9〕GUO M， ZHANG Y， WANG M， CHEN Y D， YANG H W. A new ZK-ILW equation for algebraic gravity solitary waves in finite depth stratified atmosphere and the research of squall lines formation mechanism [J]. Comput. Math. App.， 2018， 75： 3589-3603.

〔10〕YANG H W， SUN J C， FU C.. Time-fractional Benjamin-Ono equation for algebraic gravity solitary waves in baroclinic atmosphere and exact multi-soliton solution as well as interaction[J]. Commun. Nonlinear. Sci. Numer. Simul.， 2019， 71： 187-201.

〔11〕CHEN L G， YANG L G. Fractional theoretical model for gravity waves and squall line in complex atmospheric motion. Complexity. （2020）7609582.

〔12〕FU C， LU C N， YANG H W. Time-space fractional （2+1）-dimensional nonlinear Schr？dinger equation for envelope gravity waves in baroclinic atmosphere and conservation laws as well as exact solutions[J]. Adv. Differ. Equ.， 2018， 2018： 56.

〔13〕GUO M， DONG H Y， LIU J X， YANG H W. The time-fractional mZK equation for gravity solitary waves and solutions using sech-tanh and radial basic function method[J]. Nonlinear Analysis： Model. Contr， 2019， 24（01）： 1-19.

〔14〕YANG H W， GUO M， HE H L. Conservation Laws of Space-Time Fractional mZK Equation for Rossby Solitary Waves with Complete Coriolis Force[J]. Int. J. Nonlinear. Sci. Numer. Simul.， 2019， 20（01）： 17–32.

收稿日期：2021-11-02

基金項目：國家自然科學基金（11762011，12062017）;內蒙古自治區高等學?？茖W技術研究項目（NJZY21272）;內蒙古財經大學人才開發項目（RZ2100000102）

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