平穩高斯激勵下線性結構隨機振動分析的輔助簡諧激勵廣義法1)

范文亮 *, 盛向前 *

* (重慶大學土木工程學院,重慶 400045)

? (重慶大學山地城鎮建設與新技術教育部重點實驗室,重慶 400045)

引言

線性結構在平穩高斯隨機激勵下的響應分析是隨機振動研究的基礎[1-2].線性隨機振動理論分析方法可以分為時域分析法和頻域分析法[3-6].時域分析法是以激勵的自相關函數為基礎的分析方法,比如矩方程法[2,7]、遞推矩法[8]等.頻域分析法是以激勵的譜密度為基礎的分析方法.相對于時域分析法,頻域分析法數學形式簡單,因此成為了隨機振動領域的主流方法.頻域分析方法根據輸出結果形式的不同主要分為蒙特卡洛法[9-10]、均方根法[11-15]和功率譜法[16-19].由于功率譜法是頻域法中最基本的分析方法,所以本文主要針對功率譜法開展研究.

功率譜法是直接建立激勵功率譜和響應功率譜之間關系的分析方法.根據兩者關系表達式的不同,功率譜法可以分為振型法和虛擬激勵法.振型法顧名思義是以振型為基礎計算響應功率譜的分析方法.SRSS 法[16]作為振型法最為原始的分析方法主要是通過振型疊加法給出響應功率譜的計算表達式,該方法由于不考慮振型之間的耦合項而有較高的計算效率.雖然SRSS 組合簡單,但當模態頻率接近時,其計算結果將存在較大誤差.隨后,CQC 法[4-5]通過考慮振型之間的耦合項給出響應功率譜的精確表達式.然而,針對一些需要考慮較多振型的結構,CQC 法將面臨計算量大的問題[17].為提高計算效率,引入振型截斷是最為常見的處理方式[18-20].但振型截斷往往對計算精度造成不利影響[21],且振型的截斷階數并沒有一個合適的確定標準.對于大型復雜結構,即使引入振型截斷,仍然會涉及大型矩陣的運算進而影響計算效率[22].

虛擬激勵法[23-28]首先構造與激勵相關的虛擬激勵,然后通過虛擬激勵下的響應獲得響應功率譜.對于復雜結構且頻率離散點數目較大時,需要計算每個頻率離散點處的虛擬激勵響應,計算量有時也比較大.值得指出的是,針對多點激勵問題虛擬激勵法需要引入激勵功率譜矩陣的Cholesky 分解將多點相關激勵轉換為獨立隨機激勵.一方面,當頻率離散值數目和激勵數目較多時,Cholesky 分解計算量較大;另一方面,當矩陣不正定性,Cholesky 分解將難以實施[29].換言之,虛擬激勵法盡管可以避免CQC法中振型計算及其截斷導致的誤差,卻衍生了功率譜矩陣分解影響計算效率的新問題.

不難發現,現有的功率譜法常常涉及振型截斷或激勵功率譜矩陣分解帶來的精度和效率問題.基于此,本文在引入廣義頻響函數的基礎上,推導了響應功率譜的計算表達式,結合輔助簡諧激勵策略提出了一種新型隨機振動分析方法,即輔助簡諧激勵廣義法.同時根據輔助簡諧激勵下響應求解方式的不同,給出了具有不同適用范圍的兩種求解方案.

1 平穩激勵下線性結構響應的廣義分析方法

1.1 理論基礎

對于s個自由度的線性結構,在平穩隨機激勵下結構系統的動力微分方程可寫為[30]

式中,M,C和K分別為結構的s×s維質量矩陣、正交阻尼矩陣和剛度矩陣,Q為s×m維激勵定位矩陣,F(t)=[F1(t),F2(t),···,Fm(t)]T為平穩隨機激勵向量,上標T 為轉置,m為激勵的數量.

在零初始條件下,結構第k自由度的穩態位移響應Yk(t)為

式中,φj=[φ1,j,φ2,j,···,φs,j]T表示第j階振型,φk,j為φj中第k個元素,hj(t)為脈沖響應函數,可表示為

其中,ωj和ξj分別為結構第j階頻率和振型阻尼比.

1.2 基于廣義脈沖響應函數的響應計算

不難發現式(2)涉及所有振型的求和,如果引入廣義脈沖響應函數,則響應求解將轉化為關于荷載數目的求和.

將F(t)中第l個元素用脈沖函數δ(t)代替,其余分量都取為0,即=[0,···,0,δ(t),0,···,0]T.在作用下的運動微分方程可以寫為

其中,Ql為Q中的第l列向量.結合式(2),可得式(4)中第k自由度的穩態位移響應Yk,l(t)為

于是,結構在荷載Fl(t)=[0,···,0,Fl(t),0,···,0]T作用下,第k自由度的響應為

相應地,結構在激勵F(t)下Yk(t)可表示為

比較式(2)和式(7)可知,引入廣義脈沖響應函數后,結構響應表達式的求和次數由s次轉變為m次.工程實際中,激勵數量m通常小于結構自由度s.因此,若可以方便地給出,則式(7)比式(2)更易于實用.

1.3 基于廣義頻響函數的響應功率譜計算

結合式(7),Yk1(t)和Yk2(t)的互相關函數RYk1Yk2(τ)可表示為

式中,E(·)為期望運算,RFpFq(·)為激勵分量Fp(t)和Fq(t)的互相關函數.

根據維納-辛欽關系,Yk1(t)和Yk2(t)的互功率譜函數SYk1Yk2(ω)可由RYk1Yk2(τ) 的Fourier 變換得到

其中,i2=-1,上標*表示復共軛,SFpFq(ω)為Fp(t)和Fq(t)的互功率譜密度函數,的表達式為

式中,Hj(ω)為hj(t)的傅里葉變換.顯然,為廣義脈沖響應函數的傅里葉變換,文中稱其為廣義頻響函數.不難發現,包含了所有頻響函數Hj(ω)的貢獻且式(9)避免了關于s的雙重求和.

同理,Yk的自功率譜函數SYkYk(ω) 為

將式(9)與式(11)相結合,響應的互功率譜矩陣SYY(ω)與激勵互譜矩陣SFF(ω)的關系為

將式(10)代入式(12)右側,可得

式中,Φ=[φ1,φ2,···,φs],H=diag[H1(ω),H1(ω),···,Hs(ω)].顯然,式(13) 為計算響應功率譜矩陣的CQC 法表達式[4-5].換言之,式(12)與式(13)是等價的.

若僅考察結構部分自由度數目為J的響應,則式(12)和式(13)將分別改寫為

比較式(14)和式(15)可知,引入廣義頻響函數后,廣義頻響函數矩陣的維數為J×m維,遠小于CQC 法中頻響函數矩陣的維數s×s維.因此,若可以方便地給出,則式(14)比式(15)更易于實用.

由于式(9),式(11),式(12)和式(14)中涉及廣義頻響函數,因此本文將基于上述表達式的隨機振動分析方法稱為廣義分析方法.特別地,當m=1時式(12)則退化為一致激勵問題或單點激勵問題.

2 平穩激勵下線性結構響應的輔助簡諧激勵廣義法

廣義頻響函數的快速、準確確定是廣義分析方法的關鍵.顯然,對于大型復雜結構,由式(10)確定廣義頻響函數進而求解響應功率譜是不方便的.為此本節給出一種較為便捷的求解方法.

2.1 輔助簡諧激勵廣義法

將F(t)中第l個元素以輔助簡諧激勵exp(iωt)代替,其余量為零,即構造輔助簡諧激勵向量=[0,···,0,exp(iωt),0,···,0]T.由式(6)可知,結構在下第k自由度的位移響應為

于是,式(9) 中兩個廣義頻響函數的乘積可表示為

相應地,式(9)可改寫為

類似地,式(11)可改寫為

式(18)和式(19)亦可表示為如下矩陣形式,即

由于式(18),式(19)或式(20)綜合了廣義分析法的思路和輔助簡諧激勵的策略,文中將其稱為輔助簡諧激勵廣義法.

2.2 輔助簡諧激勵廣義法的高效求解方法

線性結構在輔助簡諧激勵下的響應分析屬于諧振響應分析,常用分析方法包括振型疊加法與時程分析法.顯然,當只需少數低階振型即可獲得較為精確響應的前提下,振型疊加法較時程分析法更為方便;但對于包含較多振型貢獻的大型復雜結構,時程分析方法可以有效避免振型疊加法中振型截斷導致的誤差.因此,文中根據不同的情形給出兩種可供選擇的輔助簡諧激勵響應計算方案.

2.2.1 基于振型疊加的輔助簡諧激勵響應計算

當結構自由度較少或者可以預先確定準確計算輔助簡諧激勵響應所需的振型最高階數且此階數較小時,可采用振型疊加法計算之,即

式中,r為自由度數目(即r=s)或需要考慮的振型階數(即r＜s).需要指出的是,由于式(17)和式(18)中共軛相乘導致exp(iωt)相互抵消,所以式(21)在實際計算中可省略exp(iωt).

2.2.2 基于時程分析的輔助簡諧激勵響應計算

對于復雜高維結構,為避免振型疊加法中振型截斷的誤差,可采用時程分析法計算輔助簡諧激勵響應.由于涉及到不同頻率下輔助簡諧激勵響應的大量重分析,文中引入時域顯式法以提高計算效率.

式中,Δω為頻率間隔,即

其中,ωk,L為下限截止頻率,ωk,U為上限截止頻率,(N+1)為離散頻率值數目.

對于W中任一頻率離散值對應的簡諧激勵均需求解如下的運動微分方程,即

根據時域顯式法[31-32],可以給出式(1)中F(t)為任意激勵時響應Y(tτ)的顯式表達式為

式中,[Aτ,0,Aτ,1,···,Aτ,τ]可通過2m次單位脈沖激勵確定,具體計算方法可參考文獻[31-32].于是,式(24)的響應Yk,l(ωp,tτ)可按下式計算,即

其中ak,n(n=0,1,···,τ)為Aτ,n中的第k個元素.

顯然,基于時程分析的輔助簡諧激勵響應計算亦適用于結構自由度較少的情況.

將由式(21)或式(26)得到的輔助簡諧激勵響應代入到式(20)即可得到響應功率譜,文中分別稱之為基于振型疊加的輔助簡諧激勵廣義法與基于時程分析的輔助簡諧激勵廣義法.其中,對于基于振型疊加的輔助簡諧激勵廣義法,式(20)可改寫為

2.3 計算步驟

采用輔助簡諧激勵廣義法計算響應功率譜的計算步驟如下:

(1) 通過式(21)或式(26)計算響應Yk,l(ω,t);

(2) 結合式(18)、式(19)和Yk,l(ω,t),分別計算SYkYk(ω)和SYk1Yk2(ω) .

3 計算性能分析與比較

輔助簡諧激勵廣義法中響應的求解既可采用振型疊加法也可采用時程分析法,但前者以振型已知為前提,而已有文獻[20,23]對基于振型疊加的響應功率譜分析方法的性能分析時均不考慮振型計算的工作量,因此不宜將基于振型疊加的方法與基于時程分析的方法統一對比.為此,文中將基于振型疊加的輔助簡諧激勵廣義法與基于振型疊加的其他方法對比,將基于時程分析的輔助簡諧激勵廣義法與基于時程分析的其他方法對比.為簡化,僅分析一個頻率值處各算法的乘法次數,且不區分實數和復數.

3.1 基于振型疊加的輔助簡諧激勵廣義法的性能

根據式(27)可知基于振型疊加的輔助簡諧激勵廣義法所需的乘法次數NPPM-1為

其中,2rsm+r2m為求解廣義頻響函數矩陣所涉及的乘法次數,s2m+sm2為通過廣義頻響函數矩陣和激勵功率譜矩陣相乘所涉及的乘法次數.

為比較,本節亦給出了傳統CQC 法和基于振型疊加的虛擬激勵法的計算性能.

傳統CQC 法的表達式為

其所需的總乘法次數NCQC為[20]

基于振型疊加的虛擬激勵法的基本公式為[23]

式中,lj為SFF(ω)分解的m× 1 維的虛擬激勵向量,yj為lj對應的虛擬響應,c為SFF(ω)的秩,此處取c=m.基于振型疊加的虛擬激勵法所涉及的乘法次數NPEM-1為

其中,式(32)所需要的乘法次數為m3/6,式(33)按從右到左的順序進行矩陣相乘所涉及的乘法次數為2rs+r2+sm+s2,式(34)需要進行m次響應求解.

對比式(29)、式(31)和式(35),當s很大時,傳統CQC 法、基于振型疊加的虛擬激勵法和基于振型疊加的輔助簡諧激勵廣義法的計算量大致為r2s2,ms2和ms2.顯然,傳統CQC 的計算量遠大于后兩者.結合式(29)和式(35),基于振型疊加的虛擬激勵法和基于振型疊加的輔助簡諧激勵廣義法的計算量差值為激勵功率譜矩陣分解所需乘法次數m3/6＞0.顯然,當m≥2 時,基于振型疊加的輔助簡諧激勵廣義法的計算效率高于基于振型疊加的虛擬激勵法;當m=1 時,由于激勵功率譜矩陣無需分解,兩者計算量相等.需指出的是,若需考慮多個SFF(ω),式(28)和式(35)可將不包含SFF(ω)的計算結果存儲,而式(35)則需重新分析,因此式(29)對于此類情形優勢將更為突出.

3.2 基于時程分析的輔助簡諧激勵廣義法的性能

根據式(20)與式(26)可知基于時程分析的輔助簡諧激勵廣義法所需的乘法次數NPPM-2為

式中,p為時域積分步數.

為比較,本節亦給出了基于時程分析的虛擬激勵法的計算性能.與基于振型的虛擬激勵法相比,只需將式(33)代替以時程分析結果.若采用精細積分法進行時程分析,則虛擬激勵法所需乘法次數NPEM-2為[33]

圖1 給出了NPEM-2與NPPM-2的比值和自由度數s的關系圖,其中p=1000.易知,當s較小時,輔助簡諧激勵廣義法的計算效率低于虛擬激勵法,當s增大時,輔助簡諧激勵廣義法的計算效率將高于虛擬激勵法,且激勵數目越多優勢越明顯.

圖1 NPEM-2/NPPM-2 和自由度數目s的關系Fig.1 The relationship between NPEM-2/NPPM-2 and the number of degrees of freedom s

4 算例分析

算例采用文中建議的輔助簡諧激勵廣義法計算響應功率譜,且將其與虛擬激勵法和傳統的CQC 法進行對比驗證建議方法的精度和效率.為便于區分,本節將基于振型疊加的輔助簡諧激勵廣義法記為MAHEGM,基于時程分析的輔助簡諧激勵廣義法記為TAHEGM,基于振型疊加的虛擬激勵法記為MPEM,基于時程分析的虛擬激勵法記為TPEM,傳統CQC 法記為CQC.

4.1 算例1

考察如圖2 所示的4 層剪切框架在隨機激勵下的隨機響應.每層質量為2.5×104kg,剛度為 8.0×106N/m,采用 Rayleigh 阻尼模型且阻尼矩陣C=aM+bK,其中a=0.368 9,b=0.003 3.框架的每一層均作用有隨機激勵.根據激勵種類的不同分為兩種工況,即工況1 (記為case 1) 為一致激勵和工況2 (記為case 2) 為非一致激勵.

圖2 四層剪切框架Fig.2 Four-story shear building

4.1.1 工況1

該工況下,向量Q為[1,1,1,1]T.平穩隨機激勵F(t)=[F(t)]的功率譜密度函數S(ω)為

其中,ωg=20 rad/s,ωf=2 rad/s,ξg=0.85,ξf=0.85,S0=0.010 7 m2/s3.此外,計算中取ωL=0,Δω=0.104 7 rad/s,N=1500.

由于結構自由度數目為4,本文提出的MAHEGM和TAHEGM 都可用于求解響應功率譜.其中,MAHEGM 中取r=4;TAHEGM 中,時域積分區間為[0,40] s,積分步數為4000 步.圖3 和圖4 分別給出部分樓層位移響應的自功率譜和互功率譜計算結果.為比較,圖中亦給出了CQC,MPEM[23]和MAHEGM 的結果.

圖3 第4 層位移的自功率譜Fig.3 The auto power spectrum of displacement at fourth floor

圖4 位移的互功率譜Fig.4 The cross-power spectrum of displacement

通過圖3 和圖4 可以看出MAHEGM,TAHEGM,MPEM,TPEM 和CQC 得到位移響應功率譜曲線在整個頻域區間吻合較好,并根據各方法的位移響應功率譜得到的樓層位移方差也是相等的,其中1 層、2 層、3 層和4 層的位移方差依次為5.46×10-5,1.89×10-3,3.41×10-3,4.44×10-3.

此外,在TAHEGM 中,根據式(17) 可通過Yk,l(ω,t) 確定HA,k1,k2,p,q(ω).圖5 給出了部分HA,k1,k2,p,q(ω)的計算結果.與此同時,圖5 中亦給出了的精確解(記為HE,k1,k2,p,q(ω)).通過對比不難發現,由TAHEGM 計算出的HA,k1,k2,p,q(ω)的幅值與HE,k1,k2,p,q(ω)的幅值在整個頻率域上吻合的較好,驗證了本文提出由HA,k1,k2,p,q(ω) 代替HE,k1,k2,p,q(ω)的有效性.

圖5 頻響函數相乘的幅值Fig.5 The amplitude of frequency response function multiplication

4.1.2 工況2

該工況下,向量Q的數值為

平穩隨機激勵向量F(t)=[F1(t),F2(t)]T的互功率譜密度函數SFi,F j(ω) 為

其中,SF,F(ω)為自功率譜密度函數且表達式為

此外,計算中取ωL=0,Δω=0.104 7 rad/s,N=1500.該工況下仍分別采用MAHEGM 和TAHEGM進行功率譜分析,其中r值、時域積分區間和時間步數與工況1 一致.

圖6 和圖7 分別給出MAHEGM,TAHEGM,MPEM,TPEM 和CQC 得到的部分樓層位移的自功率譜和互功率譜.從圖中曲線和表中數值可以看出,MAHEGM 和TAHEGM 能夠得到與MPEM,TPEM 和CQC 相同精度的結果.根據各方法的位移響應功率譜曲線得到的樓層位移方差也是相等的,其中1 層、2 層、3 層和4 層的位移方差依次為2.45×10-4,8.36×10-4,1.50×10-3,1.93×10-3.

圖6 第4 層位移的功率譜Fig.6 The power spectrum of displacement at fourth floor

圖7 位移的互功率譜SY2Y3 (ω)Fig.7 The cross power spectrum SY2Y3 (ω) of displacement

表1 列出工況1 和工況2 中各方法得到的樓層位移方差時所消耗的時間.本文所有程序均在處理器為i5-9400 F、主頻為2.90 GHz 和內存為48 GB的計算機上運行.通過表1 可知,對于低維結構,基于振型分解的方法相對時程分析的方法具有明顯優勢,且MAHEGM 計算效率優勢更為顯著.對于一致激勵和非一致激勵情況下,基于振型分解的方法中MAHEGM 計算效率最高;基于時程分析的方法中TAHEGM 的計算效率最高.在振型階數、激勵的積分點數和頻率離散值數目相同的前提下,隨著激勵數目的增多,MAHEGM 的計算效率提高越明顯.因此,對于低自由度系統,本文建議采用MAHEGM 進行隨機響應分析.

表1 不同方法的計算時間Table 1 The computation time of different methods

4.2 算例2

考察如圖8(a)所示的三維框架結構在隨機激勵下的隨機響應.柱截面和梁截面繪制于圖8(c),其中柱截面h=0.35 m,梁截面h=0.45 m.材料密度為7.85 ×103kg/m3,質量比例阻尼參數和剛度比例阻尼參數分別為0.077 8 和0.020 3.該結構在Y方向承受荷載的隨機過程,且荷載作用點的位置如圖8(a)和圖8(b)中①～ ?.對于任意i點處與j點處的荷載互功率譜密度函數定義為

圖8 三維框架結構(單位:m)Fig.8 Three-dimension frame (unit:m)

其中,SFiFi(ω) 為雙邊自功率譜密度函數,γij(ω) 為第i點和第j點的空間相干函數

式中,xi和zi為第i點的X方向和Z方向坐標.

以荷載方差為2.27×105為控制條件,考慮雙邊自功率譜密度函數SFiFi(ω) 的類型對響應的影響,設計3 種工況,且功率譜形式來源于Davenport 譜[34]、Kaimal 譜[35]和Karman 譜[36],分別為

(1) 工況1(記為case 1)

(2) 工況2(記為case 2)

(3) 工況3(記為case 3)

取ωL=0.01 rad/s,Δω=0.01 rad/s,同時N=100.上述3 種激勵的功率譜如圖9 所示,由圖9 曲線對比可知,盡管3 種工況下激勵的方差一致,但3 種功率譜曲線在不同頻率點處的幅值信息卻大不相同.

圖9 激勵功率譜Fig.9 The power spectrum of excitation

在工況1 中,采用CQC,TAHEGM 和虛擬激勵法,其中,CQC 振型階數取為1,5 和30,TAHEGM的時域積分區間為[0,20] s,時域積分步數為2000步,虛擬激勵法采用諧響應分析方法[28](記為SPEM)并將結果作為標準解.通過上述方法得到部分樓層位移方差,如表2 所示.由表可知,CQC 在取振型階數1 和5 的結果與標準解的誤差很大,這說明主觀確定振型階數對CQC 的結果有很大影響.同時CQC在取振型階數30 的結果與SPEM 的結果接近,說明30 階振型是能夠精確計算響應所需階數,為此本文將該算例下30 階振型認為是可以預先確定準確計算輔助簡諧激勵響應所需的振型最高階數,并將其作為已知條件,采用MAHEGM 計算位移功率譜并將方差列于表2 所示,顯然,MAHEGM-30 的結果也能與SPEM 的結果接近.

在工況2 和工況3 中,采用SPEM,CQC-30,TAHEGM 和MAHEGM-30 計算位移功率譜并將位移方差列于表2.表中,CQC-i是CQC 通過前i階振型計算響應功率譜;MAHEGM-30 是MAHEGM 通過前30 階振型計算響應功率譜;ε為相對標準差.由表可知,相對SPEM,CQC-30,MAHEGM-30 和TAHEGM 在這兩種工況中都可得到比較精確的結果.

表2 不同樓層位移方差Table 2 The variances of displacements at different floors

圖10 給出工況1 中各方法得到的第6 層自功率譜.由圖中曲線可知,CQC-1 明顯偏離SPEM 對應的曲線,CQC-5 的曲線與SPEM 的曲線比較接近,TAHEGM,MAHEGM-30,和CQC-30 和SPEM 的曲線比較吻合.

圖10 在工況1 中第6 層位移自功率譜SY6Y6 (ω)對數圖Fig.10 The auto-power spectrum SY6Y6 (ω) of displacement at 6th floor in case 1 with logarithmic scale

圖11 和圖12 給出由SPEM,TAHEGM,MAHEGM-30 和CQC-30 在不同工況下的樓層位移自功率譜和互功率譜的對數坐標圖.由圖中曲線可知,MAHEGM-30 和TAHEGM 與SPEM 在整個頻域區間吻合較好.

圖11 第4 層位移自功率譜SY4Y4(ω)對數圖Fig.11 The auto-power spectrum SY4Y4 (ω) of displacement at 4th floor with logarithmic scale

圖12 樓層位移的互功率譜SY3Y5 (ω)對數圖Fig.12 The cross-power spectrum SY3Y5 (ω) of displacement with logarithmic scale

除位移響應外,文中亦對內力響應進行了分析.由于直接采用振型疊加類方法計算內力功率譜時需傳遞矩陣[23],計算過程復雜,不便于應用,因此,文中僅給出了TAHEGM 和SPEM 的結果,如圖13 和圖14所示.從圖中可以明顯地看出TAHEGM 所得曲線與SPEM 的對應曲線在整個頻域區間保持一致.

圖13 點1 的剪力功率譜對數圖Fig.13 The power spectrum of shear force at point 1 with logarithmic scale

圖14 點2 的彎矩功率譜對數圖Fig.14 The power spectrum of bending moment at point 2 with logarithmic scale

表3 給出了不同方法在不同工況下計算位移方差的耗時和總耗時.由表可知,MAHEGM-30 的計算效率遠高于CQC-30.雖然MAHEGM-30 比TAHEGM有較高的計算效率,但MAHEGM 需要以振型已知為前提,對大型復雜結構,MAHEGM 適用范圍將會受限.TAHEGM 的耗時明顯低于SPEM,值得指出的是TAHEGM 在工況1 中計算位移方差所消耗的時間為7579.91 s,其中在TAHEGM 中確定系數所消耗的時間為7543.38 s,計算簡諧激勵對應的響應時間為32.52 s,與激勵的功率譜對應相乘的時間僅為0.017 s.由于TAHEGM 在工況1 中已經存儲HA,k1,k2,p,q(ω),在工況2 或工況3 作用中求解時只需將HA,k1,k2,p,q(ω)與激勵功率譜矩陣對應相乘相加即可,不需要對激勵功率譜矩陣進行重分析.因此,在工況2 和工況3 中TAHEGM 計算每層位移方差所消耗的時間為0.017 s.因此,TAHEGM 在針對高維復雜結構遭受多工況的響應功率譜計算具有顯著優勢.

表3 不同方法的計算時間Table 3 The computation time of different methods

比較表2 中同一樓層在不同工況下的位移方差數值可以看出在激勵的方差相同而激勵形式不同時,位移方差卻有明顯差異,相對差異最大達到69%左右,說明在結構設計中對激勵形式的選擇需要慎重考慮,進一步說明有必要對同一結構進行激勵參數分析.

通過圖10～ 圖14 也可以發現工況2 和工況3 在低頻處對響應功率譜幅值的影響比工況1 大,說明不同的激勵形式對響應功率譜的幅值影響也不盡相同.

5 結論

對于平穩高斯激勵下線性結構隨機振動問題,針對現有方法必須依賴振型截斷或激勵功率譜矩陣分解的不足,本文首先推導了與CQC 法等價的廣義響應分析方法,然后引入輔助的簡諧激勵實現了其直接計算,從而形成了一類新的隨機振動分析方法—輔助簡諧激勵廣義法.在此基礎上,結合振型分解法或時域顯式法對輔助簡諧激勵響應的高效求解,給出了輔助簡諧激勵廣義法的兩種高效算法.算例結果表明,輔助簡諧激勵廣義法在保證與虛擬激勵法計算精度相當的同時,其計算效率相對虛擬激勵法明顯提高,特別是針對同一結構的多工況問題,輔助簡諧激勵廣義法的整體計算效率顯著提高.

值得指出的是,盡管本文建議方法是以平穩激勵下線性結構響應為研究對象,但類似思路可以拓展至非平穩激勵[37]和非線性結構[38-39]的情形,亦是后續的研究重點.