基于移動可變形組件法(MMC)的運載火箭傳力機架結構的輕量化設計1)

李佳霖 * 趙 劍 孫 直 *,**, 郭杏林 * 郭 旭 *,**,

* (大連理工大學工業裝備結構分析國家重點實驗室,遼寧大連 116024)

? (西安航天動力研究所,陜西西安 710100)

** (大連理工大學寧波研究院,浙江寧波 315016)

引言

隨著載人航天、探月、北斗組網和火星探測等重要工程的建設,我國航天事業進入到了自主研發的高速發展期.運載火箭是航天事業發展的重要基石,作為航天器進入空間的主要載具,其技術水平決定了進一步探索廣闊空間的能力,對我國太空戰略發展有著重要意義.運載能力是運載火箭最重要的參數指標,主要受結構質量比、發動機比沖、速度損失和級間比等因素影響[1-2].我國航天目前亦在研制新一代運載火箭,以尋求更優的箭體尺寸和更高的發動機推力.在運載火箭構型與動力配置已基本確定的情況下,結構部件輕量化設計(如,運載火箭的網格加筋柱殼結構優化[3-5]、發動機結構輕量化設計[6-9]、捆綁式火箭連接及尺寸優化設計[10-12]、輕質箭體結構優化設計[13]、雙推力室機架結構優化設計[14-15]等)可有效降低結構質量、提高發動機推重比,進而改進火箭的運載能力.傳力機架結構作為運載火箭發動機與箭體之間連接的關鍵部件,其剛度對發動機推力載荷能否有效傳遞至箭體起著決定性作用,其重量又直接影響運載火箭發動機的推重比(發動機推重比越大,火箭運載能力越強),因此傳力機架結構在輕量化設計方面有著極高的要求.

拓撲優化技術作為近年來在工程結構輕量化設計方面的新興技術手段,在航空航天、車輛工程、海洋工程、土木水利、材料工程和生物工程等多個領域都取得了較為廣泛的應用,在各類高端裝備設計與制造方面表現尤為活躍.拓撲優化技術的實現方式與傳統輕量化設計的反復試錯法不同,通過在給定的設計區域內施加目標函數和約束條件,尋求在該區域下最優的材料分布和傳力路徑,進而使材料利用率達到最高.目前,拓撲優化技術在運載火箭的局部結構的優化設計中已取得了較為顯著的成果,在變密度法(solid isotropic material with penalization,SIMP)[16-17]的框架下,研究工作者實現了燃料貯箱短殼結構的拓撲優化設計[18]、捆綁式火箭機構的輕量化設計[19]、連接支撐結構的動響應拓撲優化設計[20]、螺栓法蘭密封結構的拓撲優化設計[21]、火箭發動機結構的拓撲優化[22]等.我國新一代運載火箭“長征五號”在設計中就采用了拓撲優化的理論與方法,實現了整體的結構優化,成功減重645 kg,單發火箭的發射成本節省約2000 萬.

當前運載火箭部分結構設計所使用的拓撲優化方法主要是基于變密度法的隱式框架,但該方法通常存在棋盤格、灰度單元、優化結構無法與CAD/CAE系統直接連接等問題[23].移動可變形組件法(moving morphable component,MMC)是郭旭教授等[24-26]于2014 年首次提出的一種顯式框架下的拓撲優化方法,與傳統的拓撲優化方法相比,具有設計變量少、顯式的幾何信息、與商業有限元軟件直接連接等優勢.本文基于MMC 框架,提出了一種運載火箭傳力機架結構的輕量化設計方法,在保證結構重量(給定體積分數)的情況下,實現傳力機架結構的剛度最大化設計.這種設計方法不僅可以保障運載火箭發動機的推重比、提高運載火箭傳力機架的穩定性,還對未來進行標準型號機架設計以及可重復使用式運載火箭[27]的研究具有十分重要的意義.

1 運載火箭傳力機架結構拓撲優化問題描述

1.1 傳力機架結構設計要求

傳力機架是發動機與箭體連接的重要部件,其作用貫穿運載火箭發射的整個階段,為將發動機推力總載荷有效傳遞至錐段、箭體,傳力機架結構應具備以下幾個設計要求.

(1)剛度要求.傳力機架作為傳遞發動機推力載荷的重要載體,需承擔運載火箭發射時發動機產生的全部推力,其剛度是結構設計時考慮的重要設計指標.若傳力機架剛度較低,則會在運載火箭發射的瞬間因無法承受發動機產生的全部載荷而使推力載荷直接作用到箭體內部設備,進而造成火箭損壞或重大爆炸事故.在傳力機架拓撲優化設計中,剛度越高越能提高運載火箭發射的安全性.

(2)質量要求.傳力機架結構設計對質量指標的要求是及其苛刻的,機架質量直接影響了運載火箭的運載能力和質量比.若傳力機架質量過高,即便滿足結構剛度要求,也會增加運載火箭的發射成本,還會使已設計完善的發動機無法達到當前運載火箭所需的推重比,致使發射任務失敗.在傳力機架拓撲優化設計中,質量越輕越能提高運載火箭的運載能力.

(3)設計空間要求.運載火箭內部管道和組件排布復雜、尺寸位置固定,且不可避免地會穿過傳力機架,其所在區域均為不可設計區域,這對傳力機架設計空間的選取提出了較高的要求.

(4)制造要求.優化出的新結構如果難以生產加工或帶來了昂貴的生產成本,就喪失了其工程應用價值.在傳力機架拓撲優化設計時,根據生產加工條件加入適當的制造約束,具有重要的工程意義.

考慮到上述傳力機架結構的設計要求之后,再進行結構的輕量化研究.

1.2 MMC 拓撲優化方法簡介

MMC 方法采用具有顯式幾何表達信息的組件作為設計的基礎單元,通過組件的移動、旋轉、交叉、覆蓋等方式實現結構的拓撲變化,如圖1 所示.

圖1 MMC 方法示意圖Fig.1 The sketch map of MMC method

在MMC 框架下,采用拓撲描述函數 φs,來描述設計域中材料的分布

式中,D表示預先給定的設計域,Ωs表示結構拓撲在設計域所占據的區域,φs(x) 表示由各個組件構成的整體結構的拓撲描述函數,即

其中,nc表示設計域內組件的個數,φi(x),i=1,2,···,nc表示第i個組件的拓撲描述函數.根據文獻[28-30],拓撲描述函數的形式一般有兩種形式,即歐拉描述和拉格朗日描述.本文采用基于歐拉描述形式來表示一個三維立方體組件,故第i個組件的拓撲描述函數為

其中,p為控制超橢球形狀的參數,本文p=6[26].對于式(3)和式(4)中,L1i,L2i,L3i和 (x0i,y0i,z0i) 分別表示為組件在x方向,y方向和z方向的半長以及中心坐標,如圖2 所示.在式(6)中,α ,β和 γ 分別表示組件由全局坐標系O-x-y-z到局部坐標系O′-x′-y′-z′的轉角,轉換關系如圖3 所示.本文選取以上描述形式的結構組件用于運載火箭傳力機架的拓撲優化設計中.

圖2 三維組件的幾何描述Fig.2 The geometry description of a three-dimensional structural component

圖3 坐標變換示意圖Fig.3 A schematic illustration of the coordinate transformation

1.3 傳力機架結構優化的問題列式

根據上述對運載火箭傳力機架結構的設計要求與MMC 拓撲優化框架的描述,當前問題的目標函數可定義為剛度最大化(柔度最小化),約束條件需施加質量約束,考慮到約束的敏感程度,將其等效的替換為體積分數.因此單工況作用下的傳力機架結構優化的問題列式(離散形式)可表示為

其中,Di=(x0i,y0i,z0i,L1i,L2i,L3i,sai,sbi,sti)T表示第i個組件設計變量的向量.對于式(7)中,f,K,u,,和UD分別表示傳力機架受到的外載荷、結構的剛度陣、傳力機架的結構位移場、狄利克雷邊界Γu上給定的位移、設計域內實體材料最大體積上限和設計變量的可行域.

在運載火箭發射過程中,傳力機架往往不在單一工況下工作,多工況的傳力機架問題列式可改寫為:

其中,Cj,uj和fj分別表示在第j個工況作用下,結構的柔度、位移響應和外載荷,wj表示工況為第j個工況時的權重因子(本文wj=1),N表示工況總數.

2 運載火箭傳力機架的數值求解

2.1 傳力機架的有限元分析

為保證有限元分析結果更加貼合實際工程情況,需采用主流的有限元商業軟件實現結構的仿真分析.在拓撲優化過程中,由于設計域內材料的改變,結構的剛度陣K可以表示為

其中,Ks表示實體單元的單元剛度陣,ρe表示第e個單元實體材料占據的體積分數,即[31]

其中,ε和 δ 為兩個較小的正數,分別用于控制Heaviside函數0～1 取值之間過渡區的寬度以及避免結構剛度陣的奇異.

2.2 靈敏度分析

根據文獻[25-26],在單一工況作用下,其目標函數C對設計變量d(如x0,α 等)的偏導,可以表示為

其中,ue和Ke分別表示單元位移和單元剛度.同理,對于多工況的情況下,加權形式的目標函數CA的敏度,可寫為

此外,對于體積分數的敏度如下

3 運載火箭傳力機架結構輕量化設計

3.1 優化設計流程

基于上述理論基礎,建立運載火箭傳力機架結構輕量化設計平臺.設計流程主要分為3 個部分,如圖4 所示,分別為前處理階段、優化預設階段和拓撲優化階段,具體如下:

圖4 傳力機架結構輕量化設計流程Fig.4 Lightweight design process of transmission frame structure

(1)前處理階段,將優化設計的幾何模型導入到相應有限元軟件中,劃分有限元網格,施加載荷邊界條件,確定材料屬性,最終導出CAE 模型文件;

(2)優化預設階段,確定當前優化問題的目標函數,定義設計約束,根據設計域的形狀布置相應的MMC 初始組件,必要時施加相關制造約束;

(3)拓撲優化階段,每一迭代步均通過主流商業軟件進行有限元分析,并采用移動漸近線算法(method of moving asymptotes,MMA)[32]更新組件的設計變量,最后根據收斂條件判斷是否結束優化.

3.2 測試算例

根據運載火箭傳力機架結構的限界以及相關接口位置的資料,得到傳力機架的設計空間,其幾何模型如圖5 所示.根據傳力機架各個部分的結構設計要求,將模型劃分為多個區域,即設計區域(見圖5綠色部分)和不可設計區域(見圖5 紅色部分).基于MMC 框架的拓撲優化設計平臺,對設計空間的幾何模型劃分有限元網格,為保證網格可以準確地反應設計空間的幾何特征,共劃分出1 577 532 個節點和1 501 352 個六面體單元.此外,考慮到實際加工生產的成本,需要對傳力機架結構施加對稱性制造約束.

現有傳力機架結構在工程中常用的材料為鋼材,其相應材料屬性分別為楊氏模量E=200 GPa、泊松比 ν=0.3和密度 ρ=7850 kg/m3.通過分析運載火箭的工作狀態,傳力機架常常承受兩種載荷工況,即零位狀態和搖擺狀態.在這兩種工作狀態下,為了簡化分析流程,將傳力機架與錐段相連接位置固定,其載荷邊界條件如圖5 所示.在多輪優化測試分析下,最終確定設計域內材料的體積分數為0.18.設計域內,初始組件的布局情況如圖6 藍色部分所示,其中組件數目為384 根,設計變量數目僅為3456.

圖5 傳力機架的設計空間(單位:mm)Fig.5 Design space for the transmission frame structure (unit:mm)

圖6 傳力機架的初始組件布局Fig.6 The initial design for the transmission frame structure

按照上述說明,最終的優化結果如圖7 所示.MMC優化后的結果與初始設計的傳力機架有較為明顯的差別,拓撲結果路徑清晰,幾乎不存在過多的中間密度單元且生成的結構分布合理.中間載荷區域與錐段相連的位置形成了翼板結構,進一步提高了傳力機架在軸向推力作用下的抗彎能力.在優化迭代過程中,目標函數和體積分數的變化如圖8 所示,目標函數在前十幾步快速下降后趨于平穩并逐漸收斂.

圖7 傳力機架的優化結果Fig.7 The optimized structure for the transmission frame structure

圖8 優化迭代歷史Fig.8 The convergence history of the transmission frame structure

根據優化后的結果,導入商業CAD 軟件,并加以適當的工程化調整,生成的幾何模型如圖9 所示.對生成的幾何模型重新進行仿真分析,相應的兩個工況下的有限元分析結果,如圖10 所示.

圖9 傳力機架的優化后模型Fig.9 The optimized geometric model of the transmission frame structure

為了證明當前算法在運載火箭傳力機架結構設計方面的有效性,將優化后模型與原始設計模型(如圖11 所示)對比分析,原始設計模型在兩種工況下的有限元分析結果如圖12 所示.通過與圖10 對比,在零位工況狀態下,兩個結構的最大位移響應分別為3.860 mm(優化后模型)和5.209 mm(原始設計模型),可以看出由于增加了翼板等結構,優化后模型的位移響應明顯要低于原始設計模型,其結構剛度得到了有效的提高.在搖擺工況狀態下,兩個結構的最大位移響應分別為3.908 mm(優化后模型) 和10.141 mm(原始設計模型),優化后模型同樣要優于原始設計模型.通過兩種工況下有限元的對比分析,本文算法在傳力機架結構設計方面的有效性得到了很好的證明.

圖10 優化后模型的有限元分析Fig.10 The finite element analysis of the optimized geometric model

圖11 原始設計模型Fig.11 The original design model

圖12 原始設計模型的有限元分析Fig.12 The finite element analysis of the original design model

4 結論

本文研究了MMC 拓撲優化技術在運載火箭傳力機架結構輕量化設計中的應用,通過對傳力機架結構設計特點和要求的分析,確定了剛度最大化目標和體積約束函數,在MMC 拓撲優化框架下建立了傳力機架輕量化設計的問題列式,并推導出目標函數和約束函數的靈敏度.基于以上理論基礎,先給出了MMC 框架實現傳力機架拓撲優化設計的流程平臺,再結合實際工程中運載火箭傳力機架的模型以及其工況,進行優化前處理和優化預設,最后通過優化迭代獲得傳力機架的優化構型和幾何模型,采用有限元軟件重新驗證分析,并與原始設計模型對比分析,以證明本文方法的有效性.