怎樣求多個絕對值之和的最小值

施玲瑜

在解題時，我們經常遇到絕對值問題.解答此類問題，通常需要靈活運用分類討論思想和數形結合思想.其中多個絕對值之和的最小值問題的難度系數較大， 且較為復雜，很多同學在遇到此類問題時經常選擇放棄.對此筆者利用幾個實例探討了求多個絕對值之和的最小值的方法.

例1.求|x -1|+|x -2|+|x -3|+|x -4|的最小值.

解：將|x -1|， |x -2|， |x -3|， |x -4|看作數軸上的點1，2，3，4到動點 x 的距離，則|x -1|+|x -2|+|x -3|+|x -4|表示數軸上的點1，2，3，4到動點x 的距離之和，由圖可知， 當2≤ x ≤3時，|x -1|+|x -2|+|x -3|+|x -4|可取最小值，即為1到4之間的距離與2到3之間的距離之和3+1=4.因此，|x -1|+|x -2|+|x -3|+|x -4|的最小值為4.

對于求x -a +x -b +x -c +x -d 的最小值問題，其常見的解題思路是：①將問題轉化為數軸上點x （未知點）到 a，b，c，d 四個點的距離之和最小問題;②利用數形結合法進行分析，確定動點的位置;③求得最小值.若 a <b <c <d ，則當 b ≤ x ≤ c時，|x -a|+|x -b|+|x -c|+|x -d|取最小值（d -a）+（c -b），即為點 d、 a 之間的距離與點c、 b 之間的距離之和.

例2.已知 a1≤a2≤…≤an -2≤an -1≤an，求|x -a1|+|x -a 2|+|x -a3|+…+|x -an|的最小值.

分析：需將問題轉化為數軸上點x（未知點）到 a1， a2， a3，…， an 點的距離之和最小問題.由于 n 可為奇數，也可為偶數，所以需分兩種情況進行討論.當n 為奇數時，x 在數軸上的第個點處，此時絕對值之和最小;當 n 為偶數時，x 在數軸上的第個點或第+1個點處，此時絕對值之和最小.

解：分兩種情況討論：

當 n =2k +1（k ∈N+），x =a 時，絕對值之和最小，絕對值的最小和為（an -a1）+（an -1-a2）+（an -2-a3）+…+（a -a ）;當 n =2k（k ∈N+），a ≤ x ≤a 時，絕對值之和最小，絕對值的最小和為（an -a1）+（an -1-a2）+（an -2-a3）+…+（an +2-an）2?? 2

解答此類問題，需將問題轉化為數軸上點x（未知點）到 a1， a2， a3，…， an 點的距離之和最小問題.當 n =2k +1（k ∈N+）時，要使得距離之和最小， x 應取中間的數，即在數軸上的第 個點處;當 n =2k（k ∈N+）時，要使得距離之和最小， x 應取中間兩個數之間的數，即在數軸上的第個點或第+1個點處.

例3.求|x -1|+|x -2|+|x -3|的最小值.

分析：，，的最小公倍數為 ，將和式通分，得1|x -1|+1|x -2|+1|x -3|=1×（6|x -1|+4|x -2|+3|x -3|），這樣便將問題轉化為求|x -a1|+|x -a 2|+|x -a3|+…+|x -an|的最小值問題來求解.

解：|x -1|+|x -2|+|x -3|= ×（6|x -1|+4|x -2|+3|x -3|） ，

由系數6，4，3可知一共有13個點，正中間的點是第7個，即當 x =2時，|x -1|+|x -2|+|x -3|取得最小值，最小值為 += .

對于系數為分數的絕對值之和最小問題，需先通分，將分數轉為整數，將問題轉化為系數是整數的絕對值之和最小問題來求解.值得注意的是，絕對值前面的系數為點的個數.

多個絕對值之和的最小值問題對同學們的邏輯思維能力和綜合分析能力的要求較高.同學們在解題時要學會靈活運用數形結合思想，將問題轉化為數軸上的點之間的距離最小問題來求解，找到絕對值之和取得最小值時的動點，便可順利解題.

（作者單位：江蘇省啟東市東南中學）