如何用頻率分布直方圖估計樣本總體的數字特征

李嬋平

在得到頻率分布直方圖后，我們常常要利用頻率分布直方圖估計總體的數字特征，即眾數、平均數、中位數、方差和標準差.

1.眾數是數據中出現次數最多的數.在頻率分布直方圖中，頻率最大的組的中點值就稱為眾數.若有多個組是相鄰組，且各組的頻率相等，那么我們可以把這幾組看成一個大組，將大組的中點值作為這組數據的眾數.

2.平均數是所有數據的和除以數據總個數的值，反映了數據的平均水平.但是在頻率分布直方圖中，所有數據的取值并不是具體的，給出的只是某組數據出現的頻率.因此，在求平均數時，我們可以取直方圖中這一組數據的中點值，將其作為這一組數據的代表值，記為 xi? ，并設該組內數據出現的頻數為 ni? ，那么這組數據的和就是nixi ，如果所有數據分布在 m 個組內，那么 i=1，2， …，m， 各組內數據的和依次是 n1x1， n2x2， …，nmxm ， 所有數據的和就是n1x1+n2x2+…+nmxm ，，若數據總個數為 n ，則n =n1+n2+…+nm ， 所有數據的平均數= n1x1+n2x2+…+nmxm該式可變形為= n x1+ n x2+…+ n xm ， 由于第一組的頻率為f1= 第二組的頻率為 f2=? 第 m 組的頻率為fm= ， 所以所有數據的平均數 =x1f1+x2f2+…+xmfm.這就是利用頻率分布直方圖計算平均數的公式.

3.中位數是指在按照大小順序排列的一組數中居于中間的一個數據.若中間有兩個數，則取這兩個數的平均數.在頻率分布直方圖中，不大于中位數的數據占所有數據的一半，這些數據出現的頻率是0.5;不小于中位數的數據占總數據的一半，這些數據出現的頻率也是0.5.因此，如果過中位數所在的點作一條垂直于橫軸的直線，那么這條直線把頻率分布直方圖中的矩形分成面積相等的兩部分，直線左側的矩形面積為一半，右側的也為一半.我們可以根據頻率分布直方圖的這個特點，通過累計頻率來求得中位數.其步驟為：第一步，將各組數據的頻率計算出來，列出表格;第二步，從第一組開始累計頻率，如果從第一組開始加到某一組時頻率之和大于0.5，那么中位數就在這一組數據內;第三步，設中位數為 m .求出m 所在組的頻率，并且根據頻率等于對應組的矩形的面積，得到一個關于 m 的一元一次方程，解方程就可以確定 m 的值.

下面舉例說明.

例1.一個社會調查機構就某地居民的月收入調查了1000人，并根據所得數據畫出樣本頻率分布直方圖.試根據圖形，求該地居民月收入的眾數、中位數、平均數.

解析：（1）求眾數.由于第三組和第四組所對應的矩形高度是相同的，且這兩組是相鄰的，需把第三組和第四組看成一個大組，即2000～3000，并且該組的中點值為2500，即該地居民月收入的眾數是2500元.

（2）求中位數.第一步，將各組的頻率計算出來，并列出表格，如表1：

第二步，從第一組起累計頻率，可知前三組頻率之和為0.55>0.5，故可以確定中位數在第三組.

第三步，設中位數為m ，根據中位數的特點可知，數據落在[1000， m ）內的頻率為0.5，由于前兩組的頻率之和為0.1+0.2=0.3，所以[2000，m）內的頻率是0.2.在頻率分布直方圖中過橫軸上的點 m 作一條垂直于橫軸的直線，可以得到數據范圍[2000，m ）所對應的小矩形，該矩形的面積是0.2，矩形的寬是 m -2000，高是△xi =0.0005， 所以（ m -2000）×0.0005=0.2，解得 m =2400，故該地居民月收入的中位數是2400元.

（3）求平均數.第一步，將各組的頻率和中點值列成表格（見表2），

于是平均數 =1250×0.1+1750×0.2+2250×0.25+2750×0.25+3250×0.15+3750×0.05=2400，故該地居民月收入的平均數是2400元.

4.方差反映數據相對于它的平均數的偏離程度，方差公式是 s2=（x1-）2+（x2-）2+…+（xn -）2公式中的分子是 n 個數據 x1，x2， …，xn 分別與它們的平均數的差的平方的和，分母是數據的總個數.在頻率分布直方圖中，每一組數據的頻數就是每一組的中點值，套用方差公式，就可以求得所有數據的方差.設n 個數據分為 m 組， m 組的頻數分別是 n1，n2 ， … ，nm? ， 則 n1+ n2+…+nm=n ， 所有數據的方差 s2=n1（x1-）2+n2（x2-）2+…+nm（xm -）2把分子拆開得，s2= n （x1-）2+ n （x2-）2+…+ n （xm -）2， 由于各組的頻率分別為f1= ，f2= ， …，fm = ， 所以 s2=f1（x1-）2+f2（x2-）2+…+fm（xm -）2， 這就是利用頻率分布直方圖求方差的公式，這里 x1，x2，…，xm 分別是各組的中點值，而 xˉ 是所有數據的平均數.

5.標準差是方差的算術平方根，標準差公式為

例2.求例1中該地居民月收入的標準差（保留兩位小數）.

解析：先求方差.由例1知該地居民月收入的平均數是 2400 元，即 xˉ= 2400， 而各組的代表數據分別是x1 = 1250，x2 = 1750，x3 = 2250，x4 = 2750，x5 = 3250，x6 = 3750，又由表1知各組頻率分別為 f1 = 0.1，f2 = 0.2，f3 = f4 = 0.25，f5 = 0.15，f6 = 0.05， 因此方差 ，

再求標準差. s = s2 = 452500 ≈ 672.68， 故該地居民月收入的標準差是672.68元.

利用頻率分布直方圖求數據的眾數、中位數、平均數及標準差，是現實生活中經常遇到的問題，這也是高考試題中經?？疾榈膯栴}，解題的關鍵是要記住公式，明確眾數、中位數、平均數、方差及標準差等數字特征的意義，并會正確套用公式進行計算.

（作者單位：陜西省神木市第七中學）