串級不穩定時滯過程的二自由度Smith預估控制

杜祎君，成 咪，任振濤

(太原科技大學 電子信息工程學院，太原 030024)

在化學、生物等相關工業領域中，常有不穩定過程的存在。與穩定過程相比，開環不穩定過程更難控制，而當過程中存在時滯時，由于系統穩定裕度的降低，進一步加深了控制器的設計難度，為此許多先進、高效的控制算法被不斷地提出。文獻[1-2]針對二階不穩定時滯過程，基于內?？刂婆cH2最優控制設計了PID控制器，顯著提升了系統的抗擾能力。文獻[3-6]使用Smith預估器補償時滯，降低了不穩定時滯過程的控制難度，并通過二自由度控制策略，使系統同時獲得了良好的設定值跟隨特性與干擾抑制特性。文獻[7-8]基于串級控制策略能快速抑制干擾的優勢，提出了副回路采用內?？刂?，主回路采用設定值濾波器串聯PID控制器的方法，該方法使系統的動態特性得到了很大提升。然而，串級控制存在的缺陷是如果主回路中存在較大的時滯，會導致系統閉環性能的降低。所以文獻[9]在文獻[7-8]的基礎上，在主回路中采用了Smith預估器補償時滯，進一步提升了系統的控制性能。而Smith預估控制的性能又依賴于過程模型的準確度。因此，為改善其控制性能，專家學者進行了大量的研究，如改進控制結構，優化控制器參數的整定、引入分數階控制等。其中引入分數階控制，不僅使系統控制更加靈活，而且能使系統獲得更好的性能。在文獻[10]提出了一種通過Bode理想傳遞函數設計的分數階控制方法，該方法不僅結構簡單而且參數整定方便。因此，將Smith預估控制與文獻[10]提出的分數階控制方法相結合，文獻[11]實現了對穩定時滯過程的有效控制，不僅提高了系統的動態特性也提高了系統的魯棒性。

目前，分數階Smith預估控制大都針對穩定時滯過程設計。為此，本文提出了一種將分數階Smith預估控制、二自由度控制、內?？刂葡嘟Y合的控制方法，實現了對串級不穩定時滯過程的有效控制。該方法在副回路中使用內模PID控制器，快速消除了進入副回路的干擾；在主回路中，首先使用PD控制器將不穩定時滯過程轉換為穩定時滯過程，然后將分數階Smith預估控制與二自由度控制相結合，實現了系統設定值跟隨特性與干擾抑制特性的解耦，也通過分數階控制的引入，提升了系統的魯棒性。

1 不穩定時滯過程的串級二自由度Smith控制結構

不穩定時滯過程的串級二自由度Smith控制結構如圖1所示。其中r1、r2、y1、y2、Gp1、Gp2分別為副、主回路的輸入、輸出與被控對象。Q1為副回路內?？刂破?。C2為穩定控制器，C3、C4分別為主回路的設定值跟隨控制器與抗擾控制器。

圖1 串級不穩定時滯過程的二自由度Smith預估控制結構

Gp1、Gp2為一階加時滯模型。其傳遞函數為：

(1)

根據圖1，副回路的閉環傳遞函數為：

(2)

(3)

當副回路模型精確，即P1m=Gp1:

(4)

(5)

主回路閉環傳遞函數為：

(6)

(7)

其中P2m0為P2m無時滯部分

(8)

(9)

由式(8)、式(9)可知，主回路的設定值跟隨特性僅與控制器C3有關，干擾抑制特性僅與控制器C4有關。因此，通過獨立設計這兩種控制器，可以分別處理主回路的跟蹤與抗擾任務，避免了傳統單自由度控制器須在設定值跟蹤特性與干擾抑制特性之間折中選擇的問題。

2 控制器設計

2.1 副回路控制器設計

副回路控制器采用內?？刂品椒ㄔO計：

(10)

其等效的反饋控制器C1為：

(11)

(12)

等效的反饋控制結構圖如圖2所示。

圖2 等效的反饋控制結構圖

2.2 穩定控制器設計

(13)

根據圖1有：

(14)

(15)

(16)

2.3 主回路設定值跟隨控制器設計

主回路設定值跟隨控制器C3采用了一種基于Bode理想傳遞函數設計的分數階器與Smith預估器相結合的控制方法。其設計過程如下：

令主回路的開環傳遞函數為Bode理想傳遞函數加時滯形式：

(17)

其中：ωc為增益穿越頻率，1≤α<2.

(18)

2.4 主回路抗擾控制器設計

為使系統具有抗擾性的同時又不失魯棒性，抗擾控制器C4采用內?？刂破髟O計的方法進行設計，其設計過程與副回路控制器設計方法相同，即

(19)

其中P2m0為P2m無時滯部分。

為提高系統的干擾抑制性能，濾波器f2選擇為：

(20)

則抗擾控制器C4為：

(21)

3 控制器參數整定

3.1 副回路控制器參數整定

通過式(12)可知，副回路控制器C1需整定的參數為λ1.

根據2.2節有：

0<λ1

(22)

由文獻[12-13]可知，增大λ1，系統的魯棒性增強，減小λ1，系統的魯棒性減弱。

3.2 穩定控制器參數整定

根據式(13)可知，穩定控制器C2需整定的參數為Kp、Td.

根據2.2節有：

(23)

(24)

(25)

(26)

根據式(25)、式(26)有：

(27)

3.3 主回路設定值跟隨控制器參數整定

從式(18)可以看出，主回路設定值跟隨控制器C3需整定的參數為α、ε.

根據文獻[10-11]可知，系統的超調量σ%受α的影響，系統的調節時間受α、ε的影響。根據Smith預估控制的特點，時滯項對系統的影響僅僅只是將輸出信號延遲，并不影響系統的穩定性。因此可以先忽略時滯項，并通過單位階躍響應來研究α、ωc對系統動態性能的影響。則其單位階躍響應如下：

(28)

其中：Eα為單參數的Mittag-Leffler函數。

通過式(28)可以看出，將ωct作為一個整體，在[1，2]之間改變的α的值，即可得到系統的單位階躍響應。其單位階躍響應圖如圖3所示。

圖3 不同α值的單位階躍響應圖

通過圖3可以看出，α增加，系統的超調量也增加。而過大的超調也會導致系統的穩定性變差。因此，選擇超調量σ%<30%，即近似選擇1≤α≤1.5來設計控制系統。根據圖3，可以得出當α∈[1，1.5]時與σ，調節時間ts(2%誤差)之間的關系。α與σ關系圖為圖4，α與ts關系圖為圖5.

圖4 α與σ關系圖

圖5 α與ts關系圖

通過曲線擬合技術，可以得到α與σ之間關系式為：

(29)

α與ts之間的關系式為：

(30)

根據系統所需的時域指標，據式(29)、(30)可計算出α、ωc.而從式(17)有ε=(1/ωc)α，則可通過ωc，計算出ε.

3.4 主回路抗擾控制器參數整定

由式(21)可知，主回路抗擾控制器需整定的參數為λ2、β1、β2.

經大量仿真實驗分析，當λ2∈[0.8L，1.2L]，可以使系統獲得良好的抗擾性能。

(31)

β2、β1滿足以下約束：

(32)

(33)

則有：

(34)

[1/p2-1/p1]

(35)

4 魯棒性分析

在實際條件下，常有參數攝動的情況發生。因此，在設計控制器時須考慮參數攝動的問題。閉環系統的這種魯棒穩定性可以用小增益定理來確定。根據該定理，閉環系統魯棒穩定的充要條件為：

(36)

T(jω)為補靈敏度函數，δm(jω)為過程乘性不確定性界。

(37)

Gp為實際過程的傳遞函數，Gm為設計控制器所使用的過程傳遞函數。

如果同時存在不確定性時間常數，不確定性時滯與不確定性過程增益，則控制器參數應該滿足：

‖T(jω)‖∞<

?ω≥0

(38)

在本文中補靈敏度函數T(s)為:

(39)

則將式(39)代入式(38)中得：

?ω≥0

(40)

從式(40)可知，通過調整λ2的值，可以控制系統魯棒穩定性。因此，λ2須選擇合適的值，使系統在不失魯棒穩定性的前提下，又能使系統具有良好的干擾抑制特性。

5 仿真分析

為驗證本文提出的控制方法的有效性，以超調量σ%、IAE、ISE為性能指標，對串級不穩定時滯過程進行了仿真研究，并與文獻[8]中的控制方法進行了比較。為保證比較的公平性，調整控制器參數，使兩種控制系統的超調量相同，并比較IAE、ISE的值，其值越低說明控制性能越好。

例1參考文獻[8]中的實例1：

副回路參數選擇與文獻[8]同樣的參數，λ1=0.3.選擇Kp=2，Td=0.5L=0.4695.根據計算，文獻[8]中超調σ%=0，則令σ%=0，根據式(29)計算出本文中的α=1.0145，選擇ε=1.774 6，λ2=1.

令r2為單位階躍信號，在50 s，100 s時，分別在d1、d2處加負單位階躍干擾，得到的響應曲線如圖6所示。K1、K2、T1、T2、L1、L2參數同時增加10%，得到的響應曲線如圖7所示。性能指標如表1所示。

圖6 例1干擾抑制響應曲線

圖7 例1 參數攝動10%時，系統響應曲線

表1 例1控制系統性能指標

從圖6-圖7以及表1中可以看出，與文獻[8]相比，本文所提出的方法擁有更好的閉環性能與魯棒性。

例2參考文獻[8]中的實例2：

副回路參數選擇與文獻[8]同樣的參數，λ1=1.選擇Kp=2，Td=0.5L=3.根據計算，文獻[8]中超調σ%=0，則令σ%=0，根據式(29)計算出本文的α=1.014 5，選擇ε=8.690 1，λ2=5.

令r2為單位階躍信號，在200 s，500 s時，分別在d1、d2處加負單位階躍干擾，得到響應曲線如圖8所示。K1、K2、T1、T2、L1、L2參數同時增加10%，得到的響應曲線如圖9所示。性能指標如表2所示。

圖8 例2干擾抑制響應曲線

圖9 例2參數攝動10%時，系統響應曲線

表2 例2控制系統性能指標

從圖8-圖9以及表2可以看出，本文所提出的方法在標稱情況下與參數攝動10%的情況下均具有良好的控制效果，且優于文獻[8]方法的控制效果。

6 結論

本文基于一種二自由度Smith預估控制方法，實現了對串級不穩定時滯過程的有控制。該方法不僅通過內模PID控制器快速消除進入副回路的干擾，而且在主回路中使用分數階Smith預估控制與二自由度控制相結合的控制策略，提升了系統的閉環性能。經仿真實驗驗證，該方法不僅參數整定簡單，而且提高了系統的動態特性、穩態特性與魯棒性。