利用隨機先驗信息克服秩虧問題的方差分量估計

王 慧程 涵管守奎

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秩虧往往意味著線性高斯-馬爾可夫模型中缺少平差必要的信息，而先驗信息可以解決這些信息缺失導致的秩虧問題，提供線性模型平差的基準。秩虧自由網平差［1］在大地測量中應用廣泛，尤其在水準網、GPS基線測量以及大地坐標系框架體系建設［2］等存在缺少基準或起算數據時。利用先驗信息解決秩虧問題也十分常見，但Meissl［3，4］以及Neimeier［5］提出利用新增的基準確定點存在不確定性，所以應將先驗信息表示為帶隨機性質的先驗信息。添加的先驗信息作為一種約束需要滿足正交方程有解并且不改變殘差的值都可以認為是合理的［6，7］。利用先驗信息使正交方程有解時應該將模型表示為混合模型［8］，或者擴展的高斯-馬爾可夫模型［9］，這種混合模型的最小二乘估計通常稱作最小二乘配置［10，11］，并在確定重力場的研究中廣泛使用。

先驗隨機信息的可信度是解決秩虧平差時一個重要的問題，Schaffrin［12］提出一種穩健配置方法用于觀測值信息和隨機先驗信息更合理的使用。

綜上所述，利用隨機先驗信息克服秩虧問題的方差分量估計在秩虧網平差中的研究十分重要。本文利用最優不變二次無偏估計原理［13-16］，推導帶有先驗信息的高斯-馬爾可夫模型的方差分量估計公式，從而做到對觀測信息和隨機先驗信息進行合理配權，以提高秩虧網中基準的可靠程度。

1 最優不變二次無偏估計方差分量

1）無偏性：

2）不變性：

3）最小方差：

將不變性式（3）帶入式（5）得到：

由?tr(ABATC)/?A=(BATC)T+CAB以 及?w((F+FT)/2)/?F=0，得到：

將D=(F+FT)/2帶入式（8）中得到：

則

當S可 逆 時，則pT=[1，0]T∈R(S)且pT=[0，1]T∈R(S)，由式（13）可知方差分量的估值唯一確定為：

當S奇異時，則pT=[1，0]T∈R(S)或者pT=[0，1]T∈R(S)，由式（13）可知方差分量的估值唯一確定為：

當S可 逆 時，則pT=[1，0]T∈R(S)且pT=[0，1]T∈R(S)，由式（17）可知方差分量的方差估值唯一確定為：

2 實例驗證

表1 高差觀測值表Table 1 High Difference Observation Value Table

圖1 高程水準網示意圖Fig.1 Elevation Level Network Diagram

表2 誤差估計值Table 2 Residual Estimate

計算中發現自第二次迭代后均收斂于1，于是在第二次計算完成后結束迭代計算。如表3、表4所示，得到最終估計的方差分量為5.452 3×10-6和3.949 5×10-7，兩部分方差分量的比值為：0.072 4。相比于最小二乘估計單位權方差，方差分量估計更加準確的描述了帶有先驗信息的高斯-馬爾可夫的隨機模型，這也使得先驗信息中的絕對基準更加合理可靠地應用在秩虧平差中。

表3 迭代計算結果Table 3 Iteration Calculation Results

表4 方差分量方差結果Table 4 The Variance of Variance Components Result

3 結束語

新增的先驗信息常用作確定基準，但新增的先驗信息帶有隨機性質，這意味著先驗信息的可靠程度無法衡量。先驗信息在平差模型中的不確定性需要尋求一種合理可靠的方法來度量先驗信息和觀測值，對兩部分信息進行合理地分配權重，需要得到平差模型中準確的驗后隨機模型。本文利用最優不變二次無偏估計先驗信息和觀測值兩部分的方差分量以及方差分量方差，得到驗后隨機模型，準確地描述兩部分的權重。然后可以通過合理配權，從而進一步提高先驗信息在解決秩虧網平差時的可靠性。