指數有界n階α次積分C半群的緊性

劉喬喬, 趙華新

(延安大學 數學與計算機科學學院, 陜西 延安 716000)

算子半群的緊性是算子半群理論的重要內容之一,許多學者對此作了大量的研究工作。文獻[1-2]得到雙參數C0半群緊的一些性質以及擾動雙參數C0半群的直接緊性等相關性質。 文獻[3-4]討論了非線性Lipschitz擾動半群的直接緊性、擬緊性等。 文獻[5-7]研究了C半群、雙參數C半群、多參數C半群的緊性,將單參數的緊性推廣到多參數C半群。 文獻[8-10]討論了擾動C半群及擾動雙參數C半群的緊性及相關推論。 文獻[11-16]給出了n階α次積分C半群,以及雙參數n階α次積分C半群的相關性質,但對其緊性并未作研究,本文給出n階α次積分C半群緊的定義,得到指數有界n階α次積分C半群的一些緊性性質,推廣了算子半群緊性的相關性質。

1 預備知識

X為無限維的復Banach空間,B(X)是X上有界線性算子全體所組成的Banach代數;T(t)∈B(X),t≥0,D(A)為線性算子A的定義域,設n∈,α≥0,

易知T(t)=0當且僅當存在n>0,使JnT(t)=0,t≥0。

2 基本概念和引理

定義1[11]設n∈,α≥0,C∈B(X)是單射,{T(t)}t ≥0?B(X)強連續,若存在閉線性算子A使得

定義2[12]若Rc(λ,A)=λn -1(λn-A)-1C有定義在Banach空間X上的有界逆算子,則稱λ為n階α次積分C半群的次生成元A的正則點,Rc(λ,A)為A的C預解式,正則點的全體稱為A的C預解集,記為ρc(A)。

引理1[12]令n∈,α≥0,C∈B(X)是單射,A:D(A)?X→X為閉線性算子并滿足A?C-1AC,{T(t)}t ≥0?B(X)強連續并滿足‖T(t)‖≤Meω t,t≥0,ω≥0,M>0,可得下列命題等價。

ⅰ)n階α次積分C半群{T(t)}t ≥0的次生成元為A。

ⅱ) {λn|Reλ>max{ω,0}}?ρc(A),并滿足

ⅲ) {λn|λ>max{ω,0}}?ρc(A),并滿足

引理2[12]令A:D(A)→X是n階α次積分C半群的次生成元,λ,μ∈ρc(A),Rc(λ,A)為A的C預解式,則有:

Rc(λ,A)λ1-nC-Rc(μ,A)μ1-nC=Rc(λ,A)Rc(μ,A)(μn-λn)λ1-nμ1-n。

定義3 若n階α次積分C半群{T(t)}t ≥0對每一t>t0,算子T(t)緊,則稱n階α次積分C半群{T(t)}t ≥0對t>t0緊。 若對每一t>0,算子T(t)緊,則稱n階α次積分C半群{T(t)}t ≥0為緊。

3 主要結果

定理1 設{T(t)}t ≥0是指數有界n階α次積分C半群,若T(t)對t>t0是緊的,則對t>t0,T(t)依一致算子拓撲連續。

證明 對0≤t≤1,?M≥1,使得‖T(t)‖≤M。

又因為對?x∈X,T(t)x:[0,+∞)→X強連續,所以存在0

從而對于0≤h≤h0,‖x‖≤1有:

則有

由ε的任意性知T(t)在t>t0處依一致算子拓撲連續。

證畢。

定理2 設{T(t)}t ≥0是以A為次生成元的指數有界n階α次積分C半群,若{T(t)}t ≥0對t>0是緊的,則T(t)對t>0依一致算子拓撲連續且對λ∈ρc(A),有Rc(λ,A)緊。

證明 設‖T(t)‖≤Meω t,M≥1,ω≥0,T(t)對t>0緊。 由定理1知T(t)對t>0按一致算子拓撲連續,所以

以一致算子拓撲存在。

設Reλ>ω,令:

因為T(s)緊,所以Rε(λ)也是緊的。

從而有

當ε→0+時,|λ|αεMeω ε,即‖Rc(λ,A)-Rε(λ)‖→0。

所以Rc(λ,A)作為緊算子列的一致極限也是緊的。

由預解方程

Rc(λ,A)λ1-nC-Rc(μ,A)μ1-nC=Rc(λ,A)Rc(μ,A)(μn-λn)λ1-nμ1-n,

可知:若對某一λ∈ρc(A),Rc(λ,A)緊,則對所有λ∈ρc(A),Rc(λ,A)緊。

證畢。

定理3 設{T(t)}t ≥0是指數有界n階α次積分C半群,若T(t)對t>0按一致算子拓撲連續,且對λ∈ρc(A),有Rc(λ,A)緊,則指數有界n階α次積分C半群{T(t)}t ≥0是緊的。

對上式兩邊取范數得:

當Reλ→∞時,

且

所以有

即λ1-αRc(λ,A)→T(t)。

又由于Rc(λ,A)是緊的,所以λ1-αRc(λ,A)也是緊的。T(t)是緊算子族λ1-αRc(λ,A)的一致算子拓撲的極限,所以T(t)也是緊的。

證畢。

4 結 論

若A次生成的n階α次積分C半群{T(t)}t ≥0緊,則得到{T(t)}t ≥0依一致算子拓撲連續且預解集也為緊的,反之也成立,從而完善了n階α次積分C半群的相關性質,豐富了算子半群的研究內容。