在課題學習中滲透數學核心素養

潘秀亮

初中生應當要有一定的時間和空間經歷觀察、計算、推理等活動過程，而鐘面角問題就是一個很好的載體，其中蘊含了豐富的數學知識，例如，追及問題的提取，絕對值的使用等，這有利于培養學生的空間想象能力和抽象出數學模型解決問題的能力.

1 教學背景

如圖1，時針與分針的夾角問題是學生經常遇到的一類有趣但又相對懼怕的數學計算問題，如何改變這一現狀？動手實踐是一種重要的方式，它可以幫助學生實現數學認識和經驗的同步增長;同時，可以變“被動接受”為“主動探究”，通過“做”數學體驗發現的樂趣，感悟數學的真諦，發展數學思維和智慧，提高實踐能力和創新意識，逐步積累數學活動經驗，筆者以“鐘面角”為例，闡釋如何在課題學習中，滲透數學思想方法，有效促進深度學習.

2 教學目標

（1）探索、歸納不同時刻時針與分鐘夾角的計算公式;

（2）培養學生動手操作、觀察、分析、歸納得到數學知識的能力，培養學生合情推理和演繹推理能力;

（3）通過數學實驗，讓學生獲得成功的喜悅，從不同的角度去審視問題，培養學生數學抽象、數學建模和運算能力等核心素養;

3 重難點

鐘面角計算公式的探索論證過程.

4 教學設計

4.1情境引入

時鐘是我們現實生活中常見的一種計時工具，不管時間如何變化，鐘面上的時針和分針都組成了一個與角度有關的數學問題，我們稱之為鐘面角問題，這個問題是很多同學懼怕的問題，那有沒有什么方法可以幫助我們化解這樣的難題呢？今天，我們一起來探究這個問題.

4.2 在追問過程中理解計算鐘面角的內涵

環節1展示教室里的鐘面圖

問題1鐘面是由哪些“靜態”的元素組成的？

學生1：由12個數學組成了12個大格子，每個大格子里還有5個小格子，

追問1：這些大格子和小格子間隔相等嗎？

學生2：都是相等的，所以總共有12個大格子，每個大格子是30°，總共有60個小格子，每個小格子是6°，

師：很好，這位同學了解得很全面，但是我們不能說大格子是30°，應該說什么角等于多少度？

問題2鐘面是由哪些“動態”的元素組成的？它們分別是怎么運動的？

學生3：鐘面由時針、分針和秒針組成，時針每一個小時走30°，分針每一分鐘應該走6°，秒針一秒鐘應該也走6°，

追問2.我們能不能將上面的單位統一為1分鐘各走多少度？

學生4：因為時針每小時走300，那么1分鐘應該是0.5°，分針1分鐘還是走6°，秒針1分鐘走360°;

追問3：以上信息實際上就是在研究時針、分針和秒針的什么量？

學生5：速度，也就是說時針的速度是0.5°/分鐘，分針的速度是30°/分鐘，秒針的速度是360°/分鐘，

環節2 由表及里，明辨化歸巧解題

問題1我們再來看一下班級的時鐘，此時時間為上午9：21（下面所有的時間問題，我們假設秒針都剛好指向12），請問此時時針與分針的夾角是多少？你打算如何思考？

學生1：因為此時分針與數字9之間有24個小格子，每個小格子是6°，總共是24x6°=144°，又因為時針在21分鐘里還要走21x 0.5°= 10.5°，所以此時夾角應該為144°+10.5°=154.5°.

追問1：數小格子是一個很好的辦法，我們可以從靜態的角度去算小格子的角度和，再從動態的角度去計算時針又走了多少度，那么一定是這兩個角度的和嗎？

學生2：不一定，比如時間為9：50，因為分針指向的位置與數字9之間有5個小格子，每個小格子是6°，總共是5x6°=30°，又時針在50分鐘里要走50x0.5°=25°，所以此時夾角應該為30°-25°=5°，

學生3：其實當分針超過時針時都應該使用減法，沒有超過時用加法，

學生4：也不對，比如時間為9：46，因為分針指向的位置與數字9之間只有1個小格子.總共是6°，又因為時針在46分鐘里要走46×0.5°=23°，所以此時夾角應該為23°-6°=17°。，此時分針還沒有超過時針，但也是減法，所以應該是當分針超過數字9時都應該使用減法，并且用大角減去小角，沒有超過時用加法，

學生5：還要注意使用加法時，角度和不能大于180°，否則要用360°來減去這個角才等于時針與分針的夾角，

追問2：同學們討論的實在太好了，那么聯系上面時針與分針的速度，我們能不能都從動態的角度來闡釋一下？

學生6：可以，我們知道9點整時，時針與分針之間有9個大格子，總共是30x9°=270°，而當9：21時，時針走了21x 0.5°=10.5°，分針走了21x6°=126°，相當于將角度縮小了126° -10.5= 115.5°，此時夾角應該為270° -115.5°=154.5°，

追問3：這種解法和我們行程問題中的哪個模型很像？

學生7：我覺得應該是追及問題，因為分針的速度比時針的速度要快，且速度差為5.5。/分鐘，所以整點時產生的差距分針可以慢慢的追上.

4.3 柳暗花明又一村，化歸總結得公式;

環節3由特殊到一般，抓住問題的本質

問題3時間為m點n分該如何計算？ 學生1：因為m點整點時.時針與分針的角度差距為m×30°=30m°，n分針后，分針可以追上5.5n°，此時夾角就為（30m - 5.5n）°，

追問1：有沒有同學進行補充的？

學生2：我覺得是這樣的，如果沒追上的話是（30m - 5.5n）°，追上的話應該是（5.5n - 30m）°，

追問2：我們可以用一個式子表示嗎？

學生3：我們可以用絕對值|30m -5.5n|°來表示，

追問3：還有什么要注意的？如果時間是14：21分呢？

學生4：我們應該把它轉化成2：21再計算，此外如果角度算出來大于180°，一樣要用360°來減去這個角才等于時針與分針的夾角.

環節4超級變變變，結論的適時應用

問題1 9點到10點之間，分針與時針的夾角為10度時，此時是幾點？

問題2 9點到10點之間，分針與時針重合？

問題3 9點到10點之間，分針與時針垂直？

5教學反思

波利亞說過：“掌握數學就意味著善于解題”，教師想要提高學生的解題效率，就需要不斷地學習新的理念，嘗試新的教學方法，對課題學習的鉆研和對學情的了解是嘗試新教法的前提，其中對教材的再創造，集中表現在：能根據所教班級學生的實際情況，選擇貼切的教學素材和教學流程，準確地體現基本理念和內容標準規定的要求，在這個過程中，師生雙方的互動往往會“生成”一些新的教學資源，這就需要教師能夠及時把握，因勢利導，適時調整預案，使教學活動收到更好的效果，

學生獲得知識，必須建立在自己思考、動手實踐的基礎上，在數學教學活動中，教師要把基本理念轉化為自己的教學行為，處理好教師講授與學生自主學習的關系，注重啟發學生積極思考;發揚教學民主，當好學生數學活動的組織者、引導者、合作者，