基于改進混合蛙跳算法的結構多缺陷反演

杜成斌 張梁燦

(河海大學 力學與材料學院,南京 211100)

結構在服役期間,因環境侵蝕、荷載效應及自然災害等影響,不可避免地出現損傷,進而引發各種工程問題[1].隨著工程結構健康問題的日益凸顯,已提出了許多結構無損檢測方法.其中,基于結構動力響應進行結構缺陷識別的方法為結構無損檢測提供了新的有效途徑[2-3].然而運用傳統有限元法(Finite Element Method,FEM)計算損傷結構的動力響應時前處理復雜,需要不斷更新網格,效率較低[4].擴展有限元法(Extended Finite Element Method,XFEM)通過在FEM 位移模式中加入一些加強函數以反映不連續性,避免了網格重劃分,并且具有計算網格和結構內部的幾何或物理界面相互獨立的特點,適于解決反演分析模型中識別結構內部復雜缺陷的問題[5-6].擴展有限元與智能算法相結合建立結構缺陷反演模型能有效反演出結構缺陷信息.Rabinovich等[7]和Waisman 等[8]較早基于遺傳算法(Genetic Algorithm,GA)和XFEM 提出一種精確檢測和識別結構中裂紋的數值模型；Sun等[9]和江守燕等[10]將擴展有限元法與人工蜂群算法(Artificial Bee Colony Algorithm,ABC)相結合進行結構內部孔洞狀和裂紋狀缺陷的反演；于鼐等[11]構建了損傷薄板的擴展有限元模型并使用徑向基函數結合粒子群算法(Particle swarm optimization,PSO)進行損傷分析.然而,當結構中含有多個形狀復雜的缺陷時,反演模型復雜度進一步提升,GA、ABC、PSO 等常用群智能優化算法都存在一定的局限性[12-14]：GA 收斂速度慢,處理復雜高維問題能力較差；ABC 中個體只基于舊解產生新解,優勢個體無法在種群中快速傳播,收斂速度慢；PSO 在迭代后期難以保持種群多樣性,容易陷入局部最優.混合蛙跳算法(Shuffled Frog Leaping Algorithm,SFLA)結合模因算法和粒子群算法的優點,具有結構簡單、收斂速度快、全局尋優能力強的特點.許多學者通過對SFLA 進行改進,克服了其容易陷入局部最優的不足,并應用于復雜多峰優化問題[15-17]：Ghatak等[15]基于改進的混合蛙跳算法研究配電系統中分布式靜止補償器的最佳尺寸和選址；代永強等[16]提出了基于混合蛙跳算法的高維生物醫學數據特征選擇方法,相較于GA 與PSO 獲得了更高精度的解；Li等[17]提出一種基于改進混合蛙跳算法的系統可靠性分析方法并獲得最優解.混合蛙跳算法已廣泛應用于各類組合優化問題,但在結構內部缺陷反演分析方面的研究成果較少.

針對上述問題,本文基于動力擴展有限元和改進混合蛙跳算法建立結構多缺陷反演模型,應用損傷指標法初步確定損傷數目和位置初步信息,并運用改進混合蛙跳算法對損傷區域進行精確反演.將該模型應用于結構的多孔洞、裂紋簇缺陷的反演分析,并通過引入高斯白噪聲研究該模型的魯棒性.

1 動態擴展有限元簡介

在XFEM 中,位移函數可近似表示為[5]：

其中：N i為結 點i處FEM 的插值形函數；u i為結 點i處FEM 的位移未知量；為單位分解函數；φj為XFEM 改進函數；a j為結點j的改進結點位移變量.

對于平面四節點等參單元,不考慮阻尼的動力擴展有限元控制方程為：

其中：M是整體質量矩陣；K是整體剛度矩陣；f是整體荷載列陣和u分別為加速度列陣和位移列陣.

采用Newmark-β時間積分方法對控制方程進行求解,如公式(3)～(5)所示：

在結構缺陷反演的正分析中,將XFEM 與描述不連續性的水平集方法相結合,避免了在計算迭代中對網格重劃分.結構內部的孔洞、裂紋等缺陷可采用規則的圓形或橢圓形缺陷進行擬合[18].圓形孔洞的水平集函數可以表示為[5]：

式中：xc表示圓心的坐標向量；rc為半徑.橢圓形孔洞的水平集函數可以表示為[5]

式中：(xc,yc)為橢圓的中心坐標；a、b分別為橢圓的長半軸和短半軸；β為橢圓的方向角.

2 改進混合蛙跳算法

2.1 經典混合蛙跳算法簡介

混合蛙跳算法是一種基于群體的亞啟發式協同搜索群智能算法,由Eusuff等[19]提出,其模擬了青蛙群體在田野的覓食行為.在青蛙種群中,每只青蛙的位置代表一個可行解.蛙群按照某種規則分成若干子群,子群最差解在最優個體的引導下進行局部搜索：記種群最優個體、第k個子群最優個體和最差個體分別為XG、和,由式(8)、(9)得到新解；若新解比原解更優則用新解代替原解,反之則用XG代替代入公式計算新解；若XG計算出的新解沒有原解好,則在可行域內隨機生成一個位置代替原解.當全部子群完成局部搜索后,將所有青蛙個體混合,回到全局搜索.重復執行局部搜索和全局混合搜索,直到滿足算法停止條件.

混合蛙跳算法借鑒了模因算法的局部搜索策略,算法前期具有平衡局部深度搜索和全局信息交換的優勢.在局部搜索中,子群內最差個體朝著最優個體的方向進化,加快了收斂速度,該原理類似粒子群算法.但同其它群智能優化算法一樣,經典混合蛙跳算法也存在不足：在局部搜索階段各個子群內最差解總是受最優解的引導來改進自身的位置,由此會導致種群成員的趨同性,降低蛙群的多樣性,使得算法后期容易陷入局部最優,精度較低[20].

2.2 改進混合蛙跳算法

2.2.1 改進青蛙搜索方式

多數群智能優化算法中,個體在最后的迭代中只執行局部尋優,這可能導致陷入局部最優.周文峰等[21]通過引入花授粉算法[22]的全局搜索與局部搜索轉換概率,調整位置迭代公式,提升粒子群算法跳出局部最優的能力.鑒于此,在混合蛙跳算法局部搜索中,引入搜索轉換概率p以及從子群中隨機選一個體協助當前個體進行搜索,即將式(10)代替式(9)作為子群最差個體更新公式.

優化迭代過程中,轉換概率p控制著青蛙位置的更新方式.算法前期p較大,引入隨機個體協助搜索概率較大,增強了個體之間信息交流；迭代后期p較小,引入隨機個體概率減小,在不影響算法收斂速度的同時也能提高算法跳出局部最優的能力.

2.2.2 雙中心策略

Liu等[23]和湯可宗等[13]通過研究發現,粒子群算法在迭代優化過程中,全體粒子個體的中心是一個十分關鍵的位置,可能比全局最優解更接近于真實值.由于混合蛙跳算法的子群最優個體和全局最優個體的質量直接影響到算法的性能,本文在混合蛙跳算法中引入雙中心策略,其中廣義中心定義為各子群最優蛙的中心(式11),狹義中心定義為各子群內青蛙的中心(式12).

其中：m表示子群個數；n為各個子群內成員個數；為第k個子群的最優個體；X k為第k個子群的成員.

將全局最優解XG與廣義中心XGC適應度值進行比較,若廣義中心優于全局最優解,則用XGC代替XG；反之則不變.將各個子群最優個體與該子群狹義中心適應度值進行比較,若狹義中心優于子群最優個體,則將代替反之則不變.雙中心策略能夠有效增加個體搜索范圍,極大提升全局極值的質量,從而增強了整個種群解的質量,將改進的青蛙搜索方式以及雙中心策略與經典蛙跳算法結合,得到改進混合蛙跳算法.

3 結構多缺陷反演模型

傳統識別結構內部缺陷的方法是對整個結構建立預測模型,采用拓撲變量法不斷迭代進化,進而擬合真實結構響應并得到缺陷參數[24].該方法需對整個模型進行迭代計算,計算量繁重.利用文獻[6]提出的損傷指標法初步確定損傷數目和位置初步信息,在此基礎上對該子區域運用群智能優化算法進行精確反演,能夠在提高反演效率的同時得到高精度的缺陷參數.相應步驟如下：

步驟1：損傷指標法確定損傷數目和位置初步信息.

此步驟的目的是確定結構損傷的數目和粗略位置.采用文獻[6]介紹的損傷指標法,根據損傷結構傳感器位置處的真實響應與對應健康結構響應,計算各傳感器的權重,并對各傳感器權重插值成像得出等高線云圖,云圖極值數目即結構的損傷數目.將損傷區域范圍定義為：邊長為傳感器間距兩倍的正方形子區域,該子區域以權重值最大的傳感器為中點.

步驟2：混合蛙跳算法精確識別缺陷參數.

根據步驟1所得到的損傷數目和損傷區域,縮小智能算法對結構模型損傷的預測范圍.接著,應用改進混合蛙跳算法對損傷區域進行迭代反演,直到適應度函數收斂.具體的流程圖如圖1所示.

圖1 結構多缺陷識別模型流程圖

4 數值算例

4.1 雙圓形缺陷反演

如圖2(a)所示,邊長為5 m 的正方形薄板下側受固定約束,右側距上邊界0.8 m 處受沖擊荷載F激勵,板內按間距1 m 均勻布置30個傳感器(圖2(b)中藍色小方框).薄板彈性模量E=2.2×104MPa,泊松比υ=0.167.薄板內含有兩個圓形缺陷,一圓形缺陷圓心坐標(X1,Y1)=(1.51,3.00),半徑R1=0.19 m；另一圓形缺陷圓心坐標為(X2,Y2)=(3.67,2.22),半徑R2=0.14 m.利用XFEM 對含缺陷薄板進行建模(圖2(b)),結構網格為25×25,單元邊長為0.2 m.

圖2 雙圓缺陷薄板結構、模型、損傷指標值云圖

首先應用損傷指標法,根據含缺陷薄板模型以及對應的健康狀態模型測點處動力響應值計算得到各傳感器權重,并進行雙三次插值得到損傷指標值云圖(圖2(c)).根據損傷指標值云圖中兩個極大值,可以判斷薄板內含有兩個缺陷,以及缺陷大致位置.以兩個極大值對應傳感器位置為中心,邊長為兩倍傳感器間距的正方形區域作為改進混合蛙跳算法反演區域(圖3所示綠色方框區域).改進SFLA 中參數設定為：種群數量S=100,子群數量m=20,每個子群個體數量n=5.種群進化最大迭代次數T=500,子群最大局部搜索次數L=2.

圖3 雙圓形缺陷薄板缺陷識別過程

圖3給出了改進SFLA 精確反演薄板缺陷參數的過程,其中黑色圓形區域為結構實際缺陷,紅色圓形區域表示反演結果.從反演結果可見,當迭代至第51步時,算法已經捕捉到兩個缺陷的位置與孔徑信息.第73步迭代所得紅色圓形區域幾乎與黑色圓形區域重疊,優化算法達到收斂.表1 給出改進SFLA反演雙圓缺陷薄板結構第73步迭代結果,其最大誤差不超過3%,結果精度高.

表1 改進SFLA反演雙圓缺陷結果

圖4給出了改進SFLA 與經典SFLA 以及其他常用的群智能優化算法在缺陷反演迭代過程中,適應度函數值隨迭代次數的變化關系,其中綠色正方形點線、黃色三角形點線、藍色圓形點線和紅色菱形點線分別代表粒子群算法、蜂群算法[10]、經典混合蛙跳算法以及本文提出的改進混合蛙跳算法反演得到的適應度值的對數值收斂曲線(下同).可以看出,改進SFLA 在迭代前期適應度函數值持續下降,算法具有較好的全局搜索能力；到達73步以后,適應度值收斂曲線總體趨于平穩,優化算法達到收斂.相對于未改進的經典SFLA、ABC算法,改進SFLA 收斂速度更快,收斂精度比3個對比算法都要高,這得益于2.2節中提出的改進青蛙搜索方法以及雙中心策略,這些改進策略能夠幫助算法更快找到高質量的解,從而引導整個種群向最優解快速進化,提高算法收斂速度和收斂精度.由此可見,本文提出的基于改進混合蛙跳算法和動力響應的結構缺陷識別模型具有收斂快,精度高的優點.

圖4 雙圓缺陷反演收斂曲線

4.2 雙不規則缺陷反演

考慮到實際工程結構中,往往存在多個形狀復雜的缺陷,本部分將薄板內的缺陷設置為不規則形狀,每個不規則缺陷由兩個圓以及一橢圓的交集構成,如圖5(a)所示.算例中薄板結構的材料參數、幾何尺寸和約束條件等與4.1節例子相同,并采用XFEM 對其進行1∶1建模,如圖5(b)所示.

圖5 雙不規則缺陷薄板結構、模型、損傷指標值云圖

反演迭代前應用動力損傷指標法確定缺陷數目和大致位置,如圖5(c)所示.接著采用兩個橢圓預測缺陷進行迭代逼近真實缺陷,每個橢圓有5個參數,分別為中心點坐標(Xc,Yc),長軸a,短軸b和方位角θ.

圖6展示了不同迭代步中,基于改進SFLA 的缺陷識別模型對薄板中不規則缺陷信息的反演結果.當預測模型迭代到第74步時,不規則缺陷的位置已經被鎖定.隨著迭代步數的增加,預測的缺陷位置及大小逐漸逼近真實缺陷.在第104步迭代后,預測模型所得到的兩個橢圓缺陷與真實缺陷基本重疊.

圖6 雙不規則缺陷薄板缺陷識別過程

表2給出了改進SFLA 反演所得兩個橢圓預測缺陷的形心與真實缺陷形心的位置信息,誤差在2%以內,說明基于改進混合蛙跳算法的結構缺陷識別模型同樣適用于多個不規則缺陷的反演.

表2 改進SFLA反演雙不規則缺陷結果

圖7為不同優化算法模型得到的曲線收斂圖.使用橢圓缺陷進行逼近真實缺陷,參數相比圓形缺陷更多,優化問題更為復雜.迭代過程中,由于算法搜索策略的局限性,經典SFLA 以及ABC 算法收斂較為緩慢.而青蛙搜索方式的改進以及雙中心策略使得改進SFLA 在復雜高維問題中的優勢更為明顯,在第104次迭代步后適應度函數收斂曲線趨于平緩,算法在允許誤差范圍內達到收斂,得到精度更高的解.

圖7 不規則缺陷反演收斂曲線

4.3 雙裂紋簇缺陷反演

混凝土結構由于溫度變化、不均勻沉陷等原因會產生裂縫,當結構受到荷載、溫差等作用之后,裂紋會不斷擴展和連通,形成多裂紋交叉的裂紋簇缺陷[25].本節研究薄板結構裂紋簇缺陷的反演問題,薄板結構的材料參數、幾何尺寸和約束條件與4.1 節例子相同,所不同的是薄板內含有兩個裂紋簇缺陷,每個裂紋簇由兩條長度0.6 m 的裂紋相交構成,雙裂紋簇薄板結構及其XFEM 模型如圖8(a)與8(b)所示.

通過動力損傷指標法確定缺陷數目和大致位置,如圖8(c)所示.接著,采用兩個橢圓預測缺陷進行迭代逼近真實裂紋簇缺陷,每個橢圓有5個參數,分別為中心點坐標(Xc,Yc),長軸a,短軸b和方位角θ.

圖8 雙裂紋簇缺陷薄板結構、模型、損傷指標值云圖

圖9展示了基于改進SFLA 的缺陷識別模型精確反演含雙裂紋簇缺陷薄板的過程.預測模型迭代到第101步時已經接近不規則缺陷的大致位置,并逐漸逼近真實缺陷；第129步迭代結果較精確地鎖定真實裂紋簇缺陷位置和方向.

圖9 雙裂紋簇缺陷薄板缺陷識別過程

表3給出改進SFLA 反演雙裂紋簇所得兩個細長橢圓預測缺陷的形心與真實裂紋簇形心的位置信息,誤差在5%以內,結果滿足精度要求.

表3 改進SFLA反演雙裂紋簇缺陷結果

圖10為不同優化算法模型反演雙裂紋簇缺陷得到的適應度函數值曲線收斂圖.改進SFLA 在129次迭代后達到收斂,收斂速度與結果精度都比其余3種算法更優.

圖10 裂紋簇缺陷反演收斂曲線

4.4 改進SFLA算法的魯棒性分析

在實際工程健康監測中,受制于儀器的性能和外界環境影響等原因,儀器所測得的信號與結構真實信息相比存在一定的誤差.本文將研究改進SFLA 算法在有信號誤差情況下的有效性問題.

本例在4.1例子的基礎上,引進高斯白噪聲,通過在結構實際響應值中引入不同水平(5%、10%)的誤差,探討結構動力響應誤差對改進SFLA 算法反演結果的影響.

表4顯示了在不同水平的高斯白噪聲影響下,帶雙圓缺陷薄板結構(同4.1節結構)的反演結果.在測量信息存在5%高斯白噪聲的情況下,缺陷參數識別信息最大誤差不超過6%；當存在10%的高斯白噪聲影響下,反演結果誤差不超過10%.雖然有噪聲情況下反演結果精度略低于無噪聲情況下結果的精度,但該反演模型依舊可以較為準確定位到缺陷信息,表明該模型具有較好的抗干擾能力,魯棒性強.

表4 不同水平噪聲影響下結構缺陷識別結果

5 結論

本文通過在混合蛙跳算法中改進青蛙搜索方式以及引入雙中心策略,幫助算法快速找到高質量的解并引導整個種群向最優解進化,提高算法收斂速度和避免陷入局部最優的能力.將改進的混合蛙跳算法與動力擴展有限元法相結合,建立了基于結構振動響應值的結構多缺陷反演模型.將該模型應用于結構圓形孔洞、不規則孔洞以及裂紋簇缺陷的反演分析,研究表明,基于改進混合蛙跳算法與動力XFEM 的結構多缺陷反演模型能夠快速準確反演出結構孔洞、裂紋這類復雜缺陷的信息,改進混合蛙跳算法相比于經典混合蛙跳算法以及常用的蜂群算法、粒子群算法具有收斂速度快、缺陷信息定位準確的優點,且對于含噪信號模型具有較好的魯棒性.

當前研究中結構的XFEM 模型采用全局同尺寸網格,計算量較大.后續研究中可以擴展到損傷結構多尺度網格缺陷分析,針對結構損傷區域與健康區域對結構模型進行不同尺度的網格劃分,以提高正分析效率.