基于射孔成像監測的多簇裂縫均勻起裂程度分析
——以準噶爾盆地瑪湖凹陷致密礫巖為例

臧傳貞，姜漢橋，石善志，李建民，鄒雨時，張士誠，田剛，楊鵬

（1. 中國石油大學（北京）油氣資源與探測國家重點實驗室，北京 102249；2. 中國石油新疆油田公司，新疆克拉瑪依 834000）

0 引言

準噶爾盆地瑪湖凹陷致密礫巖油田儲集層屬于扇三角洲前緣沉積，巖相特征復雜，儲集層埋藏深、非均質程度高，動用難度極大[1-3]，近年采用水平井體積壓裂開發實現了產量突破[4-8]。2020年以降本增效為目標，開展了水平井長水平段內多簇+暫堵壓裂試驗，但壓后效果差異大，大部分試驗井產量未達預期。為了優化壓裂工藝參數及提高產能，需要研究人工裂縫的起裂規律。由于礫巖中礫石與基質的礦物成分不同，兩者的巖石力學性質差異顯著，礫巖儲集層具有較強的力學性質非均質性[9-11]。礫石特征（粒徑、含量、分選與分布、礫石與基質力學性質差異等）、水平應力差等顯著影響人工裂縫擴展形態，水力裂縫遇礫石可能發生穿透、偏轉和止裂等多種行為[12-22]。因此，礫巖儲集層中水力裂縫的擴展規律十分復雜。

水力裂縫礦場監測技術是認識人工裂縫形態的有效手段，可分為間接監測技術和直接監測技術。間接監測技術包含凈壓力分析、試井分析、產量分析等。直接監測技術又可細分為近井地帶監測技術和遠場地帶監測技術，近井地帶監測技術包含放射性示蹤法、井溫測井、井徑測井、光纖監測（DTS/DAS）、射孔成像監測等[23-31]；遠場地帶監測技術包含微地震監測、地面測斜儀監測、周圍井井下傾斜圖像監測、深橫波成像監測（DSWI）等[32-33]。其中射孔成像監測技術能夠直接獲得大量高清的孔眼圖像，通過計算孔眼的磨蝕面積（孔眼在壓裂前后的面積改變量）就能反映孔眼的磨蝕程度，并且統計發現孔眼磨蝕程度與支撐劑進入量呈正相關[27-28]。

針對非均質性極強的礫巖油藏，目前開展的水力裂縫監測較少，該類儲集層中水平井分段多簇壓裂裂縫起裂、擴展規律尚不清楚。針對這一問題，選取準噶爾盆地瑪湖致密礫巖油田MaHW26X試驗井中固井質量較好的幾段，利用射孔成像技術監測孔眼磨蝕情況，分析不同泵注參數條件下各簇裂縫起裂規律及均勻程度，為優化泵注程序提供理論依據。

1 壓裂試驗工藝概況

1.1 儲集層特征

MaHW26X試驗井位于準噶爾盆地瑪湖凹陷瑪18井區艾湖1井斷塊，開發層位為三疊系百口泉組T1b12，完鉆深度為3 920.4 m。儲集層孔隙度為7.5%～12.4%，滲透率為（0.12～20.00）×10-3μm2，含油飽和度為45.0%～73.4%；彈性模量為 19.3～24.8 GPa，泊松比為0.181～0.201，抗拉強度為1.0～2.3 MPa。礫巖成分復雜，礫石以中粗礫（礫徑5～70 mm）為主，礫石成分主要為火成巖，變質巖次之，礫間主要充填砂質、泥質或細礫質，整體儲集層非均質性極強[9-11]。

1.2 壓裂施工參數

MaHW26X試驗井采用橋塞分段+暫堵壓裂工藝，水平段長931 m，改造段長483.2 m，共分為6段，單段長80 m左右，從井的趾端到跟端的段號依次為1—6。每段均采用6簇射孔，除第5段為每簇8孔，其余各段均為每簇3孔。采用86型射孔槍和等孔徑射孔彈進行射孔作業，射孔相位角均為60°。壓裂液采用變黏壓裂液體系，且達到2% KCl防膨性能。壓裂過程中前置段塞采用0.380 mm/0.212 mm（40/70目）石英砂，主體段塞采用0.550 mm/0.270 mm（30/50目）陶粒。暫堵材料采用暫堵球+顆粒+粉末組合。試驗井的具體壓裂施工參數如表1所示。由于井下成像設備下入深度不足，在第 1段中只獲取了少量的射孔孔眼圖像，本文著重對比分析第2—6段的射孔孔眼圖像。

表1 試驗井壓裂施工數據表

2 孔眼磨蝕程度監測方法

2.1 孔眼磨蝕對多簇裂縫均勻起裂的影響

在水平井分段多簇壓裂過程中，多裂縫往往呈非均勻起裂及擴展，其直接原因是各簇裂縫的流量分配不均衡。已有學者對多裂縫起裂及擴展機制進行了大量的數值模擬研究，指出多裂縫非均勻擴展除了受儲集層非均質性和應力干擾作用影響，還受孔眼摩阻影響，提高孔眼摩阻能夠促進裂縫均勻起裂及擴展[34-35]。但這些研究一般都假定壓裂過程中的孔眼摩阻為恒定值，忽略了孔眼磨蝕作用對孔眼摩阻的影響。

Crump等[36]基于伯努利方程和質量守恒方程，得到了孔眼摩阻的計算公式，如（1）式所示。此外，還通過實驗說明了孔眼磨蝕分為兩個階段：第 1階段，孔眼邊緣逐漸光滑，但孔眼直徑并未顯著增加，此時孔眼流量系數（Cp）對孔眼摩阻降低起主導作用；第2階段，Cp相對恒定，孔眼直徑緩慢增大，會導致孔眼摩阻進一步降低。對于完好的射孔孔眼，Cp為0.5～0.6，對于完全磨蝕的孔眼，Cp為0.95。根據（1）式繪制單簇裂縫在不同孔眼數下的孔眼摩阻隨孔眼直徑變化曲線（見圖1），其中流體密度為1 000 kg/m3，單簇排量為0.04 m3/s，孔眼直徑為10～12 mm，孔眼數為3～12，孔眼流量系數為0.7。

圖1 不同孔眼數下孔眼摩阻隨孔眼直徑的變化關系

在忽略井筒摩阻的情況下，各簇裂縫的流量分配由孔眼摩阻、彎曲摩阻和縫內摩阻決定?？籽勰ψ韬蛷澢ψ杈鶎儆诮ψ?，限流機理相似，可將彎曲摩阻等效為孔眼摩阻。即各簇流量分配滿足如下流量守恒和壓力平衡條件：

當有足夠數量的射孔孔眼時，孔眼摩阻可以看作一個較小的常數，流量分配主要由縫內摩阻決定，孔眼非均勻磨蝕對流量分配的影響并不大；當射孔數量較少時，孔眼摩阻大，并且對流量分配起主導作用，而孔眼摩阻對孔眼直徑的變化非常敏感，如孔眼數為3時，孔眼直徑增加2 mm可以使射孔摩阻降低15 MPa左右（見圖1），這時孔眼非均勻磨蝕會對流量分配產生不可忽略的影響，進而改變多裂縫起裂的均勻程度。由于孔眼磨蝕作用會使孔眼流量系數和孔眼直徑不斷增加，且孔眼磨蝕程度與支撐劑動能有關，于是Long等[37]提出了孔眼直徑及孔眼流量系數與支撐劑濃度、流速的關系式：

式中，α和β是通過經驗擬合方法得到的兩個獨立參數，表征支撐劑與套管相互作用產生的影響。綜上，可進一步得到磨蝕后的孔眼直徑計算公式：

（5）式說明流量越大，孔眼磨蝕程度越強。通過計算孔眼直徑及孔眼流量系數的動態變化值，可得到孔眼在磨蝕作用下的動態孔眼摩阻。因此，有學者在Long等提出的孔眼磨蝕模型基礎上，進一步耦合多裂縫擴展模型，建立了考慮孔眼磨蝕作用的多裂縫擴展模型[37-39]，并發現在支撐劑注入后，各簇孔眼出現非均勻磨蝕，優勢簇的孔眼直徑增加較快，流量分配占比進一步增加；而劣勢簇的孔眼直徑增加較慢，甚至不增加，流量分配占比進一步降低?？籽勰ノg作用加劇了流量分配的不均衡程度，導致多裂縫起裂及擴展更加不均衡。通過數值模擬可得到孔眼磨蝕對多裂縫起裂及擴展影響的一般性規律，但還難以準確反映現場實際的孔眼磨蝕情況。由于孔眼磨蝕程度與支撐劑進入量呈正相關關系，而各簇孔眼支撐劑進入量均勻程度能反映多裂縫起裂的均勻程度，故本文通過射孔成像技術直接獲取各孔眼的磨蝕情況，對比各簇孔眼磨蝕的均勻程度以反映多裂縫起裂的均勻程度。

2.2 基于射孔成像監測技術的孔眼磨蝕監測方法

射孔成像監測技術又稱井下成像技術，通過沿套管下入特種攝像頭至射孔段獲取大量射孔孔眼圖像[24]。試驗井采用陣列環掃井下成像技術，具有 360°無死角連續環掃測量的功能，并且其數據傳輸率可達 25幀/s，能夠有效識別相對較小的孔眼。此外，該技術還配套數字圖像分析軟件，可以精確計算不規則孔眼的面積。

本文基于井下射孔成像技術發現試驗井中的孔眼磨蝕分為兩個階段（見圖2）：一是支撐劑量較少時，孔眼邊緣變得圓滑但孔眼面積并未顯著增加；二是支撐劑量較多時，孔眼變得不規則且孔眼面積顯著增加。這證實了Crump等[36]的研究結論。

圖2 礫巖油藏水平井射孔孔眼磨蝕典型圖像

基于陣列環掃井下成像技術可得到壓裂后的孔眼面積，再減去壓裂前的孔眼面積即得到孔眼的磨蝕面積?？籽鄣哪ノg面積與支撐劑進入量呈正相關關系，對比各簇孔眼的磨蝕面積，能夠很好地反映各簇孔眼改造程度，進一步可推測各簇孔眼起裂的均勻程度。采用井下成像技術比較容易獲得壓裂后各簇孔眼的圖像，但是很難獲得壓裂前的孔眼圖像，這涉及到實際操作的經濟性。為了獲取孔眼在壓裂前的實際面積，在第 2段壓裂結束后，在其末尾補射孔眼，補射的孔眼只射孔不壓裂。因為儲集層條件和完井方式一致，補射孔眼面積能夠較準確地表征壓裂前的孔眼面積。但如果由于橋塞移動使得補射基準簇的孔眼也受到磨蝕，就不能再表征壓裂前的孔眼面積，這種情況下本文采取壓裂后未磨蝕孔眼面積的平均值來近似代替壓裂前的孔眼面積，進而求解孔眼磨蝕面積。

3 監測結果及分析

試驗井的第2—6段有120個常規射孔孔眼，第2段末有16個補射基準孔眼，共計136個孔眼。由于第2段低邊沉砂較為嚴重，有3個孔眼被遮擋，通過井下成像技術只獲取到 133個孔眼圖像。其中未磨蝕孔眼31個，磨蝕孔眼102個，磨蝕比例為76.7%，磨蝕前后孔眼直徑變化量與孔眼初始直徑之比，即磨蝕程度為15%～352%。

3.1 不同段/簇的孔眼磨蝕情況

試驗井中各段的單簇孔數都較小，孔眼磨蝕作用對流量分配以及多裂縫均勻起裂的影響不可忽略。從圖3可以看出，各段、簇的磨蝕面積差異較大，反映出多簇裂縫的起裂極其不均勻。第 2段末尾的補射基準簇只射孔而不壓裂，其孔眼磨蝕面積應當為零。但是統計發現補射基準簇的孔眼磨蝕面積為2 181 mm2，說明在第 3段壓裂時橋塞發生了滑移，使得補射基準簇也受到壓裂改造作用，進而射孔孔眼被磨蝕。故將補射基準簇的孔眼磨蝕面積劃分到第 3段中計算，定義其簇號為0。第4段設計的加砂量為60 m3，總液量為2 183.2 m3，該段的孔眼磨蝕面積為657 mm2。第6段與第 4段具有相同的簇數和孔數，設計的加砂量（180 m3）和總液量（3 567.3 m3）都遠大于第4段，但是第6段的孔眼磨蝕面積卻小于第4段，只有557 mm2，且第5段第5簇的孔眼磨蝕面積也異常高。故推測第6段壓裂時，橋塞也發生了移動，相當一部分的壓裂液和支撐劑作用在第5段第5簇的孔眼內，使得該簇孔眼磨蝕面積較高。

圖3 各段各簇孔眼磨蝕面積分布圖（從趾端到跟端射孔簇號依次為1—6）

由圖3a、3d和 3e可以看出，第2，5，6段表現出顯著的跟端射孔簇進砂傾向（跟傾），即該段跟端射孔簇的磨蝕面積相對較大，更多支撐劑進入跟端射孔簇。而由圖3b和3c可知，第3、4段表現出支撐劑趾傾，即該段趾端射孔簇的磨蝕面積相對較大，更多支撐劑進入趾端射孔簇。采用各簇孔眼磨蝕面積的方差系數來表征各簇孔眼磨蝕面積分布的均勻性：方差系數越大，表示各簇孔眼的磨蝕面積分布越不均勻；方差系數越小，表示各簇孔眼的磨蝕面積分布越均勻；當方差系數等于零時，表示各簇孔眼的磨蝕面積分布完全均勻。第2—6段的方差系數依次為1.47，1.54，0.39，1.93，0.90。其中第4段的方差系數相對較小，說明各簇孔眼的磨蝕面積分布較為均勻，反映出段內各簇裂縫的起裂均勻程度較高；第2，3，5，6段的方差系數明顯較大，說明各簇孔眼的磨蝕面積分布不均勻，反映出段內各簇裂縫的起裂均勻程度較低。

3.2 射孔相位對孔眼磨蝕的影響

孔眼直徑變化量能直接反應孔眼磨蝕程度，壓后孔眼直徑越大，其磨蝕程度越強，說明進入的支撐劑量越多?？籽壑睆奖憩F出明顯的相位傾向（見圖4），即井筒高側（相位角 0°左右）的孔眼直徑更小，井筒低側（相位角180°左右）的孔眼直徑更大。

圖4 不同射孔相位下的射孔孔徑統計結果

對于未磨蝕孔而言（見圖5a、5b），孔眼直徑為8～12 mm，平均直徑為10.5 mm，其中相位角0°左右的孔眼直徑最小，平均直徑為9.6 mm；相位角180°左右的孔眼直徑最大，平均直徑為11.3 mm。未磨蝕孔的平均直徑極差（最大平均直徑與最小平均直徑之差）為1.7 mm。這主要是因為射孔管具在重力作用下會偏離井軸中心而緊貼井筒低側，使得射孔槍在井筒高側射孔時，穿過的流體間隙更大，能量損失更嚴重，因而孔眼直徑更小。盡管采用了等孔徑射孔彈射孔，但是還不能完全規避這種不利影響。對于磨蝕孔而言（見圖5c、5d），孔眼直徑為9～47 mm，平均直徑為15.8 mm，其中相位角0°左右的孔眼直徑最小，平均直徑為 11.0 mm；相位角 180°左右的孔眼直徑最大，平均直徑為18.0 mm。磨蝕孔的平均直徑極差為7.0 mm，遠大于未磨蝕孔的平均直徑極差。這是因為壓裂前孔眼直徑就存在一定的相位傾向，即井筒低側的孔眼直徑更大，在壓裂作業時壓裂液和支撐劑更易進入大孔眼，使大孔眼的磨蝕更強，進一步加劇了不同相位孔眼的直徑之差，所以磨蝕孔比未磨蝕孔的相位傾向更嚴重。由于孔眼磨蝕存在相位傾向，井筒低側孔眼磨蝕面積普遍較大，孔眼相位為0°和180°附近（井筒高側和低側）的孔眼磨蝕程度差異最為顯著，而孔眼相位為90°和270°附近（井筒的水平中軸線附近）的孔眼磨蝕程度差異較?。ㄒ妶D4），采用180°相位角（水平方向）射孔可減小孔眼磨蝕的相位傾向，促進孔眼均勻磨蝕與進液，避免井筒低側大孔眼的形成。

圖5 不同射孔相位下的典型射孔孔眼圖像

3.3 孔眼磨蝕面積與支撐劑進入量的關系

Roberts等研究發現壓裂段總磨蝕面積與支撐劑量具有較好的正相關關系[27]。試驗井各段支撐劑量與孔眼磨蝕面積數據如表2所示。

表2 各段支撐劑進入量與孔眼磨蝕面積統計數據

試驗井第2—6段設計的支撐劑量依次為111，122，60，180，180 m3。其中第3段壓裂時橋塞發生了移動，通過成像可直接觀察到橋塞移動在管壁上形成的劃痕，使得補射基準簇的孔眼也受到磨蝕。因此，第 3段的實際磨蝕面積等于第 3段各簇的磨蝕面積加上補射基準簇的磨蝕面積。此外，在第 6段壓裂時橋塞移動到了第5段，使得進入第6段的實際支撐劑量少于設計的支撐劑量，進入第 5段的實際支撐劑量大于設計的支撐劑量。由于很難直接獲得進入第 6段的實際支撐劑量，只能通過推算擬合來獲得。第 4段壓裂前后橋塞都沒有發生移動，故其設計的支撐劑量即為該段實際的支撐劑量，可以算出第 4段中每立方米砂產生的磨蝕面積（即該段總磨蝕面積與總支撐劑量之比）。已知第6段的磨蝕面積，可由第4段中每立方米砂產生的磨蝕面積算出第 6段所需的支撐劑量，稱為擬合支撐劑量。第6段支撐劑的減少量等于第5段支撐劑的增加量，進而可算出第5段的擬合支撐劑量。

將各段擬合支撐劑量與磨蝕面積進行線性擬合（見圖6），其相關性高達 94.2%，證明兩者確實呈很好的正相關關系。這也符合數值模擬結果，即孔眼磨蝕程度越強，流量以及支撐劑量分配得越多[37-39]，也從側面說明橋塞移動的推論成立。

圖6 孔眼磨蝕面積與支撐劑進入量的關系

3.4 暫堵有效性判斷

判斷暫堵有效性的常用方法是：在相同施工排量下，暫堵后的施工壓力高于該段暫堵前的施工壓力，或者暫堵后施工排量低于暫堵前時，暫堵后的施工壓力等于或高于該段暫堵前的施工壓力，定性說明暫堵成功[40-42]。將暫堵前后的施工壓力曲線進行疊合，得到施工壓力疊合曲線（見圖7），可以判斷出暫堵前后的施工壓力、排量等參數的變化幅度，進而判斷暫堵的有效性。如圖7所示，在幾乎相同的排量下，暫堵后的施工壓力明顯提高，且正壓差（暫堵后施工壓力大于暫堵前施工壓力）總體占比較高，說明暫堵成功。采取該方法對各暫堵段進行分析，結果表明各暫堵段均暫堵成功。但是該方法是定性判斷暫堵的有效性，更多的是反映暫堵材料是否堵住了大孔眼或者裂縫，并沒有準確反映出各簇孔眼改造的均勻程度。因此，本文結合射孔成像監測數據，計算出各暫堵段孔眼磨蝕面積的方差系數值，來定量反映各簇孔眼改造的均勻程度，進而從總體上反映暫堵的有效程度。方差系數越小，說明各簇孔眼的磨蝕面積分布越均勻，各簇孔眼分配的液量及支撐劑量越均衡，暫堵的有效性就越高。

圖7 MaHW26X試驗井第2段的施工壓力疊合曲線

由前文可知，暫堵段為第 2，5，6段，其孔眼磨蝕面積方差系數分別為1.47，1.93，0.90。未暫堵段為第 3、4段，其孔眼磨蝕面積方差系數分別為 1.54和0.39，其中第4段未受到橋塞滑移的影響，其方差系數值更能代表未暫堵段各簇孔眼改造的均勻程度。各暫堵段的方差系數均比第 4段（未暫堵段）更大。值得注意的是，理論上暫堵段的方差系數應該比未暫堵段低，但統計結果卻與之相反?？赡艿脑蚴堑?、6段之間的橋塞發生滑移，第 2段可能受到橋塞滑移的影響，易使得單簇進液占主導，并且第5、6段的設計加砂量是第4段的3倍，第2段的加砂量幾乎是第4段的 2倍，加砂量對孔眼磨蝕也有直接影響。此外，對比兩個未暫堵段，第 3段的方差系數也顯著大于第 4段，其原因也是第 3段壓裂時橋塞發生滑移，且其加砂量是第4段的2倍。

暫堵的目的是為了促進各簇裂縫均勻起裂及擴展，而孔眼磨蝕面積方差系數就是從總體上反映裂縫起裂的均勻程度，據此定量判斷暫堵的有效程度是一種可行的方法。為提高暫堵有效性判斷的可靠程度，可以將兩種方法相結合，基于施工壓力疊合曲線定性判斷暫堵成功與否，然后通過孔眼磨蝕面積方差系數定量判斷暫堵的有效程度。

4 試驗井與北美地區水平井孔眼磨蝕情況對比分析

MaHW26X試驗井和北美地區大部分水平井都采用了較少的單簇孔數，都是孔眼摩阻對流量分配起主導作用，孔眼磨蝕作用對各簇流量分配及多簇裂縫起裂都有重要影響。對MaHW26X試驗井和北美地區的水力壓裂射孔孔眼磨蝕情況進行對比分析。首先，就儲集層性質而言，北美地區主要是頁巖儲集層等，而瑪湖地區主要是砂礫巖儲集層，其儲集層非均質性更強，裂縫更易出現非均勻起裂及擴展。其次，就壓裂指標而言，北美地區水平井的最高壓裂指標為單段10簇以上，簇間距降低到4～5 m，而試驗井的壓裂指標為單段6簇，簇間距為11～18 m。北美地區井下監測結果表明，孔眼磨蝕的跟端傾向占比較高，相位傾向普遍存在，且孔眼磨蝕程度與支撐劑進入量呈正相關，典型射孔孔眼如圖8所示[24-30,43]。MaHW26X試驗井與北美地區部分井的儲集層特征和具體的施工工藝參數如表3所示。

圖8 北美頁巖儲集層水平井典型的射孔孔眼圖像

表3 試驗井與北美地區部分井的施工參數

對比分析得到MaHW26X試驗井與北美地區部分水平井孔眼磨蝕情況的異同點如下。

①北美地區水平井的孔眼磨蝕程度在5%～120%，而試驗井的孔眼磨蝕程度在15%～352%，試驗井的最大孔眼磨蝕程度明顯更高?？赡茉蚴窃囼灳诘牡[巖儲集層非均質性更強，且發生了橋塞滑移，易使單簇進液占主導。

②北美地區水平井的孔眼磨蝕監測段中，表現為支撐劑跟傾的壓裂段占比更高，而試驗井中壓裂段表現為跟傾的占比相對較低。北美地區水平井與試驗井的孔眼磨蝕都表現出相同的相位傾向，即井筒低側（相位角180°附近）的孔眼磨蝕程度更強。

③北美地區水平井與試驗井中各段的累計孔眼磨蝕面積都與支撐劑進入量具有較好的正相關關系。

5 結論

MaHW26X試驗井固井質量較好的5個壓裂段中，76.7%的射孔孔眼有支撐劑進入，但大多數射孔簇進入的支撐劑量十分有限，支撐劑主要集中在個別簇中，各簇的支撐劑分布不均勻。5個壓裂段中有1段（第4段）支撐劑分布較為均勻，段內各簇裂縫起裂的均勻程度較高；有4段（第2、3、5、6段）支撐劑分布很不均勻，段內各簇裂縫起裂的均勻程度較低，在加入暫堵劑后并未達到促進水力裂縫均勻起裂、均勻加砂的目的，其中第5段第5簇進入的支撐劑量占該段的90%，第2段第6簇進入的支撐劑量超過該段的70%，表現出明顯的支撐劑跟傾。

支撐劑進入量與孔眼磨蝕程度呈正相關關系，試驗井孔眼磨蝕程度在15%～352%，平均值為74.5%，遠大于北美頁巖儲集層部分水平井的統計結果。

孔眼磨蝕具有明顯的相位傾向，井筒低側的孔眼磨蝕面積普遍較大。采用180°相位角（水平方向）射孔可減小孔眼磨蝕的相位傾向，促進孔眼均勻磨蝕與進液，避免井筒低側大孔眼的形成。

符號注釋：

C——支撐劑濃度，kg/m3；Cp——孔眼流量系數，無因次；Cp,max——最大孔眼流量系數，無因次；D——孔眼直徑，m；D0——初始孔眼直徑，m；Df——磨蝕后的孔眼直徑，m；N——簇數；Np——孔眼數；pfi——第i簇的縫內摩阻，Pa；ppf——孔眼摩阻，Pa；ppfi——第i簇的孔眼摩阻，Pa；q——單簇排量，m3/s；qi——第i簇的注入流量，m3/s；Q——壓裂液的總泵入流量，m3/s；t——時間，s；v——壓裂液在孔眼處的平均流速，m/s；α——擬合參數，（m2·s）/kg；β——擬合參數，（m·s）/kg；ρ——流體密度，kg/m3。