同步發電機轉子電磁暫態的準確表達

李生虎

(合肥工業大學 電氣與自動化工程學院， 合肥 230009)

同步發電機SG(Synchronous Generator)是電力系統中最重要有功/無功電源。SG功角失穩和頻率失穩，是電力系統最嚴重安全問題。由于方程多、表達形式復雜，SG動態建模，是電力系統動態仿真和穩定分析的基礎，也是電力系統暫態分析教學難點之一。

站在SG角度，對其建?？梢圆捎盟矔r量形式、abc靜止坐標系。站在電網角度，SG建模一般基于相量形式、派克變換后dq旋轉坐標系，借助機網結構方程，與電網xy坐標系方程聯立求解。

SG電磁暫態包括定子暫態和轉子暫態。定子暫態為2階方程，衰減較快，可簡化為代數方程。轉子電磁暫態考慮勵磁繞組(f)和阻尼繞組(D, Q)，大多用3階模型描述。

采用磁鏈作為狀態變量時，SG電磁暫態描述非常簡單直接。但是由于研究人員更習慣采用內電勢(包括d軸暫態電勢Eq′和d、q軸次暫態電勢Ed″和Eq″)來描述SG，需要轉換方程形式，確定暫態和次暫態電抗，增加了電磁暫態準確表達的難度。

現有專著和教材中，有些從電網穩定分析角度考慮，直接給出電磁暫態模型[1-3]。有些基于拓展電路表達和假設條件，嘗試給出電磁暫態表達的推導過程，例如：

(1) 根據定、轉子電壓方程，可將電抗視為電阻、將電阻除以拉式算子后視為等效電容[4-5]；或保留電抗對時間導數，繪制磁鏈耦合路徑，得到d、q軸等效電路[6]。

(2) 對于故障后從定子側看進去的等效電感，通過不同時間的磁通路徑[7]，描述得到暫態/次暫態電感表達。

(3) 基于電壓方程或者等效電路，可以得到dq軸運算電抗的拉式變換形式。忽略繞組電阻(人為繞組是超導體)、或者采用初值定理(適用于故障后瞬間)，可以得到暫態/次暫態電抗表達形式[4-7]。

(4) 基于短路試驗原理，當f繞組短路、D繞組開路時，令定子繞組中突然流過只含有d軸分量的電流，此時測得定子電抗即是Xd′。當f、D繞組都短路時，令定子繞組中突然流過只含有d軸分量的電流，此時測得的定子繞組電抗即是Xd″。類似可定義Xq″[8]。

SG電磁暫態推導過程涉及很多公式，較為晦澀難懂。因此在講授本科“電力系統暫態分析”、本科/研究生“電力系統故障分析”、研究生“高等電力系統分析”課程時，對SG電磁暫態建模，往往直接給出最后結果，不解釋中間過程。學生常存在疑問：

(1) 暫態/次暫態電抗/電勢定義，往往基于等效電路和運算電抗，給人印象是在解釋而非嚴格證明。采用初值/終值定理，不能明確其他時刻暫態/次暫態電抗取值。引入超導體概念，人為假設過強。因此常有疑問：暫態/次暫態電抗/電勢表達，是否唯一？

(2) 不同文獻中，轉子電磁暫態(電壓方程)存在不同形式。由此常有疑問：何為準確表達？

針對上述問題，本文基于定轉子回路電壓/磁鏈方程，通過矩陣變換，嚴格證明暫態/次暫態電感/電勢表達方式唯一。提出基于內電勢的轉子電磁暫態的精確表達。算例分析中對比轉子電磁暫態系數項，量化了現有近似表達的誤差。

1 SG電磁暫態現有表達

正常情況下SG結構和運行參數對稱，其結構見圖1，內部繞組見圖2，其中定子三相繞組和轉子勵磁繞組實際存在，轉子阻尼繞組為等值繞組。

圖1 同步發電機結構

圖2 同步發電機繞組

忽略零軸、諧波、磁鏈飽和，將參數由三相靜止坐標系變換到dq旋轉坐標系，取標么值，定、轉子磁鏈方程見(1)(2)式，電壓方程見(3)(4)式。

(1)

(2)

(3)

(4)

其中V、I、ψ分別為電壓、電流和磁鏈，R為電阻，L為電感，Lad和Laq為d、q軸反應電感，ω為轉速，p為微分算子，下標D表示定子。

在額定轉速下，L和電抗X標么值相等。計及機械暫態后，轉速存在變化。為簡化表達，很多文獻不嚴格區分兩者，直接將L寫成X。

(3)(4)式可以準確表達SG電磁暫態。其狀態變量取磁鏈，現有計算更習慣內電勢模型。將(1)式代入(3)式，得定子電磁暫態簡化表達：

(5)

將(2)式代入(4)式，取狀態變量Eq′、Eq″和Ed″，得到定、轉子電磁暫態常見近似表達[6, 9, 10]：

(6)

其中Ef=XadIf=XadVf/Rf，Tdo′和Tdo″是暫態和次暫態直軸開路時間常數，Tqo″是暫態和次暫態交軸開路時間常數(7)式。(6)式第二行中pEq′項經常被忽略。

(7)

暫態/次暫態電抗定義見(8)式，暫態/次暫態電勢定義見(9)式。

(8)

(9)

以下證明：轉子磁鏈暫態(6)式，是否為準確表達、暫態/次暫態電抗和電勢(8)(9)式，是否是唯一表達。

2 暫態/次暫態電抗/電勢表達唯一性證明

以下基于矩陣變換，提出暫態/次暫態電感/電勢的準確表達，以證明其唯一性。

2.1 暫態/次暫態電抗表達唯一性證明

區分定、轉子，將(1)-(4)式改寫為矩陣形式[11]，

(10)

(11)

將-Idq和ψdq對調得，

(12)

以上表明暫態/次暫態電感表達形式唯一，且不隨時間變化，不是僅存在于故障瞬間。沒有引入初值定理、超導體等假設，所以是嚴格證明。

2.2 暫態/次暫態電勢表達唯一性證明

將(12)式代入(11)式，得電磁暫態模型，

(13)

其中VfDQ=[Vf, 0, 0]T。第一行為機網接口，第二行反映轉子電磁暫態。第一行ΩsLsrLrr-1ΨfDQ項展開：

(14)

顯然就是(9)式后兩行。保留勵磁繞組、忽略阻尼繞組，類似可得到(9)式第一行。由此可嚴格證明，暫態/次暫態電勢與轉速成正比，且表達方式唯一。

計及(14)式，得定子暫態準確表達：

(15)

對比發現，定子暫態簡化表達(5)式忽略定子磁鏈暫態和轉速變化，即假設pψd=pψq=0、ω=1pu[12]。如果計及pψd和pψq，在功角曲線開始階段中將出現反擺，類似水輪機水錘效應。Kundur、Krause等國內外專家認為，忽略定子磁鏈暫態和忽略轉速變化對SG電磁暫態的影響，可以相互抵消[2, 13]。但是作者嚴格證明，上述影響可以相互抵消，僅限于定子電阻為零且小擾動分析[14]；否則該結論錯誤。

3 轉子電磁暫態表達的準確表達

相對而言，定子電磁暫態推導較為容易，而轉子電磁暫態更難理解，現有表達形式也更多，缺乏準確表達形式。

3.1 轉子電磁暫態準確表達

以下基于矩陣變換，提出轉子電磁暫態的準確表達。將(9)式寫成矩陣形式，

(16)

(17)

為比較與(6)式差異，使得右側轉子暫態/次暫態電勢項形式接近，改寫上式得：

(18)

3.2 現有轉子電磁暫態表達的誤差

取SG參數Rs=0.003 pu，Ld=1.81 pu，Lq=1.76 pu，定子漏感Ll=0.15 pu，Ld′=0.3 pu，Ld″=0.23 pu，Lq″=0.25 pu，Tdo′=8.0 pu，Tdo″=0.03 s，Tqo″=0.07 s[2]。

定子暫態表示為：

(19)

轉子電磁暫態近似表達展開為：

(20)

以下計算SG參數，以建立準確表達。

計算(13)式中系數矩陣：

按3.1節步驟，得到轉子電磁暫態的準確表達：

(21)

對比(20)(21)式發現，兩式右側相同，第三行也相同?，F有表達的誤差，在于左側時間常數前兩行的耦合項。

現有模型忽略第一行pEq′項，是因為其相對于pEq″項衰減較快。將第二行左側兩個系數都取Tdo″、甚至忽略第一項，以簡化表達轉子電磁暫態表達形式。這些簡化節省計算量，但是影響暫態過程的模式特征和衰減速度。

4 結語

本文基于定轉子回路電壓/磁鏈方程，通過矩陣變換，證明暫態/次暫態電感/電勢表達形式的唯一性，提出基于內電勢的轉子電磁暫態準確表達。研究發現：

(1) 暫態和次暫態電感表達方式唯一，不依賴于短路瞬間或超導體等人為假設。

(2) 暫態和次暫態電勢表達方式唯一。

(3) 現有轉子電磁暫態簡化表達中，d軸電壓方程時間常數存在誤差。

上述研究成果，有助于改進電網穩定分析結果的準確性。由于推導過程簡潔嚴謹，便于在本科和研究生教學中得以應用。