空間周期性驅動對雙層耦合反應擴散系統中圖靈斑圖的影響*

劉倩 田淼 范偉麗 賈萌萌 馬鳳娜 劉富成?

1)(河北大學物理科學與技術學院,保定 071002)

2)(河北大學環境工程研究所,保定 071002)

周期性驅動是控制斑圖最有效的方式之一,因此一直是斑圖動力學研究的一大熱點.自然界中的斑圖形成系統大多是多層耦合的非線性系統,周期性驅動對這些多層耦合系統的作用機理人們還不甚了解.本文通過耦合Brusselator (Bru)系統和 Lengyel-Epstein (LE)系統,并給LE 系統施加一個空間周期性驅動來研究外部驅動對多層耦合系統中圖靈斑圖的影響.研究發現,只要外部驅動與Bru 系統的超臨界圖靈模(內部驅動模)兩者中的一個為長波模時,就可以將LE 系統中的次臨界圖靈模激發,3 個模式共同作用從而形成具有3 個空間尺度的復雜斑圖.若外部驅動和內部驅動模均為短波模,則無法激發此系統的本征次臨界圖靈模,但滿足空間共振時也可以產生超點陣斑圖.若LE 系統的本征模為超臨界圖靈模,其自發形成的六邊形斑圖只有在外部驅動強度較大的情況下才能夠產生響應,且其空間對稱性受到外部驅動波數的影響.

1 引言

自組織斑圖現象普遍存在于自然界及其各種時空延展非線性系統中,例如生態環境系統[1]、對流系統[2]、振蕩法拉第系統[3,4]、氣體放電系統[5]、化學反應擴散系統[6]等.圖靈分岔被認為是斑圖形成的一種重要機制,圖靈不穩定性在許多斑圖的形成中起到主要作用[7?9].眾所周知,自然界中斑圖的形成機理是復雜的,受到外界因素的調控作用,且該外界調控通常隨時空發生變化.為了探究外界因素的影響機制,給系統施加一個外部時空驅動是研究這一問題的常用方法[10?20].早期,Dolnik等[13?17]在光敏二氧化氯-碘-丙二酸(CDIMA)反應擴散系統基礎上分別施加一維、二維空間周期驅動,獲得了迷宮斑圖向六邊形、四邊形以及超晶格斑圖轉換.Haim 等[18]研究了空間周期光照下Lengyel-Epstein (LE)系統的共振空間周期解;Liu等[19]闡明了受弱信號和空間周期力作用下可激發反應擴散系統的共振集體行為.多項研究結果表明,空間周期性外部驅動對單層反應擴散系統的斑圖形成具有重要影響.

實際上,不論是自然界還是非線性實驗耗散系統,斑圖形成大多是多層結構相互耦合、共同作用的結果[21?26].人們通過構建多層耦合系統,獲得了與自然界斑圖高度吻合的斑圖類型.例如,Barrio等[21]建立雙層耦合反應擴散系統,獲得了與自然界中魚的體表圖案十分接近的斑圖結構.Li 等[22]在雙層LE 反應擴散模型中獲得了四邊形圖靈斑圖.Paul 等[23]通過對雙層反應擴散系統的參數調控理論分析了反相同步和時空斑圖形成的機理.李偉恒等[24]在雙層介質中分別采用抑制和興奮性耦合,研究了雙層可激發介質中的螺旋波動力學.前期工作中,本課題組[26]通過線性耦合Brusselator(Bru)模型與LE 模型反應擴散系統,研究了兩個圖靈模之間的相互作用,分析了斑圖選擇和形成的影響因素.上述工作表明,采用具有雙層及以上多層耦合系統來描述自然界中斑圖的形成機理更為準確和充分.特別是,如果在多層耦合系統基礎上,能夠考慮到外界時空驅動對斑圖形成的影響,無疑更加貼近實際、更加具有普適性和廣泛性.在雙層擴散耦合光敏CDIMA 化學反應中,Miguez 等[27]通過光照周期性透光性掩膜實現外部調控對自組織斑圖的擾動,研究了兩層圖靈模式之間的相互作用.白婧等[28]采用神經元模型研究了具有多個長方形長程耦合區的神經元網絡中波的傳播,獲得了局部同步引發的各種效應.李倩昀等[29]構造了由心肌細胞和成纖維細胞組成的雙層復合介質,通過細胞之間的耦合強度實現了復合介質中的螺旋波和時空混沌的控制.張秀芳等[30]基于光電管耦合兩個FitzHugh-Nagumo (FHN) 神經元,實現了耦合系統在外界光照輻射注入能量后的動力學行為控制.作為一種特殊的多層耦合反應擴散系統,介質阻擋放電在周期性放電參數調控下,呈現出了豐富的多尺度時空斑圖[31?34].例如Sinclair 和Walhout[32]采用四邊形周期陣列電極獲得了具有不同集體行為的放電絲結構.本課題組通過金屬網柵陣列電極[33]以及周期性結構的電介質[34]實現了對等離子體斑圖的空間周期性調控,并獲得了不同對稱性、不同結構的豐富的斑圖.然而,由于機制復雜,外界時空驅動對多層耦合系統中非線性斑圖形成的影響機制目前仍不十分明確.

針對介質阻擋放電系統,本文采用雙層耦合Bru 系統與LE 系統,研究了外加空間周期性驅動下,不同類型斑圖的形成機制.分析了空間周期性驅動強度、波長等參量對圖靈斑圖形成的調控作用和演化行為的影響.研究結果為我們更深入地理解斑圖形成過程、揭示自然奧秘提供一定支持和啟示.

2 計算模型

研究表明,氣體放電系統中的放電等離子體斑圖可以通過反應擴散模型唯象地描述[35,36].介質阻擋放電系統由放電層和電介質層組成,當放電產生的空間電荷移動到電介質表面后會積累形成表面電荷,反過來表面電荷形成的電場會直接影響空間電荷的行為.為了研究周期性驅動下介質阻擋放電系統中的斑圖形成機理,本文構建了一個唯象的雙層線性耦合反應擴散模型.在無量綱的情況下,其一般形式為

式中,u和v分別為系統內活化子和禁阻子濃度,分別對應放電系統中的電荷和電壓降;Du和Dv為對應的擴散系數,下標 1,2 代表不同層子系統.耦合項α(u2?u1)和α(u1?u2)代表了空間體電荷和表面電荷之間的相互轉變,其中α為兩個子系統活化子(電荷)之間的耦合強度,為了方便,在整個模擬過程中選取α=0.1.本模型也可以描述通過層間擴散耦合的雙層化學反應擴散系統[27].方程f(u,v)和g(u,v)是系統的局部動力學方程,不同的系統有著不同的動力學行為.由于放電系統中放電層和電介質層具有顯著不同的動力學行為,本文分別選用Bru 系統和LE 系統來唯象地描述放電層和電介質層.在無量綱的情況下,Bru 系統的局部動力學為

LE 系統局部動力學為

這里a,b和c,d為各個子系統的控制參數.對于Bru 和LE 子系統,其均勻定態解分別為(u10,v10)=.本文中選取c=5a,則雙層耦合系統的均勻定態解可以表示為

在介質阻擋放電系統中,可以通過周期性陣列電極以及周期性變化的電介質來控制放電斑圖的行為.在本模型中,借用LE 系統中的光敏特性來實現這一調控.即在LE 系統中施加一個空間上呈六邊形分布的周期性外界驅動w來表征外界條件的空間干擾.該驅動對系統的影響通過周期性地改變空間光照來實現,其具體表達式為

光照強度與3 個余弦函數的和成正比,其中w0和kF分別為空間周期性光照的強度和空間波數.

模擬中,采用歐拉向前差分方法進行積分.方程計算在一個含有N×N格點的二維平面上進行,邊界條件選用零流邊界條件.初始條件為在均勻定態解的基礎上施加一個很小的隨機擾動,數值算法的詳細描述可參見文獻[26].所有計算結果的積分時間均超過1000 個時間單位,以確保結果的穩定性.

根據耦合系統中圖靈模不同的性質,將該耦合系統分為3 個類型,其相應的色散關系如圖1 所示.圖中用k1和kC分別表示Bru 子系統和LE 子系統中圖靈模的波數.類型I 為超臨界圖靈長波模與次臨界圖靈短波模相互作用(圖1(a));類型II為超臨界圖靈短波模與次臨界圖靈長波模相互作用(圖1(b));類型III 為兩個超臨界圖靈模之間相互作用(圖1(c)).針對這3 種類型系統,本文分別研究了空間周期性驅動的強度w0和波數kF對斑圖形成的影響.為了簡便起見,不作特殊說明時,設置長波模的波數為 0.2,短波模的波數為 0.4.

圖1 不同圖靈模類型的雙層耦合系統的色散關系圖 (a) 類型I (,α=0.1);(b) 類 型II (,α=0.1);(c) 類 型III (,α=0.1)Fig.1.Dispersion curves of two-layer coupled systems with different Turing mode types:(a) Type I (,α=0.1); (b) type II (,α=0.1); (c) type III(,α=0.1).

3 結果與討論

3.1 類型I 耦合模式下外界驅動的強度和波數對斑圖的影響

圖2 研究了類型I 圖靈模式下外界驅動強度對斑圖的影響.設置k1=0.2,kC=0.4,kF=0.1 不變,此時子系統LE 的本征模式為次臨界短波模,研究驅動強度對LE 子系統中斑圖的影響.當沒有外界驅動,即w0=0 時,LE 子系統自發形成白眼超六邊形斑圖(圖2(a)),其中心有一個較高濃度的斑點,該斑點被一個低濃度環包圍,外圍排列著6 個高濃度的亮點,整體也呈現六邊形陣列結構.由其傅里葉頻譜圖得出,該超六邊形斑圖具有兩個空間尺度,分別為k1和kC,表明在類型I 耦合形式下,次臨界圖靈模kC在k1的作用下已經被激發.該結果與其他雙層耦合模型中獲得的斑圖一致[37,38].此時給系統LE 施加一個波長較大的空間周期性驅動,當驅動強度很小,即w0=0.1 時,LE 子系統形成雪花斑圖I (圖2(b)).根據其傅里葉頻譜圖得出該斑圖由3 套不同波數的模式組成,分別是波長最小的kC、波長較大的k1及波長最大的外加驅動kF,但是強度最強的是模式k1,最弱的是本征模式kC,這3 種模式強度相當.除此以外,模式k1和kC相互作用產生了新模式q,其強度弱于其他模式,3 個模式之間滿足三波共振關系,即k1+kC=q.新模式q具有兩套不同方向的六邊形結構,通過幾何關系可知,此兩套六邊形之間的夾角為θ=21.8°.這些模式共同相互作用從而形成了一個具有3 種空間尺度的超六邊形點陣斑圖.驅動模式kF的強度隨著驅動強度的增加而增強,并成為最主要的模式.當w0=0.5 和 1.0 時,子系統LE 形成了菱形網格斑圖I (圖2(c))和II (圖2(d)),該斑圖的本征波長與外部驅動的波長相同.分析它們對應的傅里葉頻譜圖發現,w0增加時,子系統LE 中模式k1的相對強度稍微有所減弱,但其本征模式kC仍在增強.這是因為外部驅動直接作用于LE 子系統,作為驅動模式kF的高階諧波,本征模式kC也隨之增強.

圖2 類型I 下不同驅動強度的圖靈斑圖及其傅里葉頻譜圖 (a) 超六邊形斑圖,w0=0;(b) 雪花斑圖I,w0=0.1 ;(c) 菱形網格 斑圖I,w0=0.5;(d) 菱形網格斑圖II,w0=1.0(超臨界圖靈模 k1=0.2,次臨界本征模 kC=0.4,驅動的波數 kF=0.1;N=256,Δx=Δy=1)Fig.2.Patterns and Fourier spectrum with different forcing intensity in type I:(a) Super-hexagon pattern,w0=0 ;(b) snowflake pattern I,w0=0.1;(c) rhombus mash pattern I,w0=0.5;(d) rhombus mash pattern II,w0=1.0 (Supercritical Turing mode k1=0.2,subcritical eigenmode kC=0.4 ,wavenumber of forcing kF=0.1 ; N=256 ,Δx=Δy=1).

圖3 分析了空間驅動波數對斑圖的影響,仍保持k1=0.2,kC=0.4 不變,且固定驅動強度,w0=0.1,逐步改變外加驅動的波數kF.當kF=0.2 時,子系統LE 形成的是超六邊形斑圖(圖3(a)),該斑圖由6 個高濃度的線狀亮點包圍一個暗點構成.對比圖2(a)可以發現,當kF=k1時,斑圖內部長波模的強度得到疊加,遠高于kC的強度,導致子系統LE的斑圖選擇發生變化.當kF=0.4 時,子系統LE 形成的是簡單六邊形蜂窩斑圖(圖3(b)).對比圖2(a)可以發現,kF=kC時,系統內部本征模的強度得到疊加,遠高于k1的強度,因此,LE 子系統的斑圖選擇再次發生變化.當kF=0.6 時,系統LE 形成的是六邊形網格斑圖I (圖3(c)).當kF=0.8 時,系統LE 形成的是六邊形網格斑圖II (圖3(d)).對于后兩種斑圖,由于外部驅動的波數大于系統的本征模,使得它很難通過空間共振的方式激發本征模,因此六邊形網格斑圖主要是由模式k1和模式kF相互作用而成.

圖3 類型I 下不同驅動波數的斑圖及其傅里葉頻譜圖 (a) 超六邊形斑圖,kF=0.2;(b) 簡單六邊形蜂窩斑圖,kF=0.4 ;(c) 六邊形網格斑圖I,kF=0.6;(d) 六邊形網格斑圖II,kF=0.8(超臨界圖靈模 k1=0.2,次臨界本征模 kC=0.4,驅動的強度恒為 w0=0.1,N=256,Δx=Δy=1)Fig.3.Patterns and Fourier spectrum with different forcing wavenumber in type I:(a) Super-hexagon pattern,kF=0.2;(b) simple hexagonal honeycomb pattern,kF=0.4;(c) hexagonal mash pattern I,kF=0.6;(d) hexagonal mash pattern II,kF=0.8 (Supercritical Turing mode k1=0.2,subcritical eigenmode kC=0.4,forcing intensity w0=0.1,N=256,Δx=Δy=1).

為了對比研究外部驅動模式與Bru 系統圖靈模式對LE 系統本征模的影響,將兩者的波數置換,即令k1=0.1 ,kF=0.2,同時保持kC=0.4,此時系統的色散關系如圖4(a)所示.圖4(b)—(e)給出了不同驅動強度下獲得的各種斑圖.未加外加驅動,即w0=0 時,系統LE 形成的簡單六邊形蜂窩斑圖(圖4(b))是由系統Bru 的失穩模調制形成,從其傅里葉變換頻譜可以看出斑圖只有k1一套結構.這是因為k1:kC=1:4,兩個模式之間不滿足空間共振關系,因此kC并沒有被激發.當驅動強度w0=0.1時,發現系統LE 呈現雪花斑圖II (圖4(c)).根據其傅里葉頻譜圖得出該斑圖僅由兩套不同波長的模組成,即k1和kF,由于外部驅動太弱,本征模kC依然沒有被激發.繼續增加驅動強度,當w0=0.6時,kC被激發,盡管系統LE 呈現簡單六邊形蜂窩斑圖(圖4(d)),但是其對應的傅里葉頻譜圖顯示該斑圖具有3 個空間尺度.當w0=1.0 時,此時kF的貢獻最大,其次是本征模kC,它們滿足空間共振關系,系統LE 表現為六邊形白眼斑圖(圖4(e)).這就意味著無論是不同層之間的內部作用還是外部直接驅動,當滿足空間共振關系時,都可以激發次臨界圖靈模kC,從而形成超點陣斑圖.不同的是,達到相同效果所需要的外部驅動強度要比層間相互耦合強度要強.

圖4 波數反轉后不同驅動強度下的斑圖及其傅里葉頻譜圖 (a) 色散關系圖(k1 :kC=1:4,=195,=510,=6.6,=81,α=0.1);(b) 簡單六邊形蜂窩斑圖,w0=0;(c) 雪花斑圖II,w0=0.1;(d) 簡單六邊形蜂窩斑圖,w0=0.6;(e) 六邊形白眼斑圖,w0=1.0(驅動的波數 kF=0.2;N=256,Δx=Δy=1)Fig.4.Patterns and Fourier spectrum of different forcing intensity after wavenumber inversion:(a) Dispersion curve (k1:kC=1:4,=195,=510,=6.6,=81,α=0.1);(b) simple hexagonal honeycomb pattern,w0=0;(c) snowflake pattern II,w0=0.1;(d) simple hexagonal honeycomb pattern,w0=0.6;(e) hexagonal white-eye pattern,w0=1.0(Wavenumber of forcing kF=0.2,N=256,Δx=Δy=1).

3.2 類型II 耦合模式下外加驅動對斑圖的影響

研究表明,波數大小在模式相互作用過程中起著非常關鍵的作用.一般來說,只有長波模式才能激發短波模式.3.1 節討論了超臨界長波模與次臨界短波模的耦合系統情況,本小節研究超臨界短波模與次臨界長波模耦合系統中外部驅動對斑圖的影響.為了對比研究驅動波數的影響,分為短波驅動和長波驅動兩種情況來討論.

首先,對于短波驅動的情況,保持k1=0.4,kC=0.2 不變,令kF=0.8,在不同外界驅動強度下,子系統LE 中產生的斑圖如圖5 所示.當w0=0 時,系統LE 自發形成了簡單六邊形蜂窩斑圖(圖5(a)),該斑圖完全是由子系統 Bru 的失穩模調制形成.正如其傅里葉頻譜圖所示,該斑圖只有一種空間模式k1.當驅動強度很弱,即w0=0.1 時,系統LE 仍表現為簡單的蜂窩六邊形(圖5(b)),但是根據其傅里葉頻譜圖可以看出,該簡單蜂窩六邊形由k1和kF兩套結構組成,由于驅動強度較小,所以k1占主導位置,因此斑圖形狀變化不明顯.繼續增加驅動強度,當w0=0.5 時,模式k1的強度只是稍大于模式kF,系統LE 形成六邊形花瓣斑圖I (圖5(c)),即模式kF對原斑圖具有很明顯的調制作用.當w0=1.0 時,模式kF的強度與k1相同,六邊形花瓣斑圖I 轉變為了六邊形花瓣斑圖II (圖5(d)).值得說明的是,在整個過程中,kC始終未被激發.這意味著無論短波模是內部產生還是外部施加,都無法激發出次臨界長波模kC.上述結果表明僅僅是外部模式之間的相互作用,也可以在系統內產生多尺度時空斑圖.

圖5 類型II 下不同短波驅動強度的斑圖及其傅里葉頻譜圖 (a) 簡單六邊形蜂窩斑圖,w0=0;(b) 簡單六邊形蜂窩斑圖,w0=0.1;(c) 六邊形花瓣斑圖I,w0=0.5;(d) 六邊形花瓣斑圖II,w0=1.0(超臨界圖靈模 k1=0.4,次臨界本征模 kC=0.2,驅動的波數 kF=0.8,N=128,Δx=Δy=0.5)Fig.5.Patterns and Fourier spectrum of different short-wave forcing intensity in type II:(a) Simple hexagonal honeycomb pattern,w0=0;(b) simple hexagonal honeycomb pattern,w0=0.1;(c) hexagonal petal pattern pattern I,w0=0.5 ;(d) hexagonal petal pattern pattern II; w0=1.0(Supercritical Turing mode k1=0.4,subcritical eigenmode kC=0.2,wavenumber of forcing kF=0.8,N=128,Δx=Δy=0.5).

接下來討論長波外部驅動對類型II 系統斑圖的影響.依然保持k1=0.4,kC=0.2 不變,取kF=0.1.由于長波的空間尺度較大,這里取系統的尺度為 256×256.無驅動時,系統LE 依然形成的是簡單六邊形蜂窩斑圖(圖6(a)).當驅動強度w0=0.1 時,蜂窩六邊形的空間分布受到驅動kF的調制使得其強度分布呈現周期性分布(圖6(b)),調制波長與外加驅動波長相等.通過其傅里葉頻譜圖可知,kF的強度幾乎是k1模式的兩倍,即模式kF起主導作用.繼續增加外加驅動的強度至w0=0.6,此時子系統LE 的本征模kC被激發,且其強度稍高于模式k1,3 個模式之間相互作用,形成了六邊形蜂窩斑圖,如圖6(c)所示.當w0=1.0時,受到kF的激發作用,kC和k1的強度均有所增加,子系統LE 中形成了明顯具有3 個空間尺度的黑眼六邊形蜂窩斑圖(圖6(d)),該斑圖與類型I 中的六邊形網格斑圖II 類似(圖3(d)).

圖6 類型II 下不同長波驅動強度的斑圖及其傅里葉頻譜圖 (a) 簡單六邊形蜂窩斑圖,w0=0;(b) 簡單六邊形蜂窩斑圖,w0=0.1;(c) 六邊形蜂窩斑圖,w0=0.6;(d) 黑眼六邊形蜂窩斑圖,w0=1.0(超臨界圖靈模 k1=0.4,次臨界本征模 kC=0.2,驅動的波數 kF=0.1,N=256,Δx=Δy=1)Fig.6.Patterns and Fourier spectrum of different long-wave forcing intensity in type II:(a) Simple hexagonal honeycomb pattern,w0=0;(b) simple hexagonal honeycomb pattern,w0=0.1;(c) hexagonal honeycomb pattern,w0=0.6;(d) black-eye hexagonal honeycomb pattern,w0=1.0(Supercritical Turing mode k1=0.4,subcritical eigenmode kC=0.2,wavenumber of forcing kF=0.1,N=256,Δx=Δy=1).

3.3 類型III 耦合形式下外加驅動對斑圖形成的影響

接下來研究兩個超臨界圖靈模作用的情況.首先固定驅動波數kF=0.1 不變,驅動強度對子系統LE 斑圖的影響如圖7 所示.這里依然選擇k1=0.2,kC=0.4.此時子系統LE 的本征模式為超臨界短波模.w0=0,即不加周期性空間驅動時,系統自發產生的是簡單六邊形蜂窩斑圖(圖7(a)).盡管子系統Bru 中的圖靈模是一個失穩模,但是它對LE層斑圖的影響非常小,在其傅里葉變換頻譜僅僅能夠看到強度非常弱的k1.

當驅動強度較小,即w0=0.1 時,系統LE 仍表現為簡單的蜂窩六邊形(圖7(b)),盡管從其傅里葉頻譜圖可以看出該斑圖包含k1,kC和kF三種成分,但由于外加驅動的影響相對較弱,對斑圖的形狀影響并不明顯.繼續增加外加驅動的強度至w0=0.5,蜂窩六邊形開始受到外部驅動的調制,如圖7(c)所示,在調制部分開始出現條紋斑圖.當驅動強度足夠強(w0=1.0)時,子系統LE 形成了條紋和蜂窩六邊形共存的斑圖(圖7(d)).在驅動強度增大的過程中,k1的強度始終較弱,kF的強度在逐漸增強,并逐漸影響斑圖的周期性,最終改變其對稱性.

圖7 類型III 下不同驅動強度的斑圖及其傅里葉頻譜圖 (a) 簡單六邊形蜂窩斑圖,w0=0;(b) 簡單六邊形蜂窩斑圖,w0=0.1;(c) 調制蜂窩斑 圖,w0=0.5;(d) 條紋與蜂窩六邊形共存斑圖,w0=1.0(超臨界圖靈模 k1=0.2,超臨界圖 靈模kC=0.4,驅動的波數 kF=0.1;N=128,Δx=Δy=1)Fig.7.Patterns and Fourier spectrum with different forcing intensity in type III:(a) Simple hexagonal honeycomb pattern,w0=0;(b) simple hexagonal honeycomb pattern,w0=0.1;(c) modulated honeycomb pattern,w0=0.5;(d) coexistence of stripe and honeycomb hexagon,w0=1.0(Supercritical Turing mode k1=0.2,supercritical Turing mode kC=0.4,wavenumber of forcing kF=0.1,N=128,Δx=Δy=1).

由于空間驅動只有在強驅動強度下才對斑圖有作用,因此下面研究強驅動強度下不同驅動波數對斑圖的影響.固定驅動強度w0=1.0,并依然保持k1和kC不變,獲得的結果如圖8 所示.當kF=0.2時,子系統LE 形成的是點和線共存的不規則復雜斑圖(圖8(a)).此斑圖對應的傅里葉頻譜圖中包含一個尺度為kF=k1的六邊形點陣以及一個尺度為kC的圓環,且兩者的強度幾乎相同.由于外部驅動kF和內部驅動模式k1波數相同,因此兩者共振疊加,形成了六邊形結構.而對于本征模kC,強驅動改變了其對稱性,從原來的六邊形轉變為了條紋斑圖,同時其空間取向具有隨機性,因而形成了方向各異的條紋結構.當kF=0.4 時,子系統LE形成的是簡單六邊形蜂窩斑圖(圖8(b)),這是由于此時kF=kC,本征模kC的強度共振疊加,遠高于k1的強度,斑圖只表現為kF=kC的空間尺度.當kF=0.6時,系統LE 形成的也是簡單六邊形蜂窩斑圖(圖8(c)),斑圖的空間尺度與外加驅動一致,此時外加驅動對斑圖的調控占主導作用.當kF=0.8 時,系統LE 中呈現具有本征波數kC的條紋斑圖(圖8(d)),也就是說在外部驅動作用下斑圖打破了原本六邊形的空間對稱性,轉變為了條紋斑圖.

圖8 類型III 下不同驅動波數的斑圖及其傅里葉頻譜圖 (a) 復雜斑圖,kF=0.2;(b) 簡單六邊形蜂窩斑圖,kF=0.4;(c) 簡單六邊形蜂窩斑圖,kF=0.6;(d) 條紋斑圖,kF=0.8(超臨界圖靈模 k1=0.2,超臨界圖靈模 kC=0.4,驅動的強度固定為w0=1.0,N=128,Δx=Δy=1)Fig.8.Patterns and Fourier spectrum with different forcing wavenumber in type III:(a) Complex pattern,kF=0.2;(b) simple hexagonal honeycomb pattern,kF=0.4;(c) simple hexagonal honeycomb pattern,kF=0.6;(d) stripe pattern,kF=0.8 (Supercritical Turing mode k1=0.2,supercritical Turing mode kC=0.4 ,forcing intensity w0=1.0,N=128,Δx=Δy=1).

與前兩種類型不同,類型III 中LE 系統的本征模是一個失穩模,能夠自發形成六邊形斑圖,該斑圖只有在外部驅動強度較大的情況下才能夠對驅動產生響應,且隨著外加驅動波數的改變,空間對稱性也發生了改變.

4 結論

本文通過耦合兩個不同的反應擴散系統,即Bru 系統和 LE 系統,并給其中的LE 系統施加一個空間周期性外部驅動,研究了周期性空間驅動對雙層耦合系統斑圖形成的影響.保持Bru 系統中的圖靈模為超臨界模,根據LE 子系統圖靈模的性質不同,將耦合系統分成了3 種類型,它們在外部空間驅動作用下的行為有很大不同.

1)當LE 子系統中的圖靈模為次臨界短波模時,系統自發形成雙尺度的白眼超六邊形斑圖.在周期性外部驅動作用下,超臨界圖靈模和次臨界圖靈模以及驅動模三者共同作用,可以形成具有3 個空間尺度的復雜斑圖.驅動強度和驅動波數對斑圖類型的選擇影響很大.研究發現不論是內部作用還是外部直接驅動,當滿足空間共振關系時,都可以激發次臨界圖靈模kC,從而形成超點陣斑圖,但是達到相同效果所需要的外部驅動強度要比層間相互耦合強度要強.

2)當LE 子系統中的圖靈模為次臨界長波模時,系統僅僅受到Bru 層圖靈短波模的調制而形成微弱的簡單的六邊形斑圖.當外部驅動也為短波模時,只有兩個短波模之間相互作用,無法激發次臨界長波本征模.而當外部驅動為長波模時,LE系統中的次臨界本征模被激發,3 個模式之間可以共同作用而形成3 個尺度的超點陣斑圖.

3)當LE 子系統中的圖靈模為超臨界圖靈模時,系統自發形成由本征模構成的簡單六邊形斑圖,此時Bru 層中的圖靈模以及弱外部驅動模僅僅起到一個非常微弱的調制作用.只有在外部驅動強度較大的情況下才能夠對系統的斑圖產生影響,且隨著外加驅動波數的改變,原來的空間對稱性被打破,斑圖類型從六邊形斑圖轉變成了條紋斑圖.