MATLAB 在常微分方程課程教學中的應用

李 政，李希敏

（桂林師范高等?？茖W校數學與計算機技術系，廣西桂林 541199）

常微分方程課程是大學數學等相關專業的核心課程，其應用領域十分廣泛，很多與變化率相關的問題都可以用微分方程來解決。如：魚的捕撈、傳染病的傳播預測、人口增長的預測等[1]。在實際的課程教學中存在幾個急需解決的問題：一是很多的方程求解步驟煩瑣冗長，得到的解復雜，無法了解解的性質；二是大部分方程可以證明其有解，卻無法求出精確的解，需要求方程的數值解，而數值解的計算量大，無法在課堂上完成，影響教學的完整性；三是繪制向量場是求方程近似解與研究方程解的性質的重要手段，但是向量場的繪制計算量大，手工繪制的向量場誤差大，影響了對解的研究。本文以MATLAB 為工具，切實解決常微分方程課程教學中存在的這些問題。

一、MATLAB 的特點

MATLAB 是世界著名的數學軟件之一，它在符號運算與數值計算方面功能強大。MATLAB 可以進行矩陣運算、繪制函數和數據、實現算法、創建用戶界面、連接其他編程語言的程序等，主要應用于科學計算、控制設計、信號處理與通訊、圖像處理、信號檢測、金融建模設計與分析等領域。矩陣是MATLAB 的基本數據單位，其指令表達式與數學、工程中常用的形式十分相似，用MATLAB 來解數學問題要比用C、FORTRAN 等語言完成相同的事情簡單方便，MATLAB 同時吸收了像Maple 等軟件的優點，成為一個強大的數學軟件。

二、利用MATLAB 求微分方程的解析解并繪制積分曲線

很多微分方程的求解過程十分冗長，同時需要進行各種復雜的變換處理，給微分方程的應用帶來很大的麻煩，耗費了教師大量的課堂時間。利用MATLAB 可以快速求出方程的解析解，同時繪制積分曲線，便于對解的情況進行研究。

例1：求微分方程的特解，并畫出積分曲線。

分析：在MATLAB 中可以調用函數dsolve（）求微分方程的通解和特解，其調用的一般格式為：dsolve（＇eq1，eq2…＇，＇cond1，cond2，…＇）。用fplot（）函數來繪制積分曲線圖，其調用格式為fplot（f，xinterval）。其中用Dy，D2y 分別表示y 的一階導數與二階導數。MATLAB 求解的步驟如下：

syms x y；%定義x，y 為符號變量（便于求導）；y＝dsolve（＇D2y＋4*Dy＋29*y＝0＇，＇y（0）＝0＇，＇Dy（0）＝15＇，＇x＇）；%求解此微分方程在初始條件下的特解，得到結果如下：

這里exp 是常數e，再調用fplot（）繪制函數圖像[2]：

得到積分曲線如圖1 所示。

圖1 方程的積分曲線

整個求解過程簡單快速，并能精確地繪制出積分曲線，便于分析研究解的情況，節省大量的時間，可以提高課堂效率。

三、利用MATLAB 求微分方程的數值解

（一）微分方程的數值解的定義

設y（x）是初值問題的解：

y（x）的存在區間是[a，b]，令a＝x0＜x1＜x2＜…xn＝b，hk＝xk＋1-xk且h＝（b-a）／n，把h 稱為步長。假定y（x）的表達式很難求得，但是可以利用數值方法求得y（x）在點xk的值y（xk）的近似值，記為yk，也就是y（xk）≈yk，從而求得一組點集：（x1，y1），（x2，y2）…（xn，yn），稱為微分方程的數值解。

（二）歐拉折線法求微分方程的數值解

歐拉折線法的核心是利用差分來近似微分，簡單地說是以直代曲，在很小的局部把曲線看成直線。根據歐拉折線法可以得到方程的數值解：

設節點為a＝x0＜x1…xn＝b，初值問題歐拉折線法為：

分析：可以看到，例2 的初值問題是無法找到方程的解析解的，利用歐拉折線在MATLAB中實現求方程的數值解如下：

可以看到，利用MATLAB 能快速求出微分方程的數值解，并繪制數值解的散點圖（見圖2），從而觀察到解的大致圖像。但是，在這里要注意：一般數值解的范圍比較?。ㄔ谶@里我們設定的間是［1，1.4］），否則誤差會比較大。

圖2 方程數值解的散點

四、利用MATLAB繪制微分方程的向量場

通過向量場可以近似積分曲線，還可根據向量場本身的性質來研究解的性質，它是微分方程課堂教學中的重點內容，可是在教學過程中向量場的繪制往往占用教師很多的時間。如果向量場中向量的繪制數量太少，就會看不到積分曲線的性質與特征，這時可以利用MATLAB 繪制向量場，提高課程教學的效率。

分析：定義一個生成向量場數據的函數：

利用MATLAB 的quiver 函數繪制向量場，quiver 調用格式：quiver（X，Y，U，V）在由X和Y 指定的笛卡爾坐標上繪制具有定向分量U 和V 的箭頭。

繪制向量場過程如下：

結果如圖3 所示：

圖3 向量場與積分曲線

通過向量場與積分曲線的對比，可以看到向量場近似方程的解，從而加深學生對向量場與積分曲線之間關系的了解，突出教學重點，提高課堂教學的效率。

五、結語

把MATLAB 強大的符號運算能力、精確的數值計算與豐富的繪圖功能應用到常微分方程的課堂教學中，解決教學中求方程的解析解難、求數值解計算量大、繪制向量場不精確等問題，可以提高常微分方程課堂教學效率，促進微分方程在實際中的應用。