擴散風險模型下保險公司和再保險公司之間的最優再保險策略選擇博弈

林 祥, 朱冠霞, 錢藝平

(浙江工商大學金融學院，杭州 310018)

0 引言

再保險合約是在原保險合約上的保險合約，是再保險公司與保險公司之間的保險合約，是保險公司分散經營風險，控制保險責任，擴大承保能力的重要手段。保險公司是與投保人簽訂保險合約的保險人，再保險公司是與保險公司簽訂分保合同的保險人。當投保人與保險公司簽訂保險合約，保險合約的期望收益已經確定。因此，在保險公司向再保險公司購買再保險時，在承擔風險和獲得收益之間有一個替換，存在著價格和需求之間的一個博弈。若再保險價格太高，保險公司將購買少量的再保險或者不購買再保險，自己承擔風險，獲得收益。若再保險價格太低，則再保險公司不愿意提供再保險合約。

Borch[1]研究了兩家保險公司通過談判達成一個互惠再保險合約問題，利用博弈理論得到兩家保險公司合作對策的互惠再保險合約。Borch[2]和Arrow[3]給出了再保險市場模型和市場均衡的價格，但這是一個靜態模型。隨后，有大量的文獻研究了使得期望終端財富效用最大化或破產概率最小化的最優再保險策略選擇問題，具體見文獻[4–10]。也有大量文獻研究在各種風險測度下的最優再保險問題，Cai 和Tan[11]使用保險公司總成本的在險價值(VaR)和條件期望尾部值(CTE)作為最優化目標，得到停止損失再保險的最優自留額。Chi 和Tan[12]通過對保險公司在VaR 和條件在險價值(CVaR)標準下的總風險暴露最小化，研究了兩類最優再保險模型。Zhou 等[13]通過控制定額分擔和停止損失再保險策略，考慮了使得保險公司自留風險的VaR 和CTE 測度最小化問題。Cui 等[14]在一般保費原理下，利用扭曲測度研究了保險公司的最優再保險問題，得到最優再保險策略的顯示解。Bensoussan 等[15]、Pun 和Wong[16]、Chen 等[17]、Deng 等[18]研 究 兩 個 競 爭 保 險 公司之間的非零和再保險和投資隨機微分博弈問題。但這些文獻都站在保險公司的角度，僅僅考慮保險公司的最優再保險策略選擇。

也有一些文獻從再保險公司的角度，研究再保費定價和最優再保險合約設計問題。Suijs 等[19]把再保險策略選擇問題轉化成保險公司和再保險公司之間的具有隨機損益的合作博弈問題。Jean-Baptiste 和Santomero[20]考慮了非對稱信息下保險者和再保險者通過再保險分散風險問題，得到信息對風險承擔和再保險保費定價的影響。Zeng 和Luo[21]通過把再保險轉化為連續時間隨機合作博弈問題，利用隨機控制原理得到Pareto 最優再保險策略為停止損失再保險或比例再保險，依賴于保費原理的選擇。Boonen 等[22]研究了再保險合約的價格，與無差別定價相比，保險者和再保險者通過討價還價，從再保險中獲得收益。Hu 等[23]在保險者或再保險者索賠過程模型不確定下，從委托-代理框架考慮了連續時間再保險合約設計問題，得到最優再保險合約的顯示表達式。王愫新等[24]同時考慮保險公司和再保險公司的最優再保險和投資問題，且風險資產的價格服從Heston 隨機方差模型，在保險公司和再保險公司終端期望財富效用最大化目標下，得到了保險公司和再保險公司的最優再保險和投資策略，以及值函數的顯示表達式。王愫新和榮喜民[25]用帶漂移項的布朗運動來描述賠付過程，保險公司可以向再保險公司購買比例再保險，并都能投資于金融市場，得到保險公司的最優分保和投資策略，以及再保險公司的最優承保和投資策略的顯示解。Chen 和Shen[26]在期望財富效用最大化下，考慮了保險公司和再保險公司之間的隨機leader-follower 比例再保險博弈問題，在指數效用函數下，得到了再保險公司的最優再保費，保險公司的最優自留額，以及保險公司和再保險公司值函數的顯示表達式。Hu 等[27]在再保險公司索賠強度不確定下，從委托-代理框架考慮了連續時間比例再保險和停止損失再保險合約選擇問題，在指數效用函數下，得到最優再保險合約的顯示表達式。

在實際再保險市場，保險公司可以選擇分?；虿环直?，同時，再保險公司也可以承?；虿怀斜?，以及承保的數量，保險公司和再保險公司關于再保險之間存在著一個博弈。對比已有文獻的研究，本文的貢獻主要體現在以下三個方面。首先，本文在同時考慮保險公司和再保險公司利益條件下，根據博弈主導者的不同建立了保險公司和再保險公司之間的三種再保險策略選擇博弈模型?，F有文獻對再保險合約的研究，要么站在保險公司的角度，要么站在再保險公司的角度，或僅僅考慮保險公司和再保險公司共同主導情形。其次，在保險公司和再保險公司都具有指數效用下，得到了三種博弈情形下比例再保險合約能夠成交的條件。這些新的結果對保險公司購買再保險和再保險公司承保有重要的指導意義，同時也為再保險合約設計提供參考。最后，分析了再保險合約，以及保險公司和再保險公司的效用損益與模型主要參數之間的關系?，F有文獻并沒有考慮效用損益與模型主要參數之間的關系，這些結果有助于更好地理解再保險合約的選擇和設計，完善再保險策略選擇理論。

1 模型

1.1 盈余過程

為了更好地理解擴散風險模型，首先給出經典的Cramer-Lundberg 風險模型

假設保險公司通過購買再保險來控制自己的風險水平，對每一次賠付，假設保險公司購買的比例再保險水平為1?a，其中a稱為風險暴露，即為保險公司的自留風險比例。同時保險公司要支付部分保費給再保險公司，假設η為再保險公司所要求的單位時間的保費收入，則再保險保費為(1?a)η，且η ≥μ。在保險公司自留比例為a時，保險公司的盈余過程為

如果自留額a滿足0≤a ≤1，則稱a是可行再保險策略。所有的可行再保險策略組成的集合記為Π1。假設再保險公司自身并沒有參與其它的保險活動，其收入來源完全由再保險保費構成，則再保險公司承保后的盈余過程為

其中y0≥0 是再保險公司的初始盈余，(1?a)為再保險公司的分入比例。如果分入比例1?a滿足0≤1?a ≤1，則稱1?a是可行分入策略。所有的可行分入策略組成的集合記為Π2。

1.2 目標函數

若保險公司不分保，則保險公司在T時刻的期望盈余效用為

在實際再保險市場，保險公司可以選擇分?；虿环直?，同時，再保險公司也可以承?；虿怀斜?，以及承保的數量，保險公司和再保險公司之間關于再保險存在著一個博弈。假設保險公司以期望盈余效用增加作為分保的條件，再保險公司也以期望盈余效用增加作為承保的依據。一個合理的再保險合約應該同時考慮保險公司和再保險公司的利益，雙方的期望終端盈余效用都要增加，再保險合約才能成交。由于保險公司和再保險公司所處主體地位的不同，需要考慮誰是博弈的主導者，故對應以下三種情形：

(i) 保險公司占主導。保險公司決定再保險保費和購買比例再保險的數量，再保險公司只能根據再保險保費決定是否承保此數量再保險。保險公司選擇可行比例再保險策略a?，使得

保險公司決定購買此再保險時再保費應滿足

如果保險公司和再保險公司具有一般的效用函數，那么要判斷三種博弈情形下解的存在唯一性是比較困難的，即使三種博弈情形下存在解，要得到其解的顯示表達式也是十分困難的。

2 CARA 效用保險公司和再保險公司

2.1 保險公司占主導

下面，在保險公司占主導下，考慮保險公司的最優比例再保險策略和再保險公司的承保條件。

推論1 如果再保費滿足η<α1σ2，則有V1(t,x)> ˉV1(t,x)，即保險公司選擇最優比例再保險策略能夠提高保險公司的期望盈余效用。

證明 由(17)和(20)，可得

2.2 保險公司和再保險公司共同主導

下面，在保險公司決定購買再保險比例，再保險公司決定再保費下，考慮再保險公司的最優再保費和保險公司的最優再保險策略。

定理3 在指數效用函數下，保險公司的最優比例再保險策略為

2.3 再保險公司占主導

下面，在再保險公司占主導，考慮再保險公司的最優承保比例和保險公司購買該再保險的條件。

定理4 假設再保險公司具有指數效用函數，則再保險公司的最優承保比例為

注2 在三種博弈情形下，我們得到的最優再保險策略和再保費都是常數，但特別注意最優再保險策略和再保費都是依賴于索賠大小和索賠強度，這是基本符合實際的。因為沒有考慮投資，所以最優再保險策略是常數，不隨時間的變化而變化。不考慮投資，是因為單獨考慮再保險有利于更好地探討在不同的情形下再保險合約能夠成交的條件，以及再保險合約對保險公司和再保險公司效用損益的影響。

3 結果比較與靈敏性分析

下面分別考慮三種博弈情況下最優再保險合約與模型主要參數之間的關系，并通過數值計算得到保險公司和再保險公司的效用損益與模型主要參數之間的關系。

由于V1(t,x)<0 和ˉV1(t,x)<0，定義

為保險公司購買再保險后對應的效用損益。若L1(T)> 0，則表示保險公司購買再保險后終端期望盈余效用會增加，即保險公司有效用收益，L1(T)的大小為保險公司效用增加百分比；L1(T)< 0 表示保險公司購買再保險后終端期望盈余效用會減少，即保險公司有效用損失，L1(T)的大小為保險公司效用損失百分比。同樣的，定義

為再保險公司選擇承保后對應的效用損益。若L2(T)> 0，則表示再保險公司承保后有效用收益；若L2(T)< 0，則表示再保險公司承保后有效用損失。如果L1(T)>0 且L2(T)> 0，則再保險合約可以成交；否則，至少一方有效用損失，再保險合約不能成交。

除非特別說明，各模型參數取值如表1 所示。

表1 數值例子中的各個模型參數值

3.1 保險公司占主導

由定理1 中的(19)，得下面的推論。

推論4 保險公司的最優自留比例a?是α1的減函數，a?是η的增函數，a?是σ的減函數。

由于α1為保險公司絕對風險厭惡系數，α1越大，保險公司越厭惡風險，所以保險公司愿意分出更多的風險，自留比例越小。因為η為再保費，η越大，表明再保險成本越高，故保險公司自留更多風險。由于σ是保險公司的賠付大小，σ越大，保險公司面臨的賠付風險越大，所以保險公司自留更少的風險。

圖1 給出保險公司和再保險公司的效用損益與再保費η之間的關系。由圖1 可知，保險公司和再保險公司都有效用收益，即在此再保費下，保險公司購買再保險和再保險公司承保都能提高其效用，再保險合約是可以成交的。保險公司的效用收益L1(T)隨著再保費η的增加而減少，因為η越大，再保險成本越高，購買再保險需要花費更多財富，導致期望盈余效用減少。再保險公司的效用收益L2(T)是再保費η的先增后減函數，這與直觀的再保費越高，再保險公司承保收取更多的保費，再保險公司具有更多的財富，從而期望盈余效用越大不一致。因為第一方面，再保費越高，再保險公司承保收取更多的保費導致再保險公司盈余增加；第二方面，再保費越高，再保險成本越高，保險公司購買更少的再保險導致再保險公司盈余減少。當再保費較小時，第一方面占主導，因此再保險公司的效用收益隨著再保費的增加而增加；當再保費較大時，第二方面占主導，因此再保險公司的效用收益隨著再保費的增加而減小。

圖1 效用損益與η 之間的關系

圖2 給出保險公司和再保險公司的效用損益與保險公司的絕對風險厭惡系數α1之間的關系。由圖2 可知，保險公司和再保險公司都有效用收益，保險公司和再保險公司的效用收益都隨著α1的增加而增加。因為α1為保險公司的絕對風險厭惡系數，α1越大，保險公司越厭惡風險，承擔風險需要更多的補償，導致效用收益增加。從圖2 還可以發現，α1對保險公司的效用收益L1(T)影響敏感，對再保險公司的效用收益L2(T)影響不敏感。因為α1為保險公司的絕對風險厭惡系數，直接影響保險公司的效用收益，而對再保險公司效用收益的影響是通過再保費傳導過來。因此，α1對再保險公司的效用收益影響沒有對保險公司的效用收益的影響敏感。

圖2 效用損益與α1 之間的關系

3.2 保險公司和再保險公司共同主導

推論5 再保險公司最優再保費η?是σ和α2的增函數，保險公司最優自留額?a?是α2的增函數。

所以?a?隨著α2的增大而增大。

由于σ越大，再保險公司承保面臨的賠付風險越大，所以再保險公司要求更多的再保費。由于α2為再保險公司絕對風險厭惡系數，α2越大，再保險公司越厭惡風險，所以再保險公司承保需要更多的再保費，同時導致保險公司的再保險成本越高，故保險公司自留更多的風險。

由推論2 可知

圖3 給出保險公司和再保險公司的效用損益與保險公司的絕對風險厭惡系數α1之間的關系。由圖3 可知，保險公司和再保險公司都有效用收益，再保險合約是可以成交的。保險公司和再保險公司的效用收益都隨著α1的增加而增加，并且再保險公司的效用收益大于保險公司的效用收益。

圖3 效用損益與α1 之間的關系

圖4 給出保險公司和再保險公司的效用損益與再保險公司的絕對風險厭惡系數α2之間的關系。由圖4 可知，保險公司和再保險公司都有效用收益。同時，由圖4 可知，保險公司的效用收益隨著α2的增加而減小，而再保險公司的效用收益是α2的增函數。由推論5 可知，再保費和保險公司的最優自留額都是α2的增函數。因此，隨著再保險公司絕對風險厭惡系數的增加，再保險公司承保收取更多的再保費，導致保險公司的期望盈余效用減小，再保險公司的期望盈余效用增加。

圖4 效用損益與α2 之間的關系

3.3 再保險公司占主導

由定理4 中的(38)，易得下面的推論。

推論6 再保險公司的最優承保比例1?a?是σ和α2的減函數，是η的增函數。

由于σ越大，再保險公司承保面臨的賠付風險越大，因此再保險公司承保更少的再保險。由于α2為再保險公司絕對風險厭惡系數，α2越大，再保險公司越厭惡風險，所以再保險公司只愿意承擔更少的風險，承保比例越小。因為η為再保險公司的再保費，η越大，表明承保能獲得更多的收益，故再保險公司承保更多的風險。

圖5 給出保險公司和再保險公司的效用損益與再保費η之間的關系。由圖5 可知，保險公司和再保險公司都有效用收益。再保險公司的效用收益隨著再保費η的增加而增加，因為η越大，承保能獲得更多的收益，所以再保險公司的效用收益會增加。保險公司的效用收益是再保費η的先增后減函數。因為再保險公司決定承保比例，第一方面，再保費越高，再保險成本越高，購買再保險導致保險公司盈余減少；第二方面，再保費越高，再保險公司承保比例越高，保險公司面臨的風險在減小，導致保險公司盈余會增加。當再保費較小時，第二方面占主導，因此保險公司的效用收益會增加；當再保費較大時，第一方面占主導，因此保險公司的效用收益會減小。

圖5 效用損益與η 之間的關系

圖6 給出保險公司和再保險公司的效用損益與σ之間的關系。由圖6 可知，保險公司的效用收益隨著σ的增加而增加，而再保險公司的效用收益是σ的減函數。因為再保險公司決定承保比例，σ越大，由(38)可知再保險公司承保更少的再保險，保險公司分出更少的保費，所以保險公司的效用收益會增加，再保險公司的效用收益會減少。

4 結論

本文在擴散風險模型下考慮了保險公司和再保險公司之間的再保險策略選擇博弈問題。在保險公司和再保險公司都具有指數效用函數條件下，得到了三種博弈情形下保險公司和再保險公司之間的再保險策略的顯示解，以及再保險合約能夠成交時再保費滿足的條件。通過數值計算得到效用損益與模型主要參數之間的關系，并給出相應的經濟分析。

本文僅僅考慮在三種博弈情形下再保險合約能夠成交的條件，并且再保險公司沒有參與其它的保險活動，其收入來源完全由再保險保費構成。在后續的研究中，將考慮再保險公司本身具有保險業務，并將引入投資，即保險公司和再保險公司都投資于金融市場，并且金融市場與保險市場相關，探討投資對再保險合約成交的影響。