磁通e-HR 神經元模型的放電行為及同步控制

馬 杰, 高 潔, 獨盟盟, 楊麗新

(陜西科技大學文理學院，西安 710021)

0 引言

生物神經元是構成復雜神經網絡的基本結構和單元，具有豐富的放電行為，并且神經元之間信息的傳遞、交流等行為主要是通過神經元的放電活動進行的。文獻[1]對e-HR 神經元模型進行了分岔分析和穩定性分析，并且對其存在的隱藏放電動力學以及控制同步進行了研究。文獻[2]通過磁通變量來改進原HR 神經元模型，設計了一個四變量磁通HR 神經元模型來描述電磁輻射對神經元放電活動的影響。Song 等[3]研究發現，含有電突觸比含有化學突觸的HR 神經元的放電活動更容易被外部刺激誘發。文獻[4]討論神經元模型的分岔分析及其存在的隱藏吸引子，并對神經元模型的分岔進行控制。文獻[5]以五維超混沌類系統為研究對象，根據Hopf 分岔理論和Routh-Hurwitz 理論，分析了系統非零平衡點的穩定性，以及分岔解穩定性。文獻[6–7]對時滯耦合HR 神經元的同步以及部分同步進行實驗，以改進的ML 神經元模型，對模型進行數值仿真，研究ML 神經元模型各種豐富的放電情況，另外研究了化學突觸和電突觸耦合這兩種不同耦合方式下的同步控制問題。本文從數學角度對磁通e-HR 神經元模型進行了平衡點與Hopf 分岔分析，討論了不同外加刺激電流和磁通反饋增益下神經元模型呈現出不同的放電模式。此外研究了磁通e-HR 神經元模型的控制同步，基于Lyapunov 穩定理論設計控制器，并從理論分析和數值模擬兩個方面來說明控制器的有效性與可行性。

1 模型描述

最常見的神經元模型除了HH 神經元模型和HR 神經元模型外，在HR 模型的基礎上考慮細胞內離子的轉移，得到了e-HR 神經元模型，它具有和HR 神經元模型相似的特性。所以，基于e-HR 神經元模型，考慮外界電磁場對膜電位變化的影響，引入磁通量后建立的e-HR 神經元模型的微分方程如下

其中a、b、c、d、e、f、g、u、s、h、v、k、r、l為系統的參數，狀態變量x表示神經元的細胞膜電位，y、z分別表示快電流和慢電流，w表示緩慢的動力學行為，φ表示穿過神經元細胞膜的磁通量，I表示外部刺激電流，k0表示磁通反饋增益，W(φ)是由磁通量控制憶阻器的記憶電導，其中W(φ)=α+3βφ2。

2 平衡點穩定性及Hopf 分岔分析

2.1 平衡點穩定性分析

若系統的平衡點為s?=(x,y,z,w,φ)，通過化簡可以得到

當系統取k0=0.2, I=1 時，系統的平衡點為S1=(?1.259 869 962,?6.504 001 479,1.360 520 15,?14.412 004 44,?2.267 765 932)，則系統在平衡點處對應的雅克比矩陣的特征值為

由特征值的正負性可知平衡點S1是不穩定的焦結點，且系統在平衡點S1處是不穩定的。

當系統取k0=2, I=1 時，系統的平衡點為S2=(?1.112 939 521,?4.904 744 852,1.948 241 915,?9.614 234 556,?2.003 291 138)，則系統在平衡點處對應的雅克比矩陣的特征值為

同理，可由特征值的正負性可知平衡點S2是穩定的焦結點，且系統在平衡點S2處是穩定的。在該系統中，穩定的平衡點對應靜息態，不穩定的平衡點對應非靜息放電模式。

以下討論系統的穩定性，設系統的平衡點S?= (x?,y?,z?,w?,φ?)，則系統在平衡點處的雅克比矩陣為

2.2 Hopf 分岔分析

為滿足Hopf 分岔的存在及橫截性條件，考慮特征方程關于參數k0的導數

2.3 放電行為模擬

數值模擬中，采用四階Runge-Kutta 算法，通過選取不同的參數值可以得到膜電位的時間序列圖，在不同的外加刺激電流下可以呈現出不同的放電模式。取初值為(0.1,0.1,0.1,0.1,0.1)，取反饋增益k0= 2，令α= 0.1, β= 0.02, k1= 0.9, k2=0.5，通過選取不同的外加刺激電流，可以得到神經元的不同放電模式，結果如圖1 所示。

圖1 外加刺激電流不同時，神經元膜電位的時間序列圖

從圖1 可以看出，當I=0.5 時，此時神經元的放電模式呈現靜息態；當I=2.1 時，此時神經元的放電模式呈現靜息態；當I= 2.5 時，神經元的放電模式呈現簇放電；當I= 5 時，神經元的放電模式呈現周期態。因此，在不同的外加刺激電流下神經元可以呈現出不同的放電模式。

神經元電活動行為不僅受到外加刺激電流的影響，并且與反饋增益參數k0也有著密切的聯系。因此，在選定其他參數確定的情況下，施加外加刺激電流I= 2 的情況下，不斷增大反饋增益參數k0，觀察此時神經元的放電模式。

從圖2 可以看出，當k0= 0.5 時，此時神經元的放電模式呈現周期放電；當k0=1.1 時，此時神經元的放電模式呈現簇放電；當k0= 1.8 時，神經元的放電模式為靜息態；當k0=2.5 時，神經元的放電模式呈現靜息態。因此，在不同的反饋增益參數下神經元可以呈現出不同的放電模式。

圖2 反饋增益不同時，神經元膜電位的時間序列圖

3 e-HR 神經元模型的控制同步

3.1 控制同步

同步控制是指通過系統自身的耦合或者施加外力等策略使得兩個或者多個動力系統享受相同的動態行為。神經元同步時的耦合方式有很多種，如化學突觸耦合、電突觸耦合、磁通耦合等。本文通過建立網絡化同步控制系統，簡單的來說就是基于驅動–響應模式的網絡化同步控制。設系統(4)為驅動系統

在外加刺激電流I1= 2.8, I2= 3 時，系統(4)與系統(5)表現出不同的放電模式，其相應的時間序列圖，如圖3 所示。為了使系統(5)同步到與系統(4)相同的狀態，在系統(5)上施加了控制器，即U1、U2、U3。

圖3 時間序列圖

定義系統(4)與系統(5)的同步誤差為

所以根據(10)可知，當u>0, k2>0 時，˙V<0，從而可以得出誤差系統(6)是漸近穩定的，進而得出系統(4)和系統(5)是同步的。

3.2 數值模擬

具體的數值模擬中取系統(4)的初值狀態值為(0.1,0.1,0.1,0.1,0.1)，系統(5)的初始狀態值為(0.1,0.1,0.1,0.1,0.1)。

當I1=2.8, I2=3 時，取其他參數不變，系統(4)與(5)呈現不同的放電模式，其相應的時間序列圖和同步誤差圖，如圖3 和圖4 所示。

所以由圖4 可知，在沒有加入控制器之前，系統(4)和系統(5)分別保持著各自的動力學行為；加入控制器后，系統(4)和系統(5)在控制器U1、U2、U3的作用下達到了同步。

圖4 加入控制器前、后系統(4)與(5)的同步誤差圖

4 總結

以引入磁通量后建立的e-HR 神經元模型為研究對象，分析平衡點個數以及穩定性，以及發生分岔的條件。發現改變外加刺激電流和反饋增益，神經元可以做出不同模式的響應即呈現不同的放電模式，如靜息態、簇放電及周期放電；同時借助Lapunov 穩定理論設計滿足同步的控制器且通過理論分析證明該控制器的可行性。關于其控制器是否滿足時滯類神經元模型達到同步以及若引入時滯是否能夠促進神經元模型更快地達到控制同步還需進一步了解。