圍繞知識核心開展教學設計的探討

楊發寧

［摘 ?要］ “相似三角形的性質”是蘇教版九年級下冊的章節內容，是幾何知識體系構建的關鍵. 教學中需要深刻解讀知識定理，圍繞核心知識設置教學環節. 引導學生論證性質，內化吸收，獲得思維的提升. 文章立足知識核心，開展教學設計的探討.

［關鍵詞］ 相似三角形；性質；教學設計

“相似三角形的性質”是初中幾何重要的探究內容，關于線段和圖形面積的性質定理是教學的重點. 實際教學需要深刻解讀性質，基于學情進行教學引導，下面圍繞“相似三角形的性質”開展教學設計的探討.

核心知識解讀，教學設計探討

1. 關于定理核心的解讀

相似三角形的性質定理內容較為豐富，但總體上可以歸納為兩點：一是對應線段的比等于相似比，二是面積比等于相似比的平方. 對于“對應線段的比等于相似比”，課標大綱提出了具體的要求，不能將其中的“線段”簡單理解為相似三角形的邊長，而應延伸到三角形中的一些特殊線段上，如對應邊上的高、中線、角平分線以及三角形的周長等. 即性質定理中的“對應線段”是對三角形屬性線段的概括. 而性質定理中的“面積比等于相似比的平方”實則表述的是面積比與相似比的關系，學生在理解上容易出現錯誤. 教學中要立足三角形的面積公式，開展相似三角形面積比的代數推導，明確相似三角形的邊、邊上的高是同時縮放這一核心知識.

2. 關于教學設計的探討

關于“相似三角形的性質”的教學設計，應遵循性質定理的探究思路，從知識、技能、過程、方法等方面來提升學生的學習能力. 故對于相似三角形的兩大性質定理的教學，建議采用過程引導、知識探究的方式，即圍繞核心知識，設計探究活動，讓學生自主探究，在實踐操作、猜想思考、驗證歸納中掌握新知. 同時，性質定理探究需要注意以下幾點：

（1）性質定理全方位覆蓋，核心定理重點突出. 教學引導中，要使學生掌握性質定理的全內容，尤其是上述所闡述的兩大內容，針對性質定理內容分別設計探究環節，突出性質定理的關鍵點，如線段比例以直觀圖形來呈現，而周長、面積比例則突出代數推導過程.

（2）自主思考、合作探究融合并行. 性質定理的探究實踐中要將學生獨立思考與小組合作探究的方式有機結合，給學生留足思考空間的同時，又能在信息共享中激發思維，拓展視野. 尤其是性質定理中關于“相似三角形對應線段”的內容，可采用知識衍生的方式，引導學生聯想，自主證明猜想.

（3）過程探究滲透數學思想，在性質定理探究中知識與方法是不相分離的，即性質定理探究的同時需要滲透數學思想，利用科學思想有序探究. 如采用數形結合的方式引導學生感知性質，完成驗證；采用特殊到一般的思想，引導學生猜想，歸納結論.

過程環節思考，活動引導探究

基于上述知識解讀與設計探究，開展教學實踐時需要分兩大環節逐一探究性質定理的內容，并且根據內容采用不同的方式，培養學生的思維能力.

1. 對應線段的性質探究

關于相似三角形對應線段的性質探究，建議整體上采用數形結合的探究方式，引導學生直觀感知、探究論證. 同時，注意激發學生的創造性思維，根據已學知識進行關聯思考，分析發現歸納，生成外延知識. 以相似三角形的對應邊上的高的比例關系為引，設計探究活動，生成性質結論，然后引導學生思考，衍生出關于其他“線段”的性質. 活動設計鏈如下：相似三角形高的比→中線的比→角平分線的比；同時環節設計方式為：直觀感知→衍生探究→啟發思考.

活動設計1：直觀感知.

如圖1所示，已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比為k，分別作出兩三角形底邊BC和B′C′上對應的高，設為AD和A′D′，試分析高AD和A′D′的比.

設問①：請用邊長表述相似比k，可以表示為什么形式？

設問②：請采用測量的方式求k的值，再量取AD和A′D′的長度，計算其比值，可以得出什么猜想？

設問③：若采用幾何證明的方式，如何來證明猜想？

教學中采用測量猜想與幾何證明相結合的方式，多層次引導學生探究性質，將直觀感知、測量猜想、幾何推理相融合，充分調動學生的思維.

活動設計2：衍生探究.

完成相似三角形對應邊的高之比的探究論證后. 可以采用知識衍生、類比分析的方式來探究對應邊的中線、對應角的角平分線的比.

衍生過程構建動點，引導學生從動態角度進行分析，若拖點D和D′分別在線段BC和B′C′上運動，設定其運動位置.

設問①：當點D和D′分別運動到線段BC和B′C′的中點時，試分析的比值，是否等于k？

設問②：當點D和D′分別運動到使得AD和AD′為兩個三角形的角平分線時，的比值是否等于k？

教學中引導學生類比探究高的比值方法，把握線段AD和AD′的特性，構建相似三角形，利用相似關系來推導線段比值. 雖然線段屬性不同，但說理證明的思路是一致的，教學中要啟發學生思考，開展定理衍生.

2. 周長比和面積比的探究

“相似三角形的周長比和面積比”同樣是相似三角形性質的核心內容，與線段比通過提取相似三角形論證的方法不同的是，周長比和面積比的探究論證需要注重其中的代數推導，將對應的比值轉化為線段的和或乘積，可分別設計如下的探究活動.

活動設計1：周長比的探究.

問題：如圖3所示，兩三角形為相似關系，相似比為k，探究兩三角形周長的相似比.

設問①：如何表示兩三角形的周長？

設問②：可以得出怎樣的結論？

教學中引導學生分三步進行探究：

第一步，用線段表示三角形的周長，即C=AB+BC+AC，C=A′B′+B′C′+A′C′，則研究的是的比值；

第二步，根據相似三角形對應邊之比構建線段關系，即AB=k·A′B′，BC=k·B′C′，AC=k·A′C′.

第三步，利用線段關系轉化為周長比，即===k，則相似三角形的周長比等于相似比.

活動設計2：面積比的探究.

對于面積比的探究，需要引導學生分為作圖和代算兩步進行，必要時可以將其拓展到四邊形中，具體如下：

問題：如圖4所示，已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比為k，探究兩三角形的面積比.

設問①：分別作BC和B′C′邊上的高，設垂足為D和D′，則兩三角形對應的高AD，A′D′的比為多少？

設問②：參考探究周長比的方式，分析兩三角形的面積比.

教學中引導學生作三角形底邊上的高，構建兩三角形的面積模型，將面積比轉化為線段乘積的比，即=，結合相似三角形的性質推導得==k2，從而得出相似三角形的面積比等于相似比的平方.

拓展探究：如圖5所示，四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′的相似比為k，參考上述相似三角形的面積比的探究方式，分小組討論兩四邊形的面積比.

多變探究引導，知識應用強化

相似三角形的性質定理的應用極為廣泛，通過應用可以強化知識，提升學生思維的靈活性，幫助學生積累知識經驗. 而應用教學需要注意兩點：一是設置多變的探究問題；二是引導學生體驗解題的思維過程.

1. 幾何題探究

問題設置建議以常規的三角形為背景，以鞏固學生的知識基礎，應用探究引導，實現知識強化. 具體如下：

問題：如圖6所示，在△ABC和△DEF中，已知AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，且△ABC的周長為24，面積為12，試求△DEF的周長和面積.

教學引導過程為：證明兩三角形為相似關系→求兩三角形的相似比→回顧相似三角形的性質定理→直接求△DEF的周長和面積. 故教學中要合理設問，關注兩三角形的關系，利用相似三角形的性質定理進行推導.

2. 變式問題探究

該環節需要設置復合圖形，引導學生提取圖形中的相似三角形，進而開展推理探究. 具體如下：

問題：如圖7所示，ABCD為平行四邊形，點E是邊AB的延長線上一點，已知AB=4BE，連接DE，與BC的交點設為F.

（1）試求的值；

（2）如果S=2，試求四邊形ABCD的面積.

關于第（1）問的引導過程如下：關注平行四邊形的性質→提取相似三角形→求線段比；而第（2）問則需要引入三角形的高，將三角形的面積關系轉化為線段關系：推導△DCF的面積→構建△DCF和四邊形ABCD的面積模型→推導高的比→構建面積關系.

3. 實際問題探究

另外，建議結合生活實際設置問題，利用幾何知識求解，培養學生解決實際問題的能力.

問題：如圖8所示，一條河的兩岸是平行的，站在距離南岸15 m的點P處看北岸，看到兩電線桿A和B剛好被南岸的兩棵樹C和D遮擋. 已知A和B相距50 m，C和D相距20 m，請同學們想方法測算河的寬度.

教學中需要引導學生抽象問題模型，構建相似三角形，利用相似三角形的性質定理求線段的長. 故思維引導為：構建模型→提取相似圖形→由性質定理構建線段比→求河的寬度.

總之，“相似三角形的性質”屬于性質定理探索章節，深刻解讀性質，實現知識與思想的融合是教學設計的前提. 教學實踐則應圍繞知識核心精設環節，讓學生體驗探究過程，深刻理解性質定理. 同時設置靈活多變的問題，引導學生探究應用，幫助學生鞏固新知，積累解題經驗.