小學高年級數學活動課程滲透模型思想的探究

黃媛媛　劉梅梅

[摘? ? 要]模型思想是義務教育階段數學十大核心概念之一，是指建立和求解數學模型的方法和意識的總和，培養學生的模型思想，不僅有利于提高學生學習數學的興趣和問題解決的能力，還能夠提升學生的思維水平和應用意識。小學高年級的數學活動課程是滲透模型思想的一條有效路徑，但當前小學高年級數學活動課程滲透模型思想存在教師缺乏滲透模型思想的意識、教師重技巧而輕模型建構過程的問題。教師可以通過創設情境，初探數學模型;合作探究，建構數學模型;操作交流，深化模型意識;反思總結，遷移應用模型，有效地幫學生建立起模型思想。

[關鍵詞]小學高年級;活動課程;模型思想

數學是研究數量關系和空間形式的科學，要想學好數學需要掌握一定的數學思想和方法，模型思想、數學建模是近年來數學教學領域里比較熱門的話題，《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）將模型思想列為義務教育階段數學十大核心概念之一，并明確指出“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑”，模型思想的滲透也有助于提高學生學習數學的興趣和應用意識。隨著數學與社會生活的聯系越來越緊密，數字化、信息化的發展都對數學思想方法產生了極大的影響，而作為基本數學思想之一的模型思想在數學教學中也將占據更為重要的位置。尤其是對于小學高年級的學生，隨著數學問題的復雜化，更需要培養模型思想來助力數學問題的解決。

一、模型思想的內涵及其在數學活動課程中滲透的意義

（一）模型思想的有關概念

1.數學模型

數學模型是運用數學語言和工具，對現實世界的一些信息進行適當簡化，經過推理和運算，對相應的數據進行分析、預測、決策和控制，并且要經過實踐檢驗的一種數學結構。廣義地說，數學模型包含各種基本概念和算法，包括方程、不等式、函數、結構性算法、圖形、圖表等;狹義地講，只有反應特定問題或特定具體事務系統的數學關系結構才叫作數學模型，比如人口模型、預測模型等。數學模型并不是一個很高大、深奧的概念，恰恰相反，它是幫助人們將復雜問題簡單化的工具，人們所熟知的運算定律、周長及面積公式等都是數學模型。

2.模型思想

模型思想是連接數學與外部世界的橋梁，它是一種較高層次的數學思想，是指建立和求解數學模型的方法和意識的總和。理解模型思想首先要將數學思想和數學方法區分開來，雖然很多時候數學思想方法都是作為一個整體的概念被提到，但是二者有著本質區別。數學方法強調的是探究問題的技能、技巧，是可以直接教給學生的。但是思想是一種本質的、理性的認識，是不能直接教給學生的，它是對知識和方法的抽象和概括，需要學生在數學學習的積累中去形成理性的認識。作為數學學習的一種基本的思想，模型思想在數學學習中具有十分重要的影響，同時作為一種解決問題的思路，對于學生未來生活也有重要的作用。

（二）小學高年級數學活動課程滲透模型思想的意義

1.對新課程改革的呼應

新課程改革相比于以往更關注學生的發展，隨著時代的進步和學生心理的發展，新課標在原來“雙基”的基礎上又提出了要發展學生的基本思想和基本活動經驗，而《標準》把模型思想列為數學十大核心概念之一，足見模型思想的重要性。數學學習不是機械死板的，需要讓學生感悟數學思想，那么教師就應該在教學中有意識地引導學生通過問題的探究、實際操作等活動不斷培養學生的數學思想，積累活動經驗。因此，在新課程改革的背景下，模型思想作為三大基本數學思想之一，小學數學教師在教學中理應重視模型思想，并在此基礎上不斷推動基礎教育數學教學的發展和進步。

2.提高解決問題的能力

模型思想的作用在于幫助學生從解決一個問題到解決一類的問題，從而提高學生解決問題的能力。模型思想是較高層次的數學思想，也是最上位的數學思想，其中還包含優化思想、量化思想、方程思想、隨機思想、統計思想等。每一種思想都代表著一類數學問題的解決思路，只要掌握了解決這類數學問題的核心思路，也就是建立了解決這類問題的模型，遇到類似的問題就可以運用模型來求解，問題的解決就容易了很多。尤其是在小學階段，數學模型的作用是不可估量的，它是幫助學生理解和抽象數學問題的非常重要的工具，持續影響著中學甚至大學階段的數學學習。如果不能夠很好地掌握基本的數學概念、公式、定律等，那么勢必也會影響學生的數感、符號意識甚至應用意識和創新意識的養成。并且數學問題需要深入思考，解決問題不是照搬模型，而是在模型的幫助下去思考問題，在這個過程中學生逐漸學會解決問題，逐漸提高解決問題的能力。

3.提高應用意識和思維水平

數學思想對一個人的影響是全面的、持續的，模型思想的養成不僅有利于數學問題的解決，其更深遠的影響是提高學生的應用意識和思維水平。數學作為一門工具性的學科，是能夠被運用到社會生活的各個領域的，生活中處處都隱藏著數學可以解決的問題，建立和求解模型的過程同樣可以用于解決生活中的數學問題。如優化思想，學生在購物中常常會遇到選擇哪種物品更合適的問題，此時解決最優問題的模型就能夠發揮作用。適當滲透模型思想有助于提升學生思維的抽象水平，鍛煉思維的深刻性、廣闊性和靈活性。學生通過數學建模解決問題需要準確地把握問題的本質，分清問題中的各種因素，從而確定數據、求解問題。這不是機械套用的過程，而是深思熟慮的過程，這個過程經過了思維的不斷轉換，因此建立模型思想的過程本身也是思維水平提升的過程。

二、小學高年級數學活動課程滲透模型思想存在的問題

與普通的數學課程相比，數學活動課程的活動性、趣味性、思考性、實踐性和協作性都更強，更強調學生在活動中建構知識、提升思維、積累活動經驗，一般設置在綜合與實踐板塊。這樣的課程更適合于注重建構過程的模型思想的滲透，但是在小學高年級課堂中，教師還存在著問題：在活動課程中缺乏了滲透模型思想的過程，沒有利用好活動課程這個良好的培養途徑。

（一）教師缺乏滲透模型思想的意識

模型思想從2001年在課標中首次出現，到2011年正式確立為數學的核心概念，發展到現在已經20余年，但是大多數小學數學教師并沒有對模型思想給予足夠重視，認為模型思想過于復雜，在小學階段并不適用，甚至片面地認為是奧數學習的內容，所以在教學中普遍缺乏滲透模型思想的意識。實際上，小學階段的數學內容大部分都蘊含著模型思想，方程、公式、運算定律這些都是數學模型。但是在實踐中可以發現，許多教師沒有將公式、定律等與數學模型聯系起來，在教學中也不會刻意地強調滲透和培養學生的模型思想。同時，也有部分教師由于自己沒有掌握數學建模的方法，因而在教學中也不懂得如何滲透模型思想，教師的個人素質和能力制約著學生模型思想培養的環境創設?；顒诱n程的內容通常都蘊含了重要的模型思想，如果教師沒有組織學生探究模型、感悟模型思想，那么活動課程的開展就失去了很大的價值。

（二）教師重技巧而輕模型建構過程

在應試教育的背景下，部分教師為了學生能夠得到更高的分數，往往更加注重傳授學生解題技巧和方法，但卻不關注學生是否理解方法的本質，忽視了學生知識建構的過程，這也是教師未能很好滲透模型思想的一個重要的原因。以乘法口訣的教學活動為例，很多教師在教學中側重于教學生怎么背乘法口訣，會組織學生通過“對口令”“找朋友”等活動反復記憶和訓練，實際上，編制乘法口訣的過程才是體現乘法的意義的過程，因為隨著加數的增加，加法的計算就變得越來越復雜，因此借助乘法來計算就會更簡單。每一句口訣代表什么意思是通過學生自己的探究過程得來的，而不是靠背下來的，所以很多學生存在乘法口訣記不牢或者反應很慢的問題，很大程度上是因為沒有掌握乘法口訣編制的要領、沒有理解乘法的意義，乘法的模型并沒有建立起來。因此，教師在教學中應該更關注的是學生建構模型的過程，只有學生掌握了模型的本質，才能夠更好地應用模型，形成模型思想。

三、小學高年級數學活動課程滲透模型思想的策略

小學高年級學生的認知水平處于具體運算向形式運算過渡的階段，基本具備了思維的完整性和邏輯性的體系，獨立探究能力顯著增強，語言表達能力和觀察感知能力也有了明顯提高，對于理解和運用數學模型有了更強的能力。隨著高年級數學學習內容的難度越來越大，結合活動課程來滲透模型思想，可以在一定程度上減緩學生對復雜數學問題的焦慮，讓學生在相對趣味和輕松的活動中發揮其主動性和探究能力。同時，由于學生抽象能力已經發展到了更高的階段，因此更容易掌握建構數學模型的方法，并深刻感悟數學模型的作用和重要性。小學高年級數學活動課程一般分為以下幾個步驟：確定活動主題，創設情境——發現問題，提出問題——探索活動，解決問題——匯報交流，深入思考——評價激勵，遷移應用——反思總結。結合以上的步驟和數學建模的特點，在小學高年級數學活動課程中滲透模型思想可以從以下四方面入手：

（一）創設情境，初探數學模型

一般而言，在綜合與實踐板塊，教材會給出特定的問題情境，情境一定是與生活相關并且問題明確的。在北師版五年級上冊數學 《設計秋游方案》這一課中，教材呈現的情境是61名學生和教師去北京故宮和北海公園參觀，問題是買門票要多少錢？怎么安排時間更合理？這個情境涉及“秋游”，很容易引起學生的探究興趣，很多學生都有旅游、買票的經驗，因此這個問題也足夠吸引學生。教師自主設計活動情境也需要注意聯系學生的生活實際，且問題是具有挑戰性但又不會太難的。將生活實際問題抽象成數學問題是問題解決非常重要的一步，也是體現數學素養的關鍵之處，抽象的過程一定是學生自己經歷的，而不是教師直接告訴學生的?！百I門票需要多少錢？”“怎么安排時間合理？”將這樣的生活問題抽象成數學問題需要學生確定變量及數學關系，學生要思考需要哪些變量、他們之間的關系如何？確定了數據和關系之后，學生就可以根據這些信息抽象出數學問題了，在頭腦中初步形成解決此類問題的模型。這個步驟是建立模型的第一步，也是讓學生思維打開的過程。

（二）合作探究，建構數學模型

合作學習是數學活動的重要表現形式，協同探究的過程不僅有助于學生發散思維，也有助于提高學生的積極性和合作能力。合作探究的過程需要留給學生足夠的發揮空間，教師不宜發出太多的指令和要求，否則學生所掌握的知識是不牢固的。數學建模的過程更強調學生的自主建構，其建構性具體表現在兩方面：一是學生需要自己尋找變量和關系式，用數學符號表示出來;二是解決一個問題可能不止有一個模型，學生需要自己去發現問題的多解性，并盡可能找出所有可以解決這個問題的模型。這個過程教師應該讓學生自己探索，合作探究就給了學生思考和探究的空間。以人教版五年級上冊“數學廣角”中“植樹問題”為例，學生通過初步探究可以發現“植樹棵數=間隔數+1”這個模型，但是這個模型真的能解決所有植樹問題嗎？通過這樣的問題引導學生深入思考問題的多樣性，探究各種不同條件的植樹問題。學生通過小組集思廣益會發現問題不只這么簡單，從而探究得到“一端栽一端不栽”“兩端都栽”“兩端都不栽”三種問題下的數學模型。

（三）操作交流，深化模型意識

活動課程強調“做中學”，將書本間接經驗與操作所獲得的直接經驗結合，能夠深化學生的知識學習，并且能讓學生真正感到力所能及，因此操作交流是活動課程必不可少的環節。一是在課堂中結合工具或者畫圖、設計等活動將模型外化出來，二是一定要用數學語言表達、解釋模型，經歷交流的過程。在學生已經建立了數學模型的基礎上，結合操作活動進一步加深對模型的認識，同時操作的過程也是一個驗證的過程。在交流活動中，學生可以輸出自己的觀點，獲得成就感，也能在別人的輸出中解決困惑，教師也可以在其中引導學生克服困難，在活動中深化模型意識。例如“植樹問題”通過實際操作是很容易發現其中的規律的，學生只需要畫一畫或者用小棒擺一擺便可知其建立的數學模型是否正確、是否完整，驗證其之前的想法。最后在教師的引導下說出自己的看法，將多種數學模型清晰地表達出來，師生互評，讓學生客觀地了解自己在活動中的表現，并向他人學習，通過“做與分享”的過程深化模型意識。

（四）反思總結，遷移應用模型

活動進行到最后還需要一個將探究得出的結論一般化的過程，目的是解決更多數學問題以及生活實際問題，這也是培養模型思想的目的所在?？偨Y是對活動目標的強化，也是學生積累活動經驗的重要一環。學習新知最終是為了應用，一個新的數學模型的學習主要有兩個作用：一是用來解決同類的數學問題;二是用于解決生活實際問題。因此在總結經驗之后需要及時練習、應用。如何將得到的數學模型一般化，需要學生聯系所學知識以及生活實際發散思維，如在“植樹問題”中得到的數學模型只能解決“植樹”問題嗎？答案顯然不是，把樹換成路燈、換成垃圾桶都是一個性質，最后再結合練習繼續讓學生的思維得到一次次地強化和提升，并且讓學生自己思考可以解決生活中哪些問題，不斷地鞏固學生所形成的模型意識。

參考文獻：

[1]王永春.小學數學與數學思想方法[M].上海：華東師范大學出版社，2014.

[2]陳蕾.滲透模型思想的教學策略：以小學數學為例[J].上海教育科研，2018（10）.