聚酰亞胺復合膜的泊松比設計

劉朋博，張華振，徐 斌，侯仰青，蘭 瀾

(1.中國空間技術研究院西安分院，西安 710000；2.航天躍盛(杭州)信息技術有限公司 上海分公司，上海 201107)

0 引言

以薄膜結構為主體的天線[1-3]、太陽帆[4-5]、太陽能電池陣列[6]等受到越來越多研究人員的關注。聚酰亞胺(polyimide，PI)薄膜因其具有面密度低[7]，輕質和柔韌等特點，成為以上空間結構中首選的薄膜材料。在實際應用中，薄膜必須在張拉以后才能產生名為“應變剛度”的面外結構剛度。然而由于PI薄膜的泊松比較大(一般為0.35～0.4)，外力張拉薄膜會在膜面上的部分區域產生褶皺，影響膜面精度及穩定性，對結構的靜態及動態特性產生耦合影響[8]。

為此，需要對薄膜的泊松比進行設計，從而削弱甚至消除薄膜的泊松比效應對膜面精度的影響。對于材料的泊松比設計，一般都集中在實現材料的負泊松比上，因為負泊松比可以讓材料產生拉脹行為[9-10]。從20世紀80年代末開始，負泊松比材料成為材料領域的研究熱點，而旋轉剛性單元機制是這一領域被深入研究的主題之一[11-15]。該機制的本質是在材料上周期性地切割出某些形狀的孔，以獲得與孔間邊界區域連接的剛性胞元，孔間邊界區域模擬鉸鏈，允許剛性胞元繞孔間邊界區域“鉸鏈”旋轉，從而表現出效泊松比的現象。 Hou等[16]討論了使用 Kevlar 機織織物/914 環氧預浸料和 Kirigami 技術制造的分級蜂窩結構的拉脹性。Bertoldi等[17]對由“Feguramed GmbH”制造而成的加成固化硅橡膠(sil AD spezial,SADS)進行圓形陣列研究時發現,單軸壓縮的屈曲結果會產生橢圓孔陣列。他們進一步分析了孔隙率對等效泊松比的影響。Taylor等[18]對6061鋁合金結構使用正交橢圓孔陣列，從實驗和仿真兩個方面分析了孔隙率對結構等效泊松比的影響。Pozniak等[19]研究了當在正交的橢圓孔中填充帶有取向的夾雜物時，材料的等效泊松比和楊氏模量變化規律。Bonfanti等[20]對正交橢圓孔陣列的薄膜在張拉中產生褶皺的半波長和幅值等參數隨等效泊松比的變化規律進行了研究。

Xu等[21]則將具有正交橢圓孔陣列的材料應用到碳纖維增強硅膠制造的空間可重構反射面上，通過優化設計橢圓孔的幾何參數實現反射面的變泊松比，保證了型面精度。

本文針對一種應用于空間天線結構的正交各向異性的同質纖維增強聚酰亞胺復合膜，采用正交橢圓孔陣列的泊松比設計方式，通過基于COMSOL Multiphysics的有限元分析，探究4種不同纖維分布密度的復合膜在不同的胞元孔間邊界距離下經緯雙向的泊松比隨橢圓縱橫比的變化規律。

1 研究方法

1.1 材料及其力學性能參數

復合膜的基質薄膜的楊氏模量為3.245 45 GPa，泊松比為0.373 72。增強所用聚酰亞胺纖維的單絲直徑為11 μm，斷裂強度3.70 GPa，初始模量121 GPa，斷裂伸長率3.24%，50根絲構成一束。復合膜的示意圖如圖1所示。

圖1 復合膜的示意圖Fig.1 Schematic diagram of a piece of composite film

本課題選用了3種不同經向纖維密度n的復合膜，它們分別是5束/cm，10束/cm， 20束/cm。本課題對純薄膜進行了同樣的仿真分析作為對照。在進行泊松比設計前，根據有限元分析和實驗測量的結果(采用ANSYS Workbench 19.0軟件進行有限元方法的模擬。得到其楊氏模量和泊松比。并采用INSTRON 68TM-30拉伸機配合雙向測試的2663-901 AVE2非接觸式雙向引伸計進行測定對有限元方法加以驗證。)，4種薄膜未打孔時的力學性能參數如表1所列。

表1 未打孔時薄膜的力學性能參數

1.2 正交橢圓孔的幾何參數

針對上述的4種薄膜，截取30 mm×30 mm的區域作為胞元，進行正交橢圓孔的打孔設計。打孔后的胞元如圖2所示。胞元的邊長d=30 mm，打孔橢圓的橫半軸長為a，縱半軸長為b，孔間邊界距離為g。

圖2 復合膜的打孔方案Fig.2 Perforation scheme of a piece of composite film

正交橢圓孔陣列的打孔設計方案實現泊松比調整的原理如圖3所示，當在一個方向對胞元施加位移時，胞元將發生旋轉，導致在與其垂直的方向上產生正向位移，引起胞元的等效泊松比發生變化。等效泊松比的計算方法如式(1)所示：

(1)

式(1)中μeff為等效泊松比，εy為y方向應變，εx為x方向應變，其余符號的含義如圖3所示。

圖3 泊松比變化的原理Fig.3 The schematic of Poisson’s ratio change

如圖3所示，對于正交橢圓孔陣列的研究，在幾何數據上，既有將對泊松比影響因素分為胞元的孔間邊界距離g和橢圓縱橫比2a/2b的，也有將對泊松比的影響因素分為孔隙率和橢圓縱橫比2a/2b的。首先對于胞元的孔間邊界距離g和橢圓縱橫比2a/2b，兩者是獨立的，而孔隙率是一個既和胞元的孔間邊界距離g有關，又和橢圓的縱橫比a/b有關的參數?？紫堵逝c孔間邊界距離g和橢圓縱橫比2a/2b的關系可以由式(2)所示：

(2)

由式(2)可以看出，孔隙率φ不是一個獨立的參數。

另外，雖然胞元的孔間邊界距離g和橢圓縱橫比2a/2b是獨立的，但橢圓縱橫比是一個沒有上限的參數，甚至可以達到無窮大。固定g值，當橢圓很扁的時候，長短軸的長度稍微變化，橢圓的縱橫比就會有非常大的變化，很難從胞元的等效泊松比和橢圓縱橫比2a/2b的關系中總結出規律。而此時(a+b)是一個固定值。

本文考慮的泊松比影響因素分為胞元的孔間邊界距離g和橢圓長半軸長度a與橢圓長短半軸之和(a+b)的比率，即r=a/(a+b)。這樣不但保證了兩個參數之間的獨立，同時又保證了兩個參數的值都在一個被限定的范圍內，當g=3.0 mm時，r=a/(a+b)與橢圓縱橫比2a/2b的關系如圖4所示。

圖4 橢圓縱橫比與r之間的關系Fig.4 Relationship between ellipse aspect ratio and r

1.3 有限元分析

對于選中的4種薄膜，選取不同的薄膜孔間邊界距離進行設計，即g=1.5 mm，g=3 mm，g=4.5 mm，g=6 mm，g=7.5 mm和g=9 mm，6種g值，此時g分別占胞元邊長d的5%、10%、15%、20%、25%、30%。在此基礎上，通過改變橢圓的縱橫比，分析橢圓從r=a/(a+b)=0.5(a/b=1，圓形)演化到r=a/(a+b)=0.98(a/b=49，縱橫比極大的橢圓)的過程中，薄膜胞元的泊松比的變化規律。

采用COMSOL Multiphysics 5.4有限元分析軟件對上述薄膜進行建模和有限元分析，采用殼單元對復合膜進行建模，因為纖維對復合膜的泊松比影響主要體現在正交各向異性的緯向泊松比上，所以等效方法對泊松比設計是可行的。將厚度設置為110 μm，為符合殼單元的基本假設，網格大小應該大于厚度值。如圖5所示，設置最大的單元長度為1.65 mm，最小的單元長度為1 mm，符合應用殼單元的假設。根據圖3所示加載和約束方法對胞元進行約束。

圖5 薄膜的網格劃分Fig.5 Meshing of a unit

2 結果與討論

2.1 薄膜的經向泊松比變化規律

4種薄膜的經向泊松比μ12變化規律如圖6所示?？梢钥闯?，4種膜的經向泊松比在所有g值下隨著r值的增大而減小，且均服從①緩慢減??；②減小趨勢加??；③逐漸趨于穩定。當g值較小(g=1.5 mm，g=3.0 mm)時，①過程不明顯，泊松比的變化主要體現為②+③過程。隨著g值的增大(g=4.5 mm，g=6.0 mm)，可以清晰地看出，隨著r值的變大，①、②、③過程順序出現。當g值超過胞元邊長d的25%時(g=7.5 mm，g=9.0 mm)，③過程不再明顯，經向泊松比的變化主要由①+②過程組成。

4種薄膜在r=0.5時經向等效泊松比μ12均為正值，此時的薄膜胞元不發生旋轉，等效泊松比大小主要與g值有關，g值越大，殘余的泊松壓縮效果越大，經向等效泊松比μ12越大。以純薄膜為例，g=1.5 mm，g=3 mm，g=4.5 mm，g=6 mm，g=7.5 mm和g=9 mm對應的經向等效泊松比μ12分別為0.11，0.17，0.23，0.26，0.29，0.31?？梢钥闯?，當薄膜胞元不發生旋轉時，g值的增大對經向等效泊松比μ12的增大效果隨著g值增大逐漸減弱。而隨著橢圓的縱橫比逐漸變大，可以看出，g=1.5 mm寬度的薄膜經向等效泊松比μ12很快達到-1，然后穩定在-1左右。而隨著g值的變大，r值變大得到的泊松比逐漸變大，也即薄膜胞元的旋轉效應逐漸變得不明顯。以純薄膜為例，當g=3 mm，g=4.5 mm，g=6 mm，g=7.5 mm和g=9 mm，5種g值時，經向等效泊松比μ12最小(r=0.98)分別只能來到-0.95，-0.83，-0.64，-0.39，-0.15左右。g值的增加帶來旋轉效應的減弱，而且減弱的程度隨g值的增加有所提高。綜合二者可以看出，g值對r=0.5和r=0.98下的影響雖然都是使得等效泊松比隨g值變大，但g值的影響程度相反，前者小g值下g的變化影響大，后者則是大g值下的g值變化影響大。

圖6 經向泊松比μ12變化規律Fig.6 Variations of warp direction Poisson’s ratios μ12

2.2 薄膜的緯向泊松比變化規律

4種薄膜的緯向泊松比μ21變化規律如圖7所示?？梢钥闯?，緯向泊松比μ21隨r值的演化過程與經向泊松比μ12類似，均可以分解為①緩慢減??；②減小趨勢加??；③逐漸趨于穩定，3個過程。值得注意的是，純薄膜的經緯雙向泊松比數值一致，這是因為純薄膜是各向同性的。與同種有纖維薄膜的經向泊松比μ12相比，緯向泊松比的下降趨勢更緩慢，而且這種緩慢趨勢隨著薄膜的經向纖維密度增大更加明顯。純薄膜、5束/cm的復合膜、10束/cm的復合膜、20束/cm的復合膜在g=1.5 mm時緯向泊松比μ21下降到-0.9左右時對應的r值分別是0.66，0.68，0.7和0.74。而當r=0.5，g=1.5 mm時，純薄膜、5束/cm的復合膜、10束/cm的復合膜、20束/cm的復合膜的緯向泊松比μ21分別為0.109，0.078，0.064和0.048。緯向泊松比μ21下降的量變小，而要求的橢圓縱橫比卻增加。在其他g值下也有類似的規律。這一規律可以總結為：隨著經向纖維密度的增加，在同一個g值下的薄膜緯向泊松比μ21下降變得困難。

圖7 緯向泊松比μ21變化規律Fig.7 Variations of weft direction Poisson’s ratio μ21

2.3 等效泊松比的影響因素

通過上述內容可以看出，打孔后的泊松比隨g值變大而變大，隨r值增大而減小。實際上，對同一材料而言，打孔后等效泊松比主要由兩個因素支配，即打孔后孔間邊界距離g，橢圓長半軸a與長短半軸長度之和(a+b)的比例r。g值決定了材料參數對打孔后胞元的泊松比影響程度，同時影響胞元的旋轉能力，固定r，g值越大，旋轉能力越弱，同時材料本身性能參數的影響越大，等效泊松比也越大。r值則影響了胞元的旋轉能力，固定g，r值越大，旋轉能力越強，打孔后的胞元等效泊松比越小。

如圖8所示，當這兩種薄膜胞元的材料參數相同，r=0.98時，兩種薄膜等效泊松比只和g值有關。當g值分別等于1.5 mm和9.0 mm時(圖8(a)和圖8(b))，首先泊松壓縮的殘留效果不同，前者弱于后者；其次，胞元在旋轉時，繞著孔間邊界區域旋轉，寬度越寬，相當于對胞元的約束程度越大，越不利于胞元的旋轉。所以圖8 (a)中的等效泊松比μa,eff小于圖8 (b)中的等效泊松比μb,eff。

圖8 參數對薄膜胞元泊松比的影響Fig.8 Influences of parameters on Poisson’s ratio of a membrane unit

如圖8 (c)和圖8 (d)所示，如果兩種薄膜胞元的材料參數相同，g=3.0 mm，當r=0.7和0.92時，薄膜胞元的旋轉能力明顯不同。當胞元受到一個方向的拉伸載荷時，胞元中心的橢圓孔趨向于變成一個圓形，即被“拉開”，當橢圓的縱橫比較小時，橢圓很容易達到“拉開”的上限，如圖9(a)所示。而當橢圓的縱橫比較大時，橢圓被“拉開”后的形狀較之未“拉開”時變化較大，所以帶來的胞元旋轉能力也較大，如圖9(b)所示。圖8(c)中的等效泊松比μc,eff大于圖8(d)中的等效泊松比μd,eff。

圖9 不同r下薄膜胞元的變形前后對比Fig.9 Comparison of film unit deformations with different r

值得一提的是，泊松比的調整效果與外載荷的大小無關。在實際工程應用中，任意外載均可實現文中所提到的泊松比調整效果。從圖9中可以看出，最大應力的位置出現在縱向橢圓的長軸端點處。根據前期的測試，以20束/cm的復合膜為例，材料的經向拉伸強度約為254.52 Mpa。能滿足絕大多數工程應用的強度要求。

3 結論

1)通過正交橢圓孔陣列設計的幾何參數變化，分析了4種薄膜經緯雙向等效泊松比的變化規律。4種薄膜胞元的經緯雙向等效泊松比，在同一g值下隨r值的變化均遵循①緩慢減??；②減小趨勢加??；③逐漸趨于穩定。在g值等于胞元邊長的15%～20%時，3個過程均清晰可見。當g值偏小時，①過程不明顯；當g值偏大時，③過程不明顯。

2)對同一種薄膜而言，打孔后的泊松比主要由兩個因素支配：孔間邊界距離g，橢圓長半軸a與長短半軸長度之和(a+b)的比例r。

3)g值對薄膜胞元的泊松比的影響體現在兩個方面：第一，g值決定了材料參數對打孔后的等效泊松比的影響程度；第二，胞元在旋轉時，繞著孔間邊界區域旋轉，寬度越寬，相當于對胞元的約束程度越大，越不利于胞元的旋轉；固定r，g值越大，等效泊松比也越大。

4)r值影響胞元旋轉能力體現在當橢圓縱橫比變大時，橢圓受拉后形狀的變化程度上。當胞元受到一個方向的拉伸載荷時，胞元中心的橢圓孔趨向于變成一個圓形，即被“拉開”，當橢圓的縱橫比較小時，橢圓很容易達到“拉開”的上限；而當橢圓的縱橫比較大時，橢圓被“拉開”后的形狀較之未“拉開”時變化較大，所以帶來的胞元旋轉能力也較大。固定g，r值越大，等效泊松比越小。