一類具有消失χ 曲率的(α,β)-度量?

麻翠玲，張曉玲?，何 勇

(1.新疆大學 數學與系統科學學院,新疆 烏魯木齊 830017;2.新疆師范大學 數學科學學院,新疆 烏魯木齊 830053)

0 引言

在芬斯勒幾何中有許多的非黎曼量(即在黎曼幾何中恒為零,但在芬斯勒幾何中未必為零的幾何量),例如:S 曲率,Berwald 曲率,Landsberg 曲率,χ 曲率,H 曲率,E 曲率等.研究這些特殊曲率的性質往往能夠得到一些整體性結果,因此具有十分重要的意義[1?2].

設(M,F) 是n 維芬斯勒流形,切叢TM 上的非黎曼量χ=χidxi定義為

其中:S 表示S 曲率,“.” 和“;” 分別表示F 關于陳聯絡的豎直協變導數和水平協變導數.

文獻[2]研究了旗曲率與χ 曲率之間的關系,證明了具有標量旗曲率的芬斯勒度量具有幾乎消失χ 曲率當且僅當旗曲率幾乎消失.特別地,具有消失的χ 曲率當且僅當旗曲率消失,并證明了Randers 度量的S 曲率幾乎迷向當且僅當χ 曲率幾乎消失.文獻[3]給出了Kropina 度量具有幾乎消失χ 曲率的等價條件.文獻[4]給出了(α,β)-度量χ 曲率的具體表達式,并發現對于具有幾乎消失χ 曲率的m(≥2) 次多項式(α,β)-度量,其χ 曲率一定消失,且在共形平坦條件下,F 一定是局部閔可夫斯基度量.文獻[5]刻畫了一類具有消失χ 曲率的廣義(α,β)-度量,并研究了球對稱度量的相關性質.

文獻[6]研究了χ 曲率與Ricci 曲率之間的關系,并由此發現了一類新的非黎曼量.之后,他們證明了對于具有標量曲率的噴射,其具有迷向曲率當且僅當χ 消失[1].沈忠民近期討論了χ 曲率關于噴射G 的幾種不同的表達式,證明了用S 曲率進行射影變換得到的噴射總是具有消失的χ 曲率,并在χ=0 的條件下建立了有關噴射的Beltrami 定理.

(α,β)-度量是一類特殊的芬斯勒度量,表示形式如下

在本文中我們研究了一類具有消失χ 曲率的(α,β)-度量,并得到如下定理.

定理1設F=αφ(s) 是n(≥3) 維流形M 上的非黎曼(α,β)-度量,如果β 滿足

其中:?=?(x) 是標量函數,那么χ=0 等價于下列三個條件之一成立:

(a) ?=0,

其中

注記1文獻[4]證明了具有幾乎消失χ 曲率的多項式(α,β)-度量,其χ 曲率一定消失,未進一步研究具有消失χ 曲率的多項式(α,β)-度量.本文研究了一般的(α,β)-度量,而不只是多項式(α,β)-度量.文獻[5]研究了廣義(α,β)-度量.在其中c 為常數的條件下,刻畫了其具有消失χ 曲率的性質.

注記2注意到

因此b 為常數的充要條件是rj+sj=0.如果β 滿足式(2),我們有rj+sj=0,即b 為常數.

注記3對于多項式(α,β)-度量,令h=0,F 退化為黎曼度量,見定理3.

注記4對于多項式(α,β)-度量,令g=0,用Maple 程序計算得,當2 ≤k ≤5 時,F 均退化為黎曼度量.

注記5對于形如式(3)、式(4)的多項式(α,β)-度量

1 預備知識

設M 是一個n(≥2) 維光滑流形.切叢TM 上的點記為(x,y),其中:x ∈M,y ∈TxM.令(xi,yi) 是TM 的局部坐標,上的函數F :TM-→(0,+∞) 稱為芬斯勒度量,如果其滿足以下幾個條件:

(1) F 在TM {0} 上是光滑的；

(2) 對任意的λ＞0,F(x,λy)=λF(x,y)；

(3) 基本二次型為g=gij(x,y)dxi?dxj,其中:

設F 是n 維流形M 上的一個芬斯勒度量,F 的測地系數Gi定義為

其中:(gij)=(gij)?1.

設dV=σ(x)dx 是M 上的體積形式,那么S 曲率定義為

其中:bi|j表示β 關于α 的共變導數.

2 一類(α,β)-度量的χ 曲率

引理1[7]設F=αφ(s) 是n 維流形上的一個(α,β)-度量.如果β 滿足式(2),那么其S 曲率為

利用引理1 和式(1),我們得到定理2.

定理2設F=αφ(s) 是n 維流形上的一個(α,β)-度量.如果β 滿足式(2),那么

將式(8) 代入式(7),即得式(6).

3 一類具有消失χ 曲率的(α,β)-度量

本節將給出定理1 的證明.

定理1 的證明

當f=0 時,F 為黎曼度量,因為文獻[8]已證明(α,β)-度量是黎曼度量當且僅當Φ=0.

當?=0 時,χi=0 顯然成立.因此下述分析中考慮?/=0 且f/=0 的情況.

當?是非零常數時,由式(6) 得

上式用bi縮并,得

從而g=0.代入式(9) 得,h=0 或sij=0.

當?不是常數時,為了簡化計算,我們在x 點的切空間TxM 上取關于α 的正交基,使得

并且在TxM 上取適當的坐標變換ψ:(s,uA)→(yi):

對上式的下標i,分別取i=1 和i=A,可得根

據χ1和χA關于uA的有理項和無理項,χi=0 等價于下列四式成立

對式(12) 關于uB,uC求導,得

在式(14) 中,令A=B,并取跡,得

類似地,在式(14) 中,令B=C,并取跡,得

由(n-1)×(15)-(16),得

因此,當n ≥3 時,?A=0.

此時,式(10) 自然成立,且式(11) 可轉化為

由式(18) 的表達式可知,若g=0,則

方程(19) 的非零解為

其中:μ 是任意常數.將式(20) 代入g=0,得

方程(21) 的解為

將式(22) 代入f 的表達式,可得

這與式(20) 矛盾.因此g 恒不為零.

從而,由式(18) 可得

則Hs=0,即H 為任意非零常數.從而,由(24) 式知sij=0,此時式(13) 自然成立.反之,若F 滿足定理1 中的條件(a) 或(b),則顯然χ 曲率消失.對于情形(c),知

將以上兩式代入定理2 的(6) 式,則式(6) 恒成立.

例1解方程sf-(b2-s2)fs=0,得則當時,由定理1 中的(c) 可知,滿足此條件的(α,β)-度量具有消失的χ 曲率.

對于k(≥2) 次多項式(α,β)-度量,即F=αφ(s),其中:φ(s)=1+a1s+a2s2+···+aksk.我們有如下定理.

定理3設F=αφ(s) 是n(≥3) 維流形上的(α,β)-度量,其中φ(s) 是關于s 的k(≥2) 次多項式.如果h=0,那么F 為黎曼度量.

證明對h=0 乘以2Δ3(φ-sφ′)8,由最高次項系數為零,得

則ak=0.從而

類似地,由2Δ3(φ-sφ′)8·h=0 的最高次項系數為零,得

則a1=0.因而,φ(s)≡1,即F 為黎曼度量.