彈性需求的Logit隨機共乘用戶均衡模型和算法

馬 捷，李 銳，王 華

（1. 東南大學交通學院，江蘇南京 211189；2. 道路交通工程國家級實驗教學示范中心（東南大學），江蘇南京 211189；3.河海大學土木與交通學院，江蘇南京 210024；4. 新加坡國立大學土木與環境工程系，新加坡 117576）

隨著共享經濟的興起，共享出行成為當前城市交通網絡的重要出行方式［1］，共乘出行（即順風車出行等）作為共享出行的典型形式之一也受到廣大交通出行者的青睞［2-3］。共乘出行是指具有共同出行起訖點的出行者們通過網約車平臺進行匹配并分別成為共乘駕駛員和共乘乘客，乘客通過支付一定補償費用給駕駛員從而分擔出行費用的一種出行方式，可在降低出行者出行費用的同時滿足出行者的出行需求［1］。雖然共乘出行占當前城市交通網絡中機動車的出行比例仍較低，但是由于城市交通網絡的復雜性，共乘出行交通方式已經極大地改變了城市交通網絡的結構和出行者的出行需求［4］。交通流量是交通網絡中最重要的變量之一，建立城市交通網絡模型是預測和分析交通流量的重要手段。通過城市交通網絡建模，可以實現交通規劃和管理的諸多功能，如制定共乘價格、估計通行時間、設計交通網絡等。因此，建立考慮了共乘出行的城市交通網絡模型，分析共乘出行對交通流量的影響，量化出行費用對出行需求的影響程度，這將有力地支撐共乘出行城市交通系統的科學規劃與設計。

考慮了共乘出行的城市交通網絡（下文簡稱共乘交通網絡）的出行用戶分為3類：單獨出行的駕駛員（即傳統私人小汽車出行方式的出行者）、共乘駕駛員和共乘乘客。共乘駕駛員和共乘乘客通過網約車平臺實現匹配，乘坐共乘駕駛員的車輛出發并到達目的地。未參與或未成功實現匹配的用戶將作為單獨出行的駕駛員（即傳統私人小汽車出行方式）獨自完成出行。共乘交通網絡中的出行者是存在轉移關系的，即數量不是固定不變的。例如，當單獨出行的駕駛員發現共乘駕駛員（或共乘乘客）的綜合出行成本更低時，將放棄單獨出行而選擇成為共乘駕駛員（或共乘乘客）。由此產生的流量變化受到相互作用的綜合出行成本、供需關系以及出行者選擇行為的影響，是用戶自由選擇的結果，因此無法通過交通調查的方式獲得。同時，與傳統出行方式不同，共乘出行用戶的交通流量之間還存在制約關系，這是因為共乘乘客的流量不能小于共乘駕駛員的流量，也不能大于共乘車輛的最大容量。此外，交通流量的這種約束還可能為模型帶來新的乘子，導致傳統交通分配算法的失效。以上原因為共乘交通網絡建模帶來了巨大的挑戰［5］。Xu等［5］建立了首個共乘出行的交通分配模型，即共乘出行用戶均衡（RUE）模型。該模型描述了共乘駕駛員和共乘乘客之間的流量關系，但只能計算單一的共乘服務，無法細化不同種類共乘服務的用戶流量。Ma 等［6］提出了共乘出行的浮動定價策略和共乘匹配約束，并改進了RUE 模型，用以計算和預測多種共乘服務的出行流量。

然而，現有的RUE模型均假設用戶完全掌握出行費用的全部信息，而現實中用戶對出行費用的感知具有隨機性［7-9］。此外，用戶的出行需求也不是固定不變的，受到出行費用的影響［10-12］，而現有RUE模型假設需求是固定不變的。因此，考慮用戶對出行費用感知的隨機性以及出行費用對出行需求的影響是當前共乘交通網絡研究的難點。

基于Logit選擇模型和彈性需求函數，構建考慮彈性需求的Logit 隨機共乘用戶均衡（SRUEED）問題的變分不等式模型，保證模型解的唯一性。然后，采用全局最優的自適應并行投影算法求解了SRUEED 問題，該算法通過并行計算的方式極大地降低了內存需求和計算時間，提高了計算可行性。最后，通過2個算例驗證了算法的有效性，并通過敏感性分析得到了共乘出行需求和平均出行時間的影響因素。

1 共乘交通網絡

1.1 流量守恒

首先，建立共乘交通網絡G=(N，A)，其中N表示網絡節點的集合，A表示路段的集合；然后，分別建立單獨出行的駕駛員、共乘駕駛員和共乘乘客的集合Ds、Dr和R，并建立泛指各類用戶的集合I，即I=Ds∪Dr∪R。此外，每個類別的用戶還可以包含不同的角色。例如，如果共乘駕駛員最多允許搭乘2名乘客，就可以令i=1 ∈Ds表示單獨出行的駕駛員，i=2，3 ∈Dr分別表示搭載了1 名乘客和2 名乘客的共乘駕駛員，i=4，5 ∈R則分別表示共乘駕駛員i=2，3 所搭載的乘客。出行的起訖點分別用O和D 表示，共乘交通網絡中3 類用戶之間的關系如圖1所示。

令w∈W表示出行起訖點對（即O-D 對），p∈Pw表示連接O-D對w的路徑，qw表示O-D對w之間的出行需求，fw，p，i表示路徑p上角色i的流量，xa和xa，i分別表示路段a∈A上的車流量和路段a上角色i的流量。共乘交通網絡具有如下交通流量守恒關系：

式中：δw，a，p表示路段-路徑關聯變量。當路段a屬于路徑p時，δw，a，p=1，否則δw，a，p=0。

1.2 共乘匹配約束

由于共乘駕駛員需要匹配共乘乘客才能完成共乘出行，因此共乘駕駛員與共乘乘客之間始終保持著顯式的數量關系［6］。Ma等［6］由此提出了以下共乘匹配約束：

式中：Tr(i)表示共乘駕駛員i接乘的乘客，Tr(2)=4表示共乘駕駛員類型2所接乘的乘客類型4；Ni表示共乘駕駛員i分享的座位數。

1.3 廣義出行費用

共乘出行涉及多種出行費用，部分文獻將出行費用總結為以下幾類：出行時間費用、不便費用、共乘價格和報酬以及溢價和補貼。其中，溢價和補貼與共乘出行服務的供需相關，因此溢價和補貼以外費用的總和稱為出行費用，出行費用加上溢價和補貼稱為廣義出行費用［5-6，13］。由于研究的是隨機共乘均衡問題，因此不涉及具體的廣義出行費用函數的設計。廣義出行費用采用文獻［6］給出的一般形式，如下所示：

令x=(xa，a∈A)T表示路段a上車流量向量，f=(fw，p，i，w∈W，p∈Pw，i∈I)T表示路徑p上角色i流量向量，用tw，p(x)表示路徑p的出行時間，則有

式中：ρi表示角色i的時間價值；Ii(tw，p)表示角色i的不便費用，該費用與出行時間和共乘人數有關，出行時間越長或共乘人數越多則不便費用越大，因此不便費用是出行時間tw，p的單調遞增函數，并且由于每種共乘出行服務都有各自不同的共乘人數，因此每種角色i都有各自適用的不便費用函數Ii(tw，p)；Bw，i表示共乘出行的基準價格（或報酬），該價格（或報酬）與O-D對w和角色i有關，對于共乘駕駛員來說該項費用表示共乘報酬，對于乘客來說該項費用表示共乘價格；Mi(sw，i)表示浮動報酬，是共乘出行供給的單調遞減函數，即O-D對之間的共乘駕駛員越多則平均浮動報酬越低；Mi(dw，i)表示浮動價格，是共乘出行需求的單調遞增函數，即O-D對之間的乘客越多則平均浮動價格越高；ct表示與出行時間和里程無關的固定費用，如購車費用、保險費用、停車費用等。

根據經濟學市場出清原理［5］，共乘出行的溢價和補貼與供需平衡有關，并且數值上剛好等于共乘匹配約束所對應的拉格朗日乘子。因此，共乘出行的廣義出行費用

式中：λw，p，i表示共乘匹配約束（4）所對應的拉格朗日乘子；Trd(i)表示接乘共乘乘客i的共乘駕駛員類型。C?w=(C?w，p，i，p∈Pw，i∈I)T，w∈W表示O-D 對w的廣義出行費用向量。

2 彈性需求的Logit 隨機共乘用戶均衡條件

2.1 基于Logit的隨機共乘用戶均衡

由于網約車公司會為共乘駕駛員和共乘乘客提供共乘報價，因此共乘出行的價格和報酬較為精確，但共乘用戶感知的出行時間是不確定的，廣義出行費用的隨機性主要來自于實際出行時間的不確定，因此感知的廣義出行費用是一個隨機變量，表達式如下所示：

式中：θ為用戶感知離散參數，θ=π/ 6σ。θ越大表示分布的方差越小，用戶對廣義出行費用的感知越精準。

2.2 彈性需求

現實中的出行需求并不是固定不變的，城市交通網絡以及交通行為選擇領域中許多成熟的研究表明，出行需求與平均服務水平正相關，與用戶感知的最小廣義出行費用的期望負相關［17-20］。由于出行需求最大不能超過出行人數、最小不為負數，因此出行需求會受上下界的約束。根據城市交通網絡的相關研究成果［17-20］，采用Sw表示用戶感知的最小廣義出行費用的期望值并建立彈性需求函數，如下所示：

式中：qˉw為常數，表示出行需求的上界；ew(Sw)是關于Sw的單調不增的連續可微函數。

由式（8）可知，用戶感知的廣義出行費用是一個隨機變量，因此最小用戶感知的廣義出行費用也是一個隨機變量。根據期望的定義對Logit 選擇模型的用戶感知最小廣義出行費用進行推導［19］，可知

3 彈性需求的Logit 隨機共乘用戶均衡模型

接下來，驗證該模型的解的等價性、存在性以及唯一性，即該模型的解符合彈性需求的Logit隨機共乘用戶均衡條件、解存在并且是唯一的。

定理1（等價性）模型（16）的解符合彈性需求的Logit隨機共乘用戶均衡條件。

證明：模型（16）顯然等價于

即彈性需求的Logit 隨機共乘用戶均衡條件。命題得證。

此處注意，雖然數學規劃（18）與模型（16）等價，但是由于f*未知，導致數學規劃（18）沒有顯式表達，因此無法直接作為模型。

2.5.1 創面出血 術中嚴格止血、確認無活動性出血后方能結束手術。拔除尿管前輕度出血可暫時觀察并行膀胱沖洗，牽拉尿管以壓迫電切創面。如果術后出現下列情況，應急診在電切鏡下清除血凝塊并重新止血：①膀胱沖洗液顏色突然變紅，經牽拉氣囊無緩解；②血紅蛋白持續性下降；③出現血壓顯著下降及心率顯著加快；④膀胱內血凝塊形成，經常規抽吸無法恢復沖洗通暢。術后1～3個月內應避免刺激性食物及劇烈活動，保持大便通暢。如出現輕度血尿，囑患者多飲水，嚴重出血或形成膀胱內血腫時處理同圍手術期。

定理2（存在性）模型（16）的解存在。

證明：由集合Ω的定義可知，Ω是一個緊集。由于函數φ( )· 在緊集Ω上連續，因此根據Nagurney 的定理1.4可知［6］，變分不等式模型（16）的解存在。命題得證。

定理3（唯一性）模型（16）的解唯一。

證明：首先計算向量函數φ(f)的Jacobian 矩陣，如下所示：

因此，根據矩陣半正定的判定條件，J3也是半正定的。由J=J1+J2+J3可知J正定，即向量函數φ(f)關于向量f單調。根據Pang 和Facchinei 的定理2.3.3（a）［6］可知，模型（16）的解唯一。命題得證。

4 自適應并行投影算法

在證明了研究問題的解存在且唯一之后，基于全局最優的自適應投影算法［22］，提出自適應并行投影算法并對該問題進行求解。由于城市交通網絡往往規模較大，現有的算法難以求解，因此基于并行計算的思想將原問題按照O-D 對分解成若干個子問題，每個子問題求解一個O-D 對的路徑流量，最后將各個O-D對的路徑流量解合并即為原問題的解。相比于自適應投影算法，所提出的算法極大地減少了對內存的占用，適合求解大規模的交通分配問題。此處定義可行集里到向量最近的點為該向量在可行集上的投影，即：

該算法的收斂性證明詳見He等［22］的證明。下文將通過文獻中常用的2個城市交通網絡Braess網絡和Sioux-Falls網絡算例對上述模型和算法進行驗證。

5 算例研究

采用2 個城市交通網絡算例驗證彈性需求的Logit 隨機共乘用戶均衡模型和自適應并行投影算法。算例中使用的廣義出行費用函數的具體形式如式（38）所示，彈性需求函數如式（39）所示，模型和算法中相關參數的具體數值如表1所示。

表1 參數設置Tab.1 Parameter settings

式中：μ為彈性需求參數。

5.1 Braess網絡

Braess 網絡出行需求的上界qˉ=6，拓撲結構以及各條路段的出行時間函數如圖2 所示，x1～x5和t1～t5分別表示Braess 網絡中各路段的流量和出行時間。對彈性需求參數和用戶感知離散參數進行敏感性分析。

圖2 Braess網絡Fig.2 Braess network

彈性需求參數μ的敏感性分析如圖3 所示。結果表明，隨著用戶的出行需求對出行費用的敏感度增加，出行需求和平均出行時間降低。這是因為用戶對交通擁擠的厭惡驅使用戶選擇其他出行方式或放棄出行。研究表明，交通擁擠的大城市的用戶對出行費用更為敏感［24］。由于共乘出行在滿足出行需求的同時減少了道路上的車流量，緩解了交通擁擠，因此在大城市中發展共乘出行更易得到共乘用戶的支持。

圖3 彈性需求參數的敏感性分析Fig.3 Sensitivity analysis on elastic demand parameter

用戶感知離散參數θ的敏感性分析如圖4所示。結果表明，用戶對出行費用的感知越精確，出行需求和平均出行時間就越小。因此，如果用戶配備了導航或其他先進的出行信息系統，平均出行時間就會減少，交通擁堵就會得到明顯緩解。由于網約車平臺會為共乘出行提供出行信息和導航信息，因此共乘出行的普及將會有利于交通擁堵緩解。

圖4 用戶感知離散參數的敏感性分析Fig.4 Sensitivity analysis on user perception dispersion parameter

5.2 Sioux-Falls網絡

由于城市交通網絡問題通常是一個大規模問題，計算交通流量的全局最優解往往需要消耗大量的計算資源和計算時間，因此采用一個大規模城市交通網絡Sioux-Falls網絡對算法的計算可行性進行驗證。Sioux-Falls 網絡的拓撲結構如圖5所示。該網絡的路段出行時間函數以及出行需求的上界qˉw詳見文獻［6］，其他參數設置與表1一致。用K短路算法［23］為每個O-D 對尋找10 條最短路徑作為路徑集Pw。自適應并行投影算法用時1.24 h達到1%的精度，該網絡路段流量的實驗結果如表2所示。

表2 Sioux-Falls網絡的路段流量Tab.2 Link flow of Sioux-Falls network

圖5 Sioux-Falls網絡Fig.5 Sioux-Falls network

表3顯示了各類出行角色在Sioux-Falls網絡中的總流量，反映了在當前選取的參數下網絡中大部分出行者仍然是單獨出行的駕駛員。本算例中，Sioux-Falls網絡的共乘出行者與現實網絡相比比例偏高，這是因為本算例僅為驗證所提出的方法，所以采用的參數是隨機的。在工程應用中可以獲取具體城市交通網絡關鍵參數的準確值從而得到精確的流量預測結果。

表3 Sioux-Falls網絡的出行角色流量Tab.3 Role flow of Sioux-Falls network

6 結語

通過分析用戶出行需求與出行費用的相互作用關系，建立了共乘交通網絡，分析了共乘出行對城市交通網絡的影響以及共乘出行的流量變化。通過共乘匹配約束描述了共乘交通流量之間的相互制約關系，基于Logit選擇模型探究了用戶對出行費用感知的隨機性。通過彈性需求描述了出行費用對出行需求的影響，建立了彈性需求的Logit隨機共乘用戶均衡的變分不等式模型，并嚴格證明了該模型的解的等價性、存在性和唯一性。在此基礎上，設計了自適應并行投影算法，降低了求解大規模交通分配問題的內存需求和計算時間，求解了所提出模型并得到了全局最優解。通過2個算例驗證了所提出模型和算法的有效性，結合敏感性分析得出了影響出行需求和平均出行時間的因素，最后用大規模網絡驗證了算法的計算可行性。

作者貢獻聲明：

馬 捷：方案設計，論文撰寫，基金支持。

李 銳：方案設計，論文修改，稿件校對。

王 華：方案設計，論文修改，稿件校對。