應急物流優先的交通分配模型及算法

丁 蕾，杭虹利

（1. 上海交通大學醫學院，上海 200025；2. 上海外國語大學國際工商管理學院，上海 200083）

新冠肺炎疫情是一次重大的全球公共衛生事件。這次疫情是對我國突發公共衛生事件應急能力的一次大考，也是對全社會供需關系的一次嚴峻考驗?；仡櫼咔榉揽剡^程，發現多數問題最終都歸結為供需矛盾問題，尤其是緊急醫療救援的物流系統無法滿足快速迅捷的需求，應急物流系統的無序和緩慢一度阻礙了疫情防控的進展，成為制約疫情攻堅戰的瓶頸［1］。

應急物流體系是國家應急管理體系的重要組成部分，在運送防疫物資、保障生活需要、維持經濟運行方面發揮著積極作用［2］。此次新冠肺炎疫情的暴發，暴露出我國在應急物流體系中存在的問題，包括應急物資的儲備不足、生產滯后，物流運行不暢、調度難度大，應急物資分發、配送效率低，疫區末端快遞收派難，航空物流、醫藥物流、冷鏈物流基礎薄弱。疫情下傳統物流系統暴露出明顯的脆弱性，很容易受到破壞。每一次天災人禍都是對物流保障體系的一次考驗，任何一個物流環節的斷裂和要素的缺失，都會造成整條供應鏈的停擺。

國外對應急物流的研究起步較早，在20世紀70年代已運用運籌與管理方法對自然災害的應急管理進行了初步研究［3］。Dasaklis等［4］綜述了應急供應鏈對流行病爆發控制方面的研究。Ekici等［5］與美國紅十字會合作，采用啟發式方法研究了潛在的流感大流行期間的食品分配計劃。Sakuraba 等［6］基于地震后道路應急修復對救援物資分發的重要性，研究了震后道路網絡可達性問題和工作部隊調度問題。Dasaklis 等［7］研究了天花爆發控制的應急供應鏈管理，評估了實施區域大規模疫苗接種的醫療物資需求。Balcik［8］提出了采用有效的禁忌搜索啟發式方法解決路線評估問題。

雖然國內在應急物流領域起步較晚，但是已取得了一些研究成果。He等［9］基于修正的SEIR（susceptible，exposed，infected，recovered）傳染病模型建立了醫療物資需求預測模型和救濟分配線性規劃模型。Liu等［10］依據藥物需求預測，建立了包含醫院、配送中心以及制藥廠在內的醫療資源規劃系統。Huang等［11］針對某些突發事件無歷史數據的特點，基于不確定性理論建立了應急物流配送路徑模型。劉明等［12］基于傳染病動力學模型以及應急選址分配重新定義了應急服務水平參數，并建立了基于服務水平的疫情應急物流網絡優化模型。趙建有等［13］在考慮醫療物資需求迫切度重要性的基礎上，構建了含車輛運行費用、延誤懲罰費用、無延誤補貼費用的配送總費用，并建立了城市應急醫療物資配送路徑優化模型。

運輸作為應急物流系統中的基礎組成部分，直接影響著系統的高效與通暢。突發事件下難免會出現應急物流車輛與一般社會車輛共用交通網絡的情況，目前相關問題還沒有得到廣泛研究。因此，提出了一種應急物流車輛優先通行的交通分配模型。在交通網絡中，應急物流車輛具有優先通行權，同時構成一個應急物資運輸總體時間最小化的共同體。其他交通參與者充分配合應急物流車輛的優先權，在滿足應急物流車輛優先通行的前提下實現個體通行成本最小化。

1 應急物流車輛優先的交通分配模型

假設交通網絡中存在2 類車輛，即一般社會車輛和應急物流車輛。一般社會車輛總是試圖在現有流量分布的基礎上尋找最短路徑，這類車輛的路徑選擇服從Wardrop 用戶均衡（UE）原則［14］。除了一般社會車輛外，交通網絡上還有一些以應急物流總體行駛時間最小化為目標的車輛，它們的路徑選擇服從Cournot-Nash（CN）原則［15］。因此，將車輛交通劃分為2 個不同群體，每個群體的用戶路徑選擇行為要么服從UE原則要么服從CN原則。

應急物流和社會物流都包含多個O-D（交通起止點）對，但為了標記方便，每個O-D對都只由一個運輸體控制。當同一物理O-D 對上具有幾個博弈者時，就復制該O-D 對，將其作為一組O-D 對。這樣，每個博弈者對該O-D對的控制都可以清晰地表達出來［16］。

用U表示路網中的一般社會車輛群體，服從UE原則，即UE 博弈者群體；用K表示路網中的應急物流車輛群體，服從CN原則，即CN博弈者群體。WU為用戶服從UE原則的O-D對集合，WK為用戶服從CN 原則的O-D 對集合。令W≡WU∪WK。vUa表示集合WU中通過路段a∈A的路徑流量之和，vKa為集合WK中通過路段a∈A的路徑流量之和，va≡vUa+vKa，vU=∪avUa，vK=∪avKa。

假設在交通網絡中每條路段上的出行時間和費用都只與該路段上的流量相關，同其他路段上的流量無關。令ta(va)表示任意路段a∈A上的平均費用，它是與路段流量可分離的、二階可微的、嚴格遞增的凸函數。

經上述符號定義，同時假設所有O-D需求都是固定的，則UE博弈者的可行路段流量集合ΩU如下所示：

式（1）～（6）中：Pw為w代表的O-D對的所有路徑的集合；fwp為w代表的O-D 對的路徑p上的流量；dw為w代表的O-D對的交通需求；δwap為0-1變量，若路段a屬于w代表的O-D 對的路徑p，則δwap=1，否則δwap=0；vU為一般社會車輛的路徑流量；vK為應急物流車輛的路徑流量。式（1）～（6）分別表示物流需求、一般社會車輛出行需求和網絡連接性條件。

目標函數為應急物流總時間最小化，則應急物流費用最小化模型（A）如下所示：

式中：μw為O-D 對w間應急物流車輛的感知出行時間。

求解模型（C）只需求解一個交通分配問題，其中路段旅行時間函數更改為vKat'a(vUa+vKa)。若一般社會車輛能夠完全避開應急物流車輛使用的路段，即vKa＞0的路段，則模型（C）的目標函數為零，可以做到一般社會車輛交通對應急物流車輛交通完全沒有干擾。

需注意，在模型（B）、（C）中都使用了符號μw，因此需要根據連接O-D 對的用戶類型（UE 用戶或者CN 用戶）區分方程中右邊項實際表示的意義（實際出行時間或感知出行時間）。

已假設路段費用函數是凸函數且嚴格遞增，因此最優化問題（B）具有唯一解。模型（C）是一個凸規劃問題，但不是嚴格的凸規劃，所以可能存在不同的解。同時滿足最優化問題（B）和模型（C）的解稱為UE-CN 混合均衡解。Harker［16］用變分不等式來解決UE-CN混合均衡問題。Bennett［17］則認為該混合均衡問題不能夠用最優函數來表示。在均衡點，UE 用戶感知的費用為私人邊際費用或實際費用ta(va)，CN 用戶感知的費用為部分邊際社會費用ta(va)+vKat'a(va)。

由于模型（C）可能存在路徑流量不唯一的問題，因此求解該模型通常比較復雜。另外，在滿足應急物流車輛優先通行的基礎上，也應適當照顧一般社會車輛的通行費用。為此可將模型（A）修改為如下模型（D）：

模型（F）如下所示：

Harker［16］已證明，在路段費用函數是線性且嚴格遞增的條件下，模型（E）和模型（F）的解均是唯一的，混合均衡問題的解也是唯一的。

2 算例

在如圖1 所示的測試網絡中，假設起點A和終點B之間由4條路線相連。路線的行程時間函數為

圖1 測試網絡Fig.1 Test network

式中：Ti為第i條路徑的行程時間，是路徑流量v的函數；ai和bi為與路徑相關的參數，ai表示沒有流量時的行程時間，bi表示路徑的擁擠效應，即流量增加時行程時間上升的速度。ai和bi的值如表1所示。

表1 路徑行程時間函數的參數Tab.1 Parameters of path travel time function

假設如圖1所示的網絡中從起點A到終點B的物流需求為：500 個單位的應急物流車輛流量（vK=500）和500個單位的一般社會車輛流量（vU=500）。利用模型（A）對流量進行分配，結果為：500個單位的應急物流車輛經過路徑4，500個單位的一般社會車輛經過路徑1、2 或3，即vK4=500，vU4=0，vU1+vU2+vU3=500，vK1=vK2=vK3=0。從計算結果看，模型（A）把應急物流車輛安排在路徑4，并避免一般社會車輛使用該路段，可以保證應急物流車輛的優先通行。一般社會車輛共用路徑1、2和3，避免了對應急物流車輛的干擾。然而，路徑1、2和3的行程時間并不相等，所以在保證應急物流車輛優先的前提下模型（A）不能兼顧一般社會車輛的通行成本。

運用模型（D）對流量分配加以改進，模型參數e=0.001，計算結果如表2 所示。結果表明，應急物流車輛全部選擇最短路徑4，一般社會車輛選擇次短路徑3。模型（D）不僅保證了應急物流車輛的優先，還使得一般社會車輛總行程時間最小。由此可見，相較于模型（A）而言，模型（D）可以在保證應急優先的情況下兼顧一般社會車輛的通行。

表2 路徑分配結果（vK=500，vU=500）Tab.2 Path assignment results（vK=500，vU=500）

將應急物流車輛流量提高到1 000個單位，一般社會車輛流量不變仍為500個單位。運用模型D進行流量分配，結果如表3 所示。應急物流車輛占用路徑3和4，一般社會車輛占用路徑1和2。

表3 路徑分配結果（vK=1 000，vU=500）Tab.3 Path assignment results（vK=1 000，vU=500）

將應急物流車輛流量提高到3 000個單位，一般社會車輛流量仍然為500 個單位。運用模型（D）進行流量分配，結果如表4 所示。應急物流車輛占用路徑2、3和4，一般社會車輛占用路徑1。

表4 路徑分配結果（vK=3 000，vU=500）Tab.4 Path assignment results（vK=3 000，vU=500）

改變模型參數e=1。將應急物流車輛流量設置為3 000個單位，一般社會車輛流量設置為500個單位。運用模型（D）進行流量分配，結果如表5所示。應急物流車輛占用路徑1、3和4，一般社會車輛占用路徑2?？梢?，采用過大的模型參數e會導致錯誤的計算結果。

表5 路徑分配結果（vK=3 000，vU=500，e=1）Tab.5 Path assignment results （vK=3 000，vU=500，e=1）

3 結語

提出一種應急物流車輛優先通行的交通分配模型，并給出對應的求解方法。在交通網絡上，應急物流車輛具有優先通行權，同時構成一個應急物資運輸總時間最小化的共同體。其他交通充分配合應急物流車輛的優先權，在滿足應急物流車輛優先通行的前提下實現個體通行成本最小化。因此，提出了混合交通分配模型，并對解的存在性和唯一性進行了說明。為解決解的唯一性問題，以及在應急物流車輛優先的前提下最大程度滿足一般社會車輛的便捷通行，提出了改進的模型和算法。最后，通過簡單的算例驗證了模型和算法的合理性，可以兼顧應急物流車輛和一般社會車輛的通行需求。

作者貢獻聲明：

丁 蕾：模型開發，軟件編制，部分文稿撰寫。

杭虹利：理論推導，算法設計，部分文稿撰寫。