基于商空間粒度的序關系及其轉換研究

李海霞

(莆田學院 新工科產業學院，福建 莆田 351100)

0 引言

日常生活中人們時刻進行著觀察、對比、決策.要進行對比，首先要對事物按某種尺度進行量化，在量化的基礎上排泛序[1]、求解問題.對于比較復雜的問題，在更小的細節上劃分的序(微觀序)下解決，會陷入細節，難以求解，或者說求解的復雜度比較高，這時，需要進行轉換，將微觀序轉化為更粗粒度上的序(宏觀序)，在該序上解決問題，可以降低求解問題的復雜度，提高求解效率.

文章基于商空間粒度理論，討論了元素上的序(微觀序)到集合上的序(宏觀序)的轉換、集合上的序(微觀序)到集合冪集上的序(宏觀序)的轉換以及信息表上序的轉換，給出了微觀序到宏觀序轉換的步驟，并舉例說明微觀序到宏觀序的轉換在人們生活中的應用.

1 相關概念

1.1 商空間粒度理論

粒度(Granularity)[2-6]就是取不同大小的對象，是描述模糊和不確定性對象的工具.也就是說，將原來“粗粒度”的大對象分割成若干個“細粒度”的小對象，或者把原來若干個“細粒度”的小對象合并成一個粗粒度的大對象，進行研究.我國學者張鈸院士曾經指出：“人類智能的一個公認的特點：人們能從極不相同的粒度空間上觀察和分析同一問題.人們不僅能在不同粒度世界上進行問題的求解，而且能夠很快地從一個粒度世界跳轉到另一個粒度世界，往返自如，毫無困難.這種處理不同粒度世界的能力，正是人類問題求解的強有力的表現”[7].

在求解實際問題的過程中，根據求解問題的不同，需要不同粒度世界的描述.有時候解決同一問題時，同時需要若干不同粒度的世界.商空間理論[6-7]用三元組(X,f,T)描述一個問題，其中X表示問題的論域；f是論域的屬性，是對對象X的特征的刻劃；T是論域的結構，指論域X中各元素的相互關系(如距離、半序、拓撲等).分析或求解問題(X,f,T)，是指對論域X及其有關的結構、屬性進行分析、研究.比如，當X很復雜時，可以對X的大小粒度進行簡化，產生一個新的較大粒度的論域[X],那 么 把 原 問題(X,f,T)變成新的層次上的問題([X],[f],[T]).即從較粗粒度[X]去考察問題.

1.2 商空間族的性質

商空間族[7]即所有可能的商空間構成的集合.

定義1給定一論域X,設R是X上一切等價關系的全體.定義R1,R2∈R,若x,y∈X,xR1y?xR2y，則稱R1比R2細，記為R2

定義2給定X上的兩個拓撲T1,T2，設Ti的全體開集構成的集合族Oi,i=1,2.若O2是O1的子族，則稱T1比T2細,記為T2

定義3設(X1,T1),(X2,T2)∈(X,T),若X1

定理1在(X,T)上定義如上的“<”關系，則(X,T)構成一個完備半序格.

從不同粒度來考察問題，所有可能選取的商空間和結構就是(X,T)中的元素，文章主要討論對于給定的問題，如何從(X,T)中選取更“粗”的元素進行求解——將論域中的子集當作新的元素進行研究，用數學術語來講，就是對X進行劃分，得到商集[X]，然后對[X]進行研究.

1.3 微觀序和宏觀序

沒有什么東西是絕對微觀的或絕對宏觀的.采用微觀的觀點還是宏觀的觀點主要取決于觀察者的目的、理解和所處的環境等.不同的觀察者對相同的事物有不同的尺度[8]，因此對于相同的事件，不同的觀察者會存在不同的觀點和不同的解決方法，即所謂的“橫看成嶺側成峰”.

泛系相對性[9-11]是指系統的相對性和關系的相對性，是形成宏觀序和微觀序的基礎，宏觀和微觀不是絕對的，是相對的.根據泛系相對性，宏觀序是一般的序，而微觀序是從更小的細節上劃分的序.從粒度的觀點來看，宏觀序是在比微觀序更粗的粒度空間研究序.

2 微觀序到宏觀序的轉換

由于解決問題或決策的需要，經常需要將微觀序轉換成宏觀序[12-13]，在更粗的粒度空間解決問題，以提高求解問題的效率，降低求解問題的復雜度.

如何將微觀序轉換成宏觀序呢？

結合1.2中商空間族的性質，接下來討論對于給定的問題(微觀序下)，如何通過商化，從(X,T)中選取合適的元素并定義宏觀序，以達到簡化問題的目的.

2.1 元素上的序到集合上的序的轉換

定義4集合A和B上定義序關系≤ ’: 滿足集合B中的元素或者大于集合A中的元素，或者與集合A中的元素沒有關系.將A、B上的這一關系記為g，則g= { , ≤’ }.

例1：設集合A= {a,b, 0, 1 }，集合A上的序關系? = = { <0,a> , <0,b> , <0,1> , , }.如圖1所示.

圖1 集合A上的序關系f

眾所周知A= 是個布爾代數[14].可以求出A的一對理想和濾子：

A的濾子：F= { 1,a}.

A的理想：I= {b,0 }.

根據定義4，在F和I之間存在序關系≤′，將集合上的這一序關系記為g，則

g= { {F,I} ,≤′} = { < {0,b},{1,a} > }.如圖2所示.

圖2 { F,I }上的序關系g

序關系? 到序關系g的轉化如圖3所示.

圖3 序關系?到序關系g的轉換

顯然，序關系?= 到序關系g= {,≤′}的轉化，事實上也是元素上的序到集合上的序的轉化.相對來說，?是微觀序，而g是宏觀序.

從粒度的角度來看[4-5]，微觀序?和宏觀序g是不同的粒度層次，宏觀序g是更粗的粒度空間上的序.在更粗粒度空間上解決問題，能降低求解能提的復雜度.

2.2 集合上的序到集合冪集上的序的轉換

定義5設A是一個集合，A的子集B?P(A)(P(A)是集合A的冪集合)，B= {B1,B2,B3, …}，對于任何X∈Bi如果存在集合Y, 并且滿足Y∈Bj，X?Y，則Bi?Bj.

例2：設集合A= {{a,b,c,d},{a,c},{a,b}, {a}}，集合A上的序關系?′=={<{a,c},{a,b,c,d}>,<{a,b},{a,b,c,d}>,<{a},{a,c}>,<{a},{a,b},>,<{a},{a,b,c,d}>}，如圖4所示.

圖4 集合A上的序關系?′

構造滿足定義5的集合B，B={{{a,b,c,d}},{{a,c},{a,b}},{{a}}}，則B上有包含關系?′，集合B和B上的包含關系?′形成序關系g′=，如圖5所示.

圖5 集合B上的序關系g′

序關系?′到序關系g′的轉換如圖6所示.

圖6 集合上的序到集合的冪集上的序的轉換

容易得知，序關系?′=到序關系g′= 的轉換實際上是集合上的序到集合的冪集上的序的轉換.相對來說，序關系 ?′=是微觀序，而序關系g′=是宏觀序.

同樣地，從粒度的角度[4-5]來看，微觀序?′和宏觀序g′是不同的粒度層次，宏觀序g′是更粗粒度空間上的序.在更粗粒度空間上解決問題，能降低求解能提的復雜度.

2.3 信息表上序的轉換

信息表是粗糙集理論中對知識進行表達和處理的基本工具.信息表與泛權場一一對應，故可以將信息表的研究轉變為對泛權場的研究.

經典粗糙集理論中，論域U是元素的集合，未能顯化事物和事物的區別，所以對事物的認識不是很清晰.為此，引入了元素語義，構成泛權場，泛權場顯化了事物之間的區別，使得對事物的描述更全面，對事物的認識更清晰.

定義6泛權場[1]：在一個廣義系統S=(A，B)中，如果滿足B：A→W，則S就是一個泛權場，其中W為A的泛權集.

定義7子泛權場：設泛權場fU:U→W，fX:X→W，集合X?U，如果對?x∈X，不存在y∈U-X，使得fX(x)=fU(y)，稱fX是fU的子泛權場.

特別地，設? 也是fU的子泛權場.

定義8偏序“?”(“?”)上的宏觀序“?*”(“?*”)：設fX、fY∈P(B)，?fx∈fX和?fy∈fY要么fx?fy(fx?fy)或fx,fy沒有“?”關系，則有fX?*fY(fX?*fY).其中B為某泛權場所有子泛權場的集合；P(B)為B的冪集.

例3：假設有如圖7所示的泛權場布爾代數：

圖7 某泛權場布爾代數

根據定義8，對圖7某泛權場布爾代數進行商化，如圖8所示.

圖8 某泛權場布爾代數的商化

商化后得到如圖9所示的商化后的序.

圖9 商化后的序

在此基礎上，根據定義8，對圖9中的序繼續商化，如圖10所示.

圖10 對商化后的序的商化

構造出更粗粒度空間上的宏觀序(線型序)，如圖11所示.

圖11 商化后的宏觀序(線型序)

在這里，將原來的泛權場布爾代數通過求商、再求商，最終變成了線形序.大大降低了問題的復雜性.

定理2任何一個泛權場布爾代數，通過商化，最終可轉變為線形序.

定理3商化之后的偏序或線形序中，最小元為原布爾代數的理想，最大元為原布爾代數的濾子.商化越厲害，對應的理想和濾子也越大.

2.4 從微觀序到宏觀序轉換的方法

為了提高問題的求解效率，降低求解問題的復雜度或者決策的需要，經常需要結合商空間粒度理論將微觀序轉換為宏觀序，在更粗的粒度空間分析、解決問題.具體轉換步驟如下：

Step 1 分析研究當前微觀序的元素和元素上的序關系(微觀序);

Step 2 根據1.2商空間族的性質，在微觀序的基礎上構造更粗的粒度空間——將論域中的子集當作新的元素進行研究;

Step 3 定義出粗粒度空間上的序關系(宏觀序).

Step 4 如有需要，再重復step1、step2、step3步，構造出更粗粒度空間上的序.

2.5 從微觀序到宏觀序轉換的應用

微觀序從更細節的地方觀察和控制事物，而宏觀序從整體上、全局上觀察和控制事物.下面舉一個日常生活中微觀序到宏觀序轉換的簡單例子.

例：升學考試過程：學生考試，獲得分數；學校根據招生人數、學生分數高低以及排名，決定是否錄取.

考試是量化學生學習好壞的一個工具，考得的分數是量化的結果.通常情況下，按照學生分數的高低排名(圖12左)，這是學生及家長所關注的；對老師來說，更關注學生在各個分數段的分布情況(圖12中)；而對升學來說，只關注哪些學生被錄取(圖12右).

圖12左邊的序關系是微觀序，不適合做決策.對于學校來說，他們只需要確定一個升學的錄取分，如果考生的成績高于錄取分，則錄取，否則，不予錄取.

圖12 微觀序到宏觀序的轉換

可以看出，對于決策者學校來說，從宏觀序進行升學錄取的效率更高.

3 結語

人們在微觀序下，分析問題、解決問題的效率不高，經常需要從微觀序轉換到宏觀序，從宏觀上做決策.

文章結合商空間粒度理論，重點討論了元素上的序到集合上的序的轉換、集合上的序到集合冪集上的序的轉換以及信息表上序的轉換，給出了微觀序到宏觀序轉換的步驟，并舉例說明微觀序到宏觀序的轉換在人們生活中的應用.

通過將微觀序轉換為宏觀序，對復雜問題進行更粗的粒度劃分, 將其轉化成較為簡單的問題, 從而有助于對復雜問題的分析與求解.